平面向量与解三角形
辽宁名校2011届高三数学单元测试—平面向量与解三角形
注意事项:
1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间为120分钟.
2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名.考号.考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题和答题卡一并收回.
3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.下列说法中正确的是 ( ) A.共面向量就是向量所在的直线在同一平面内; B.长度相等的向量叫做相等向量; C.零向量的长度为零; D.共线向量的夹角为0.
2.已知a=(x,1),b=(3,x-2),则a·b
( )
1
2
B.(-,+∞)
12
C.(-∞,)
12
D.(,+∞)
( )
12
3.如果a=(1,x),b=(-1,3),且(2a+b)∥(a-2b),则x= A.-3
B.3
C.-
1
3
D.
1 3
4.已知a=(2,1),b=(3,x),若(2a-b)⊥b,则x的值为 ( ) A.-1
2
B.3
2
2
C.1或3
D.-1或3
5.在△ABC中,若a=b+bc+c,则A= ( ) A.30
B.60
C.120
D.150
=2e1+e2,=3e1-e2,6.e1、e2是平面内不共线的两向量,已知=e1-ke2,若A,B,D
三点共线,则k的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4 7.在∆ABC中,a=5,b=8,C=60︒,则⋅的值为 A.10 B.20 C.-10 D.20
8.在△ABC中,若b=2asinB,则A= A.30
( )
( )
B.60
C.30或150
00
D.60或120
9.在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 10.下列说法中错误的是 ( )
①a⋅b=0,则a=0或b=0;②(a⋅b)c=a(b⋅c);③p⋅q=(p⋅q). A.①、②
B.①、③
C.②、③
D.①、②、③
( )
2
2
2
11.在△ABC中,若∠C=60°,则 A.1
B.2
ab
= +
b+ca+c
C.3 D.4
12.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,
F2成600角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为
A. 6
B.2
C
.
D
.
( )第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上. 13.向量a=(-3,4),则与a平行的单位向量的坐标为 14.设p = (2,7),q = (x,-3),若p与q的夹角θ∈[0,
π
2
),则x的取值范围是
15.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠A=90,则AB的坐标为16.地面上画了一个60︒的角∠BDA,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,
拐弯往另一方向行走14米,正好到达∠BDA的另一边BD上的一点,我们将该点就记为点B,则B与D之间的距离为 米.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=
(1)求C;
π
6
,(1+c=2b.
(2
)若CB⋅CA=1a,b,c.
19.(本小题满分12分)
已知等腰直角三角形AOB中,AC、BD为中线,求AC与BD夹角θ的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知A、B、C是直线l上的不同三点,O是l外一点,向量OA,OB,OC满足
32
,记y=f(x); OA=(x+1)OB-(lnx-y)OC
2
(1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 21.(本小题满分12分)
已知△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,
(1)求∠C; (2)若△ABC的外接圆半径为2,试求该三角形面积的最大值. 22.(本小题满分14分)
已知向量m=(sin
xxxx
,cos),n=
,cos),记f(x)=m•n;
4444
(1)若f(x)=1,求cos(x+
π
3
)的值;
(2)若△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函
数f(A)的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.C;解析:共面向量就是平行向量,故A是错的;
相等向量是指长度相等且方向相同的向量,故B是错的;
根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°,故D是错的; ∴正确的只有C. 2.C;解析:∵a·b=3x+x-2=4x-2
又2a+b∥a-2b,∴1×(x-6)-(2x+3)×3=0,解得x= -3. 4.D;解析:由a=(2,1),b=(3,x),得2a-b=(1,2-x);
∵2a-b⊥b, ∴(2a-b)·b=0,即1⨯3+(2-x)⋅x=0,解得x=-1或3.
1
2
b2+c2-a21
5. C;解析:cosA==-,A=1200.
2bc2
6. B;解析:∵A,B,D三点共线, ∴与共线, ∴存在实数λ,使得=λ; ∵BD=CD-CB=3e1 -e2 -(2e1+e2)= e1 -2e2, ∴e1-ke2=λ(e1 -2e2), ∵e1、e2是平面内不共线的两向量, ∴⎨
⎧1=λ,
解得k=2.
-k=-2λ,⎩
7. D;解析:由题意可知BC与CA的夹角为180-C=180-60=120︒,
∴⋅
cos120=5⨯8⨯ -
⎛1⎫
⎪=-20. ⎝2⎭
8.C;解析:b=2asinB,sinB=2sinAsinB,sinA=
1
,A=300或1500. 2
9.B;解析: acosA+bcosB=ccosC,∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC;
∴sin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC; ∴cos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0; ∴cosA=0或cosB=0,得A=
π
2
2
10.D;解析:∵a⊥b时, a⋅b=0,∴当a⋅b=0时不能得出a=0或b=0;
∴①是错误的.
∵a⋅b是数量,所以(a⋅b)c为一个向量,并且此向量与c共线;虽然a(b⋅c)也是一个向量,但它与a共线;
∴(a⋅b)c不一定与a(b⋅c)相等;∴②是错误的.
或B=
π
;∴△ABC是直角三角形.
∵p⋅q=|p|⋅|q|,(p⋅q)=|p||q|cosθ(θ为p与q的夹角); ∴当且仅当p//q时, p⋅q=(p⋅q)才成立;∴③是错误的. ∴本题三种说法均不正确.
a2+ac+b2+bca2+b2+ac+bcab11.A;解析:==(*), +
b+ca+c(b+c)(a+c)ab+ac+bc+c2
2
2
2
22222222
=1
∵∠C=60°,∴a+b-c=2abcosC=ab,∴a+b=ab+c,代入(*)式得
222222
a2+b2+ac+bcab+ac+bc+c2
222
1800-600)=28,所以F3=27. 12.D;解析:F3=F1+F2-2F1F2cos(
二、填空题
13.(-,),(,-);解析:因为|a|=(-3)+4=5,故所求的单位向量为 ±
34
553545
22
a134
=±(-3,4)=±(-,). |a|555
14.(
π2121
,+∞); 解析: p与q的夹角θ∈[0,)⇔ p•q>0⇔2x-21>0⇔x>,
222
21即x∈(,+∞).
2
15.(-2,5)或(2,-5);解析:设=(x,y),
则由||=||⇒
52+22=x2+y2…………①,
而又由⊥得5x+2y=0…………②, 由①②联立得x=2,y=-5或x=-2,y=5.
∴AB=(2,-5)或(-2,5).
16.16;解析:记拐弯处为点A,则已知即为△ABD中,AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒;
设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cos∠BDA, 即142=x2+102-2⋅10x⋅cos60 ,整理得x2-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去);∴BD=16.
三、解答题 17.解:(1)∵b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),且a与b-2c垂直, ∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,
即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),
∴sin(α+β)=2cos(α+β), ∴tan(α+β)=2. (…………4分) (2)∵b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), ∴︱b+c
︱=
==
∴当sin2β=-1时,︱b+c
=(……8分) (3)∵tanαtanβ=16,∴
sinαsinβ
⋅=16,即sinαsinβ=16cosαcosβ, cosαcosβ
∴(4cosα)⋅(4cosβ)=sinαsinβ,即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共 线,∴a∥b. (…………12分) 18.解:(1
)由(1+c=2b 得
b1sinB
=+=, c22sinC
sin(π-
则有
π
sinC
-C)
=
sin
5π5π
cosC-cossinC
11=+= 2tanC2sinC
. (…………6分)
解得tanC=1, 即C=
π
4
π
(2)
由CB⋅CA=1+ 推出
abcosC=1;而C=,
4
ab=1+⎪2⎪
ab=1+则有
⎨(1+c=2b, 解得
∴2⎪ac
⎪=⎪⎩sinAsinC
⎧a=⎪⎪
⎨b=1+. (……12分) ⎪c=2⎪⎩
19.解:如图,分别以等腰直角三角形AOB的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,设
A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),(a>0);(……3分)
∴AC=(-2a,a),BD=(a,-2a), (…………6分)
∵AC与BD的夹角为θ,
∴cosθ=
(-2a,a)⋅(a,-2a)-4a2
==
5a⋅a
5a2
4
=-,
5
4
即AC与BD夹角θ的余弦值为-. (…………12分)
5
32
20.解:(1)∵OA=(x+1)OB-(lnx-y)OC ,且A、B、C是直线l上的不同三点,
2
33
∴(x2+1)+(lnx-y)=1, ∴y=x2+lnx; (…………6分)
2213x2+132
(2)∵f(x)=x+lnx,∴f'(x)=3x+=,(…………8分)
xx23x2+132
∵f(x)=x+lnx的定义域为(0,+∞),而f'(x)=在(0,+∞)上恒正,
x2
∴y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,即y=f(x)的单调增区间为(0,+∞).(……12分) 21.解:(1)由(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,得(a-c)(a +c)=(a-b)b,
a2+b2-c21
∴a-c=ab-b,∴a+b-c=ab,∴cosC== (…………4分)
2ab2
又∵0°<C<180°,∴C=60° (…………6分)
2
2
2
2
2
2
(2)S=
311
absinC=ab=4sinAsinB=43sinAsin(120°-A)
222
=4sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=6sinAcosA+2sin2A
=3sin2A-cos2A+3=2sin(2A-30°)+3 (…………10分) ∴当2A=120°,即A=60°时,Smax=3 (…………12分) 22.解:(1)f(x)=m
x1x1xxxxπ1
+cos+=sin(+)+, cos+
cos2=
[1**********]
xπ1
)=, (…………4分) 262
ππ12x ∴cos(x+)=1-2sin(+)=. (…………6分) 3262
∵f(x)=1, ∴sin(+
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
∴cosB=,B==∴,B=; (…………10分) 2 233∴0
11ππ
2ππAππAππ1π1AπAπ, ∴
xπ1Aπ1
(…………12分) )+,∴f(A)=sin(+)+,
262262
3
故函数f(A)的取值范围是(1,). (…………14分)
2
又∵f(x)=sin(+