2014高二数学立体几何知识点

第1章 空间几何体1

1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图

11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：

（1）. 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）. 平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）. 画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

S =2πrl +2πr 22 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积S =πrl +πr 2

4 圆台的表面积S =πrl +πr 2+πRl +πR 2

5 球的表面积S =4πR 2

（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 V =S 底⨯h

2锥体的体积 V =

1

3S 底⨯h 3台体的体积 V =1

3S 上+S 上S 下+S 下) ⨯h

4球体的体积 V =4

3

πR 3

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成D C

一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成A

B

邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ∈L

L B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2 · 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

A

C ·

·

B

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥b c ∥b

=>a∥c

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a' 与b' 所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择

2无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ) ；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成

2.2.1 直线与平面平行的判定 的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示

a α a ∩α=A a ∥α

2.2. 直线、平面平行的判定及其性质

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：

a α

αb β => a∥α a ∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面

平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β b

β

a ∩b = P β∥α a ∥α b ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

a ∥α

a β a ∥b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：

α∥β

α∩γ= a a ∥b β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。

L

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 特别地, 当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.

当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率

常用小写字母k 表示, 也就是

k = tanα

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式:

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，

缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒

数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点P 0

(x 0, y 0) ，且斜率为k y -y 0=k (x -x 0)

2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为

L1 ：3x+4y-2=0

(0, b )

L1：2x+y +2=0 y =kx +b

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点P 1(x 1, x 2), P 2(x 2, y 2)

其中(x 1≠x 2, y 1≠y 2)

y -y 1y =x -x 1

(x 1≠x 2, y 1≠y 2)

2-y 1x 2-x 1

2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A (a , 0) ，与y 轴的交点为B (0, b ) ，其中a ≠0, b ≠0

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x , y 的二元一次方程Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标

解：解方程组 ⎧⎨3x +4y -2=0

⎩2x +2y +2=0

得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2）

3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

PP 12=

3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：

点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为：d =

Ax 0+By 0+C A 2

+B

2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：

Ax +By +C 1=0，

l C 1-C 22：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为d =A 2

+B

2

第四章

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2

圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程

2、点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的关系的判断方法： （1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 （3）(x 20-a ) +(y 0-b ) 2

1、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

②没有xy 这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l ：ax +by +c =0，圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，圆的半径为r ，圆心(-

D 2, -E

2

) 到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当d >r 时，直线l 与圆C 相离； （2）当d =r 时，直线l 与圆C 相切； （3）当d

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l >r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2相离；

（2）当l =r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2外切；

（3）当|r 1-r 2|

（4）当l =|r 1-r 2|时，圆C 1与圆C 2内切；

（5）当l

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系

y

1、点M 对应着唯一确定的有序实数组(x , y , z ) ，x 、y 、z 分别是P 、

Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标

2、有序实数组(x , y , z ) ，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x , y , z ) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M (x , y , z ) ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P 1(x 1, y 1, z 1) 到点P 2(x 2, y 2, z 2) 之间的距离公式

y

P 1P 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2+(z 1-z 2) 2二项

分布与超几何分布辨析

山东 韩文文

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．

例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则

X ~B ⎛ 1⎫⎝35⎪⎭

．

03

∴P (X =0) =C 0⎛3

1⎫⎝5⎪⎭⨯⎛ 4⎫

64⎝5⎪⎭

=125；

12

P (X =1) =C 1⎛3

1⎫⎛4⎫

48⎝5⎪⎭⨯ ⎝5⎪⎭=125

；

21

P (X =2) =C 2⎛1⎫⎛4⎫

123

⎝5⎪⎭⨯ ⎝5⎪⎭

=125；

30

P (X =3) =C 3⎛3

1⎫⎝5⎪⎭⨯⎛ 4⎫

1⎝5⎪⎭

=125．

因此，X 的分布列为

2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：

03

1221 P (Y =0) =C 2C 87C 2C 87C 2C 81

C 3=；P (Y =1) =3=；P

(Y =2) =1015

C 3=15．

1015C 10 因此，Y 的分布列为

辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到

某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二

项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

超几何分布和二项分布都是离散型分布

超几何分布和二项分布的区别：

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）

当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........