一个简单的数学小魔术
一个简单的数学小魔术matrix67 2010-11-19 13:38:51在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。你便能轻易预测出下一个数是多少。在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间 的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。假如你的朋友一开始 填入方格的数是 7 和 3 ，那么前 10 个方格里的数应该是[***********]49现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，你只需要在计算器上按几个键，便能说出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非 常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下， 只知道第 10 个数的大小，不知道第 9 个数的大小，怎么能猜对第 11 个数的值呢？魔术揭秘：只需要除以 0.618其实，仅凭借第 10 个数来推测第 11 个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数除以 0.618，得到的结果四舍五入一下就 是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 249÷0.618 = 402.913.. ≈ 403，因此你可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 403。而事 实上，154 与 249 相加真的就等于 403。把头两个方格里的数换一换，结论依然成立：[***********]348可以看到，第 11 个数应该为 215+348 = 563，而 348 除以 0.618 就等于 563.107..，与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿 呢？
魔术原理：溶液调配的启示不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是 a 和 b 。那么，这 11 个方格里的数分别为：aba+ba+2b2a+3b3a+5b5a+8b8a+13b13a+21b21a+34b34a+55b接下来，我们只需要说明，21a+34b 除以 34a+55b 的结果非常接近 0.618 即可。让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识：两杯浓度不同的盐水混合在一起，调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度 之间。换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是 a/b，另一杯盐水的浓度是 c/d，那么 (a+c)/(b+d) 一定介于 a/b 和 c/d 之间。因此，(21a+34b)/(34a+55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之间。而 21a/34a = 21/34 ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 ≈ 0.6182， 可见不管 a 和 b 是多少，(21a+34b)/(34a+55b) 都被夹在了 0.6176 和 0.6182 之间。如果 a 和 b 都不大，用 21a+34b 的值除以 0.618 来推测 34a+55b 是相当靠谱的。有的读者可能已经发现了，0.618 不是别的数，正是神秘的黄金分割；而上表中出现的系数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 正 是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织，看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。