2015年河北省中考数学试题及解析
2015年河北省中考数学试卷
一. 选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个选项中只有一个是正确的）
3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）
6．（3分）（2015•河北）如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是（ ）
的点落在（ ）
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示
8．（3分）（2015•河北）如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船
R 位于南偏
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y （万册）与它的使用时间x （年）
11．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组2
，下列做法正确的是
13．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l ：y=
﹣x ﹣3与直线y=a（a 为常数）的交点在第四象限，则a 可能在（ ）
15．（2分）（2015•河北）如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：
①线段
MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．
其中会随点P 的移动而变化的是（ ）
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
二. 填空题（4个小题，每小题3分，共
12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=2015，则a= ．
18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则
的值为
19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A
在OB 上，且OA=1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1
A 2； 再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；… 这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
三. 解答题（共6个小题，共66分） 21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图： （1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD，AB= 求证：四边形ABCD 是 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．
23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y 毫米．
（1）只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式（不必写出x 大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小 ①求y 与x 小的函数关系式（不必写出x 小范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
24．（11分）（2015•河北）某厂生产A ，B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
=5.9，s A =[（6﹣5.9）+（5.2﹣5.9）+（6.5﹣5.9）]=
2
2
2
2
（1）补全如图中B 产品单价变化的折线图．B 产品第三次的单价比上一次的单价降低
了 %
（2）求B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为6.5元/件，B 产品的单价比3元/件上调m%（m ＞0），使得A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的2倍少1，求m 的值．
25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：
2
y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标； （2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图1摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）． 发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B ．
（2）在OQ 旋转过程中，简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P 恰好落在BC 边上时，求a 及S 阴影 拓展：
如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM=x（x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．
探究：当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．
2015年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一. 选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个选项中只有一个是正确的）
3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）
6．（3分）（2015•河北）如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是（ ）
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
8．（3
分）（2015•河北）如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y （万册）与它的使用时间x （年）
11
．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组
，下列做法正确的是
2
13．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l ：y=﹣x ﹣3与直线y=a（a 为常数）的交点在第四象限，则a 可能在（ ）
15．（2分）（2015•河北）如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：
①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，
AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．
其中会随点P 的移动而变化的是（ ）
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
二. 填空题（4个小题，每小题3分，共12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=2015，则a= ±1 ．
18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则的值为
19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24° ．
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
三. 解答题（共6个小题，共66分） 21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图： （1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD，AB= CD 求证：四边形ABCD 是 平行 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别相等 ．
23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y 毫米．
（1）只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式（不必写出x 大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小 ①求y 与x 小的函数关系式（不必写出x 小范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
24．（11分）（2015•河北）某厂生产A ，B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
=5.9，s
A =[（6﹣5.9）+（5.2﹣5.9）+（6.5﹣5.9）]=
2
2
2
2
（1）补全如图中B 产品单价变化的折线图．B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了 （2）求B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为6.5元/件，B 产品的单价比3元/件上调m%（m ＞0），使得A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的2倍少1，求m 的值．
25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O
（0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l ：
2y=﹣（x ﹣h ）+1（h 为常数）与y 轴的交点为C ．
（1）l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；
（3）当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h 的值．
26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图1摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在 直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B ．
（2）在OQ 旋转过程中，简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P 恰好落在BC 边上时，求a 及S 阴影
拓展：
如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM=x（x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．
探究：当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．