流体力学第二章
第二章习题简答
2-1 题2-1图示中的A 、B 点的相对压强各为多少？(单位分别用N/m2和mH 2O 表示
)
题2-1图
解：
P A =ρgh A =1000⨯9. 8⨯(3. 5-3)=-4900Pa =-0. 5mH 2O P B =ρgh B =1000⨯9. 8⨯3=29400Pa =3mH 2O
2-2 已知题2-2图中z = 1m， h = 2m，试求A 点的相对压强。
解：取等压面1-1，则
P A -ρgz =-ρgh
P A =ρgz -ρgh =1000⨯9. 8⨯(1-2) =-9. 8⨯103Pa
3
h 2=0. 2m ，ρ油=800kg /m ，求h 1为多少米？
2-3 已知水箱真空表M 的读数为0.98kPa ，水箱与油箱的液面差H =1.5m ，水银柱差
解：取等压面1-1，则
P a -P +ρg (H +h 1+h 2)=P a +ρ油gh 1+ρHg gh 2
ρHg gh 2+P -ρg (H +h 2)
h 1=
(ρ-ρ油)g
133280⨯0. 2+980-9800⨯(1. 5+0. 2)=
(1000-800)⨯9. 8=5. 6m
2-4 为了精确测定密度为ρ的液体中A 、B 两点的微小压差，特设计图示微压计。测定时的各液面差如图示。试求ρ与ρ'的关系及同一高程上A
、B 两点的压差。
解：如图取等压面1-1，则
ρ' gb =ρg (b -a ) （对于a 段空气产生的压力忽略不计）得
ρ(b -a )⎛a ⎫ρ' ==ρ 1-⎪
b
⎝
b ⎭
p A -ρgH =p B -ρ' gH
a
∆p =p A -p B =ρgH -ρ' gH =ρgH
b
取等压面2-2，则
2-5 图示密闭容器，压力表的示值为4900N/m2，压力表中心比A 点高0.4m ，A 点在水面下1.5m, 求水面压强。
解：
P 0+ρgH =P +ρgh
P 0=P +ρgh -ρgH =4900+9800⨯(0. 4-1. 5) =-5880Pa
2-6 图为倾斜水管上测定压差的装置，已知z =20cm ，压差计液面之差h =12cm ，
3
求当（1）ρ1=920kg/m的油时; （2）ρ1为空气时; A 、B 两点的压差分别为多少？
解：（1）取等压面1-1
P A -ρgh =P B -ρgZ -ρ1gh P B -P A =ρ1gh +ρgZ -ρgh
=920⨯9. 8⨯0. 12+9800⨯(0. 2-0. 12) =1865. 92Pa =0. 19mH 2O
（2）同题（1）可得
P A -ρgh =P B -ρgZ P B -P A =ρgZ -ρgh
=9800⨯(0. 2-0. 12) =784Pa =0. 08mH 2O
2-7 已知倾斜微压计的倾角α=30︒，测得l =0.5m ，容器中液面至测压管口高度h =0. 1m , 求压力p 。
解： P +ρgh =ρgl sin 30︒
P =ρgl sin 30︒-ρgh =9800(0. 5⨯sin 30︒-0. 1) =1470Pa
2-8 如图所示，U 型管压差计水银面高度差为h =15cm 。求充满水的A 、B 两容器内
的压强差。
解：取等压面1-1
P A +ρgh =P B +ρHg gh P A -P B =ρHg gh -ρgh
=(133280-9800) ⨯0. 15=15822Pa
2-9 一洒水车以等加速度a =0. 98m /s 在平地上行驶，水车静止时，B 点位置
x 1=1. 5m ，h =1m ，求运动后该点的静水压强。
2
解：由自由液面方程可得
a 0. 98x =-⨯(-1. 5)=0. 15m
g 9. 8
h ' =h +z =1+0. 15=1. 15m z =-
故B 点的静水压强为1.15mH 2O
2-10 正方形底b ⨯b =0. 2⨯0. 2m 、自重G =40N 的容器装水高度h =0. 15m ，容器在重物Q =250N 的牵引力下沿水平方向匀加速运动，设容器底与桌面间的固体摩擦系数f =0. 3，滑轮摩擦忽略不计，为使水不外溢试求容器应有的高度
2
H 。
解:对系统进行受力分析，可得
M g =G +ρgv =40+9. 8⨯1000⨯0. 22⨯0. 15=98. 8N Q -f ⋅M g =a =
Q +M g
g
(Q -f ⋅M g ) ⋅g
Q +M g
⋅a
=
(250-0. 3⨯98. 8)⨯9. 8=6. 19m /s 2
250+98. 8
选坐标系0xyz,O 点置于静止时液面的中心点，Oz 轴向上，由式
dp =ρ(Xdx +Ydy +Zdz )
质量力X=-a,Y=0,Z=-g代入上式积分，得
p =ρ(-ax -gz ) +C
由边界条件，x=0,z=0,p=pa , 得c= pa 则
p =p a +ρ(-ax -gz )
a x g a 6. 19
⨯(-0. 1) =0. 063m 使水不溢出，x =-0.1m, z =-x =-
g 9. 8
令p=pa , 得自由液面方程z =-
所以容器的高度H=h+z=0.15+0.063=0.213m
2-11 油槽车的圆柱直径d =1. 2m ，最大长度l =5m ，油面高度b =1m ，油的比重为0. 9。
（1）当水平加速度a =1. 2m /s 时，求端盖A 、B 所受的轴向压力。 （2）当端盖A 上受力为零时，求水平加速度a 是多少。
2
解：（1）选坐标系0xyz,O 点置于静止时液面的中心点，Oz 轴向上，由质量力 X=-a,Y=0,Z=-g可得
p =ρ(-ax -gz ) +C
O 点处X=Y=0, 得C=0 则
p =ρ(-ax -gz )
L 5⎡⎤⎡⎤
p A =ρ(-ax -gz ) =ρ⎢-a -g (-b )⎥=900⨯⎢-1. 2⨯-9. 8⨯(-1)⎥=6120Pa
22⎣⎦⎣⎦
P A =p A ⋅S =6120⨯π⨯0. 62=6922N p B =ρ(-ax -gz ) =ρ(a
L 5⎡⎤
+gb ) =900⨯⎢1. 2⨯+9. 8⨯1⎥=11520Pa 22⎣⎦
⎡⎣
L ⎤
-g (-b )⎥=0 2⎦
P B =p B ⋅S =11520⨯π⨯0. 62=13029N
（2）p A =ρ(-ax -gz ) =ρ⎢-a
2gb 2⨯9. 8⨯1
==3. 92m /s 2 L 5
2-12 圆柱形容器的半径R =15cm ，高H =50cm ，盛水深h =30cm ，若容器以等角速度ω绕z 轴旋转，试求ω最大为多少时不致使水从容器中溢出。
a =
解：因旋转抛物体的体积等于同底同高圆柱体体积的一半，因此，当容器旋转使水上升到最高时，旋转抛物体自由液面的顶点距容器顶部
h’= 2(H-h)= 40cm
等角速度旋转直立容器中液体压强的分布规律为
⎛ω2r 2⎫
⎪p =ρ -gz 2⎪+p 0
⎝⎭
对于液面，p=p0 , 则z =
ω2r 2
2g
，可得出ω=
2gz
r 2
2gh ' 2⨯9. 8⨯0. 4
==18. 671/s R 20. 152
2-13 装满油的圆柱形容器，直径D =80cm ，油的密度ρ=801kg /m 3，顶盖中心点装有真空表，表的读数为4900Pa ，试求：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小和
-1
方向；（2）容器以等角速度ω=20s 旋转时，真空表的读数值不变，作用于顶盖上总压力
将z=h’, r=R代入上式得ω=的大小和方向。
解：（1）P =p ⋅A =4900⨯
π
4
⨯0. 82=2462N 方向竖直向下
⎛ω2r 2⎫
⎪p =ρ-gz （2）如图建立直角坐标系，根据 2⎪+C ⎝⎭
在O 点,r=0,Z=0,p=-4900Pa,代入上式可得，C=-4900Pa
令Z=0得
p =ρ
ω2r 2
2
-4900
则 P =
⎰p ⋅2πrdr =⎰(ρ
0. 4
ω2r 2
2
-4900) ⋅2πrdr =3977N 方向竖直向上
2-14 顶盖中心开口的圆柱形容器半径为R =0. 4m ，高度为H =0. 7m ，顶盖重量为
G =50N ，装入V =0. 25m 3的水后以匀角速度ω=10s -1绕垂直轴转动，试求作用在顶盖
螺栓组上的拉力。
题2-14图
解：如图建立坐标系
V =πR 2h ⇒h =
V 0. 25
==0. 5m πR 2π⨯0. 42
旋转形成的抛物体的体积应等于容器内没装水部分的体积，则
122R 2(H -h )22πr h ' =πR (H -h )⇒r = 2h ' 2R 2(H -h )ω2r 22-1
将z=h’，ω=10s , r =代入自由表面方程为z =可得
h ' 2g
100R 2H -h H -h 0. 7-0. 5
h ' ==10R =10⨯0. 4⨯=0. 571m
g g 9. 8
2R 2H -h 2⨯0. 42⨯0. 2
则 r ===0. 335m
h ' 0. 571
⎛ω2r 2⎫
⎪等角速旋转直立容器中液体压强分布规律为p =ρ -gz 2⎪+p 0
⎝⎭
由于容器的顶盖中心开口，则p 0=0(本题均指相对压强)
将ω=10s-1，r=0.3， z=h’=0.571m， p 0=0代入上式得
⎛ω2r 2⎫ p =ρ -gz ⎪+p 0=ρ(50r 2-5. 596) ⎪⎝2⎭
0. 4
0. 4
0. 4
2
P =
0. 335
⎰
p ⋅2πrdr =
0. 335
⎰ρ(50r
-5. 596) ⋅2πrdr =2πρ
0. 335
⎰(50r
2
-5. 596) rdr =181. 55N
F =P -G =181. 55-50=131. 55N
2-15 直径D=600mm，高度H=500mm的圆柱形容器，盛水深至h=0.4m，剩余部分装以密
度为0.8g/cm3的油，封闭容器上部盖板中心有一小孔，假定容器绕中心轴，等角速度旋转时，容器转轴和分界面的交点下降0.4m ，直至容器底部。求必须的旋转角速度及盖板、器底的最大、最小压强。
题2-15图
解：如图建立坐标系 根据质量守恒可得
πD 2
1
(H -h ) =πR 2⋅H 42
22
D 0. 6R 2=(H -h ) =⨯(0. 5-0. 4)=0. 036m 2
2⋅H 2⨯0. 5
等压面z =
ω2r 2
2g
当r=R,z=H,代入上式得
ω=
盖板中心的压强最小，P min 上=0 盖板边缘压强最大，p max 上=ρ(
2gz 2⨯9. 8⨯0. 5
==16. 5s -1 2
0. 036r
ω2r 2
2
-gz ) +p 0
p 0=P 油=ρ油gH =0. 8⨯g ⨯0. 5=0. 4mH 2O 则
2⎛D ⎫ω ⎪
ω2r 22
p max 上=ρ(-gz ) +p 0=ρ(⎝⎭-gH ) +p 油
22
16. 52⨯0. 32
=1000⨯(-9. 8⨯0. 5) +0. 4=1. 15m H 2O
2
2
器底的最小压强也在器底的中心，P min 下=P油=0.4mH2O
边缘压强最大，P max 下=Pmax 上+H=1.15+0.5=1.65 mH2O
2-16 矩形平板闸门一侧挡水，门高h =1m ，宽b =0. 8m ，要求挡水深度h 1超过2m 时，闸门即可自动开启，试求转轴应设的位置y 。
题2-16图
解：先求出作用点
I C h ⎫⎛= h 1-⎪+
h ⎫y C A ⎝2⎭⎛
h 1-⎪(bh )
2⎭⎝
0. 8⨯12
=(2-0. 5)+=1. 56m
2-0. 5⨯0. 8⨯1y D =y C +
要使挡水深度h 1超过2m 时闸门自动开启，转轴应低于闸门上水静压力的作用点。所以转轴应设的位置为y=h1-y D =2-1.56=0.44m
bh 3
2-18蓄水池侧壁装有一直径为D 的圆形闸门，闸门平面与水面夹角为θ，闸门形心C 处水深h c ，闸门可绕通过形心C 的水平轴旋转，证明作用于闸门水压力对轴的力矩与形心水深h c 无关。
证明：圆心处压强为ρgh c , 闸门所受压力大小为ρgh c πD 2/4, 压力中心D 到圆心C 点距离为I c /Ay c , 对圆, I c =πD 4/64, A =πD /4, y c =h c /sin θ, 因而所求力矩为
2
ρgh c πD 2/4⨯πD 4/64(πD 2/4⨯h c /sin θ) , 约去h c 后得到一常数.
2-19 金属的矩形平板闸门，门高h =3m ，宽b =1m ，由两根工字钢横梁支撑，挡水面于闸门顶边齐平，如要求两横梁所受的力相等，两横梁的位置y 1, y 2应为多少。
题2-19图
解：先求出闸门所受的水静压力和作用点
1
ρgh 2b 2
bh 31⨯33
I C h y D =y C +=+=1. 5+=2m y C A 2(bh )1. 5⨯3⨯12
P 1122
=P ==ρgh b =ρgh 横梁所受力P 121b 则
242
2h 1=h
2
222y 1=h 1=⨯h =⨯3=1. 414m
3323
P =ρgh C A x =
则由力矩平衡可得
M =Py D =P 1y 1+P 2y 2
∴y 2=2y D -y 1=2⨯2-1. 414=2. 586m
2-20 如图2-17所示的挡水板可绕N 轴转动，求使挡板关紧所需施加给转轴多大的力矩。已知挡板宽为b =1. 2m ，h 1=2. 8m ，h
2=1. 6m 。
题2-20图
解：左侧的静水压力及其作用点：
h 2⎫⎛
P =ρgh A =ρg h -N ⎪⋅h 2b =9800⨯(2. 8-0. 8)⨯1. 6⨯1. 2=376321C x 1
2⎭⎝
I C h ⎫⎛= h 1-2⎪+=(2. 8-0. 8)+=3. 28m
h ⎫2. 8-0. 8⨯1. 2⨯1. 6y C A ⎝2⎭⎛
h 1-2⎪(bh )
2⎭⎝
右侧的水静压力及其作用点： y 1D =y C +
bh 3
1. 2⨯1. 63
P 2=ρgh C A x =y 2D =
11
ρgh 22b =⨯9800⨯1. 62⨯1. 2=15052. 8N 22
22
h 2=⨯1. 6=1. 067m 33
对N 点求矩，可得力矩
M =P 1(h 1-y 1D )-P 2(h 2-y 2D )
=37632⨯(2. 8-2. 107)-15052. 8⨯(1. 6-1. 067)=18056N ⋅m
在折板上的静水总压力。
2-21 折板ABC 一侧挡水，板宽b =1. 0m ，高度h 1=h 2=2. 0m ，倾角α=45
︒，试求作用
题2-21图
解：P AB =ρghA AB =ρg
h 12
A AB =9. 8⨯⨯2⨯1=19. 6kN 22h ⎫2⎫2⎛⎛
P BC =ρghA BC =ρg h 1+2⎪A BC =9. 8⨯ 2+⎪⨯⨯1=58. 82kN
22sin 45︒⎝⎭⎝⎭
P xBC =P yBC =P BC ⋅sin 45︒=58. 8kN
P 总=
P AB +P xBC )2+P yBC 2
=
(19. 6+58. 8)2+58. 82
=98kN
2-22 已知测2-22图示平面AB 的宽b =1. 0m ，倾角α=45︒，水深h =3
m ，试求支杆的支撑力。
题2-22图
解：P =ρgh C A =ρg
h 33A =9. 8⨯⨯⨯1=62. 37kN 22sin 45︒
2h D =h
3
要使板平衡，则力偶相等，得
=P (y -y )=P h -h D
D
sin αsin α
2h -h
h -h D =41. 6kN F =2P =2⨯62. 37h h
2-24 封闭容器水面的绝对压强p 0=137. 37kN /m 2，容器左侧开2⨯2m 的方形孔，
F
覆以盖板AB ，当大气压p a =98. 07kN /m 2时，求作用于此板上的水静压力及作用点。
题2-24图
解：
h ' =
(p 0-p 1)=(137. 37-98. 07)=4m
ρg
9. 8
h c =h ' +2sin 60︒=4+2⨯
=4+m 2
P =ρgh c A =9. 8⨯4+⨯2⨯2=225kN
()
()
I C 2⨯23/12
y e =y D -y C ===0. 05m
y C ⋅A 4+3
⨯22
sin 60︒
故水静压力的作用点位于距离形心C 0.05m的下方。
2-26 如图，一弧形闸门AB ，宽b = 4 m，圆心角α= 45º，半径r = 2 m，闸门转轴恰与水面齐平，求作用于闸门的静水总压力。
解：闸门所受的水平分力为P x ，方向向右，即
1
P x =9800⨯⨯r ⨯sin α⨯b ⨯r ⨯sin α=9800⨯0. 5⨯2⨯sin 45o ⨯4⨯2⨯sin 45o =39200N
2
闸门所受的垂直分力为P z ，方向向上
⎛45⨯πr 21⎫
⎪P z =ρgV =9800⨯b ⨯ -⨯r ⨯sin α⨯r ⨯sin α 360⎪2⎝⎭
45π221
=9800⨯4⨯(-⨯2⨯sin 45o ⨯2⨯cos 450) =22375N
3602
P x +P z =45136N
2
2
闸门所受水的和力 P =
合力压力与水平方向 P z
=29. 72︒ P x
2-27 图示一球形容器由两个半球铆接而成，铆钉有n 个，内盛重度为ρ的液体，求每一个铆钉所受的拉力。
题2-27图
P 总ρgv 1⎡214R ⎫⎤1⎛==ρg ⎢πR (H +R )-⋅πR 3⎥=ρg πR 2 H +⎪ n n n ⎣233⎭⎦n ⎝
2-29某圆柱体的直径d =2m ，长l =5m ，放置于60︒的斜面上，求作用于圆柱体上
解：P =
的水平和铅直分压力及其方向。
解：水平方向分力大小：
1
P x =ρgh c A x =ρgh c ⋅hl =9. 8⨯⨯1⨯5=24. 5kN 方向水平向右
2
铅直方向分力大小：
⎡1d ⎛1h ⎤⨯1⎫
⎪⨯5=120kN P z =ρgV =ρg ⋅⎢π() 2+⋅l =9. 8⨯⨯π⨯1+⎥ 2⎦2⎪⎣22⎝2⎭
方向铅直向上
2-30 图示用一圆锥形体堵塞直径d =1m 的底部孔洞，求作用于此锥形体的水静压力。
解：由于左右两边受压面积大小相等，方向相反，故Px=0
P z 上表面=ρgV 上=ρg (V 1+V 2) P z 侧面=ρgV 侧=ρg (V 2+V 3)
P z =P z 上表面-P z 侧面=ρg (V 1+V 2) -ρg (V 2+V 3) =ρg (V 1-V 3)
而V 1=πr 2⋅h 1=π⨯0. 52⨯1=V 2=
π
4
πh 2(R 2+Rr +r 2)
3
-πr 2⋅h 2
322
π⨯⨯1+1⨯0. 5+0. 5
3=-π⨯0. 52⨯=0. 906
32
⎛π⎫
则P z =ρg (V 1-V 3) =9. 807⨯ -0. 906⎪=-1. 2k N
⎝4⎭
()
所以 P=Pz = - 1.2kN ，方向向上。
6
2-32内径D =3m 的薄壁钢球贮有p =14. 7⨯10Pa 的气体，已知钢球的许用拉应力是[σ]=6⨯107Pa ，试求钢球的壁厚δ。
T
x
解：极限状态钢球的拉力T =2πr ⋅[σ]δ
题2-32
气体压力按曲面压力分析。考虑x 方向力的平衡，因A x =πr 2，故
P x =pA x =p πr 2
据平衡方程 T=Px 即2πr ⋅[σ]δ=p πr
2
p πr 2pr 14. 7⨯106⨯1. 5
得 δ====0. 184m 7
2πr ⋅σ2σ2⨯6⨯10