时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用
第２７卷第５期２００７年９月
云南师范大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．”Ｎｏ．５
Ｓｅｐ．２００７
时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用‘
谷桂初，周庆
（云南大学物理系，云南昆明６５００９１）
摘要：时域有限差分（Ｆｉｎｉｔｅ
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
ＴｉｍｅＤｏｍ丑ｉｎ，ＦＤＴＤ）法在量子力学问题中的应用越来越引起
人们的关注。系统介绍了该方法的基本原理、边界处理方法和初始试探波函数的选取。在此基础上．计算模拟了三种不同的势垒如方势垒、三角形势垒和谐振势垒下系统的能量变化、概率变化，再现了量子隧道效应这一重要物理现象。进一步表明了运用ＦｕＩＤ法来解决量子力学阃题是方便可行的．并且以系统平均能量方法处理截断边界能得到比较理想的结果。对于解决其它量子力学问题具有一定的指导意义。
关键词：时域有限差分法；势垒贯穿；量子隧道效应中围分类号：０４１１．３。０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００７—９７９３（２００７）０５－００４３—０６
时域有限差分（Ｆｉｎｉｔｅ
ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅＤｏ－
互转化、概率变化过程和规律进行探讨分析。
ＦｌＹｌＤ法对于解决其它量子力学问题具有一定的指导意义。
ｍａｉｎ，ＦＤＴＤ）法…在计算电磁学中得到了充分的应用和发展”Ｊ，同时在量子力学中的应用研究也
引起了人们的关注”ｏＪ。在量子力学问题的计算
分析中，直接求解Ｓｃｈｒｉｊｄｉｎｇｅｒ方程往往比较困难。时域有限差分法的提出，为解决量子力学问
１
ＦＤＴＤ法
题提供了另一条相对简单方便的参考途径。其基本思想是：将含时ＳｃｈｒＯｄｉｎｇｅｒ方程转换成有限差分形式。建立时间离散的递进序列，采用合适的截断边界条件和初始概率波函数在时域上进行求解。
势垒模型被广泛应用于物理、化学和分子生
物学”１。是量子力学中的一个经典模型之一，揭
１．１
ＳｃｈｔＯｄｉｎｇｅｒ方程的有限差分形式
ｒ
考虑一维含时Ｓｃｈｒｆｄｉｎｇｅｒ方程聃Ｊ
”
［一丽１１２嘉川圳帅’Ｉ）一１１。０．（刈），１１）
其中：ｍ为微观粒子的静止质量；ｈ为Ｐｌａｎｃｋ常数，ｔＩ＝１．０５４５９ｘ１０一Ｊ・。；ｉ刮‘二丁；以ｘ）为势能函数；驴（＊，ｔ）为描述粒子运动的概率波函数。由
示了量子力学不同于经典物理学的一个重要现象——量子隧道效应。故对势垒问题的研究有着
重要的意义。
于廿（＊，ｔ）具有复数形式，可用其实部ｏ（Ⅳ，１）和虚
部ｂ（ｘ，ｔ）来表示，即
廿（＊，Ｉ）＝口（ｇ，ｔ）＋ｉ・ｂ（＊，￡）
（２）
本文系统的介绍了时域有限差分法的基本原
理、边界处理方法和初始试探波函数的选取原则。并采用ＦＤＴＤ法对不同的势垒贯穿问题进行研究分析。对不同形状的势垒如方势垒、线性势垒（三角形）、谐振型势垒等的系统动能和势能的相
将式（２）代入式（１），则一维ＳｃｈｒｉＪｄｉｎｇｅｒ方程变为
争（州）一丽１１争（列）＋古以小ｂ（ｘ，ｔ）（孙）争∽牡嘉务∽小如小出力（３６）
在足够大的有限区间内，将空间￡和时间ｔ
・收稿日期．＊２００７—０４—０４
作者简介：谷桂初（１９８２一），男，湖南省娄底市人，硕士生，主要从事时域有限差分法在计算电磁学和量子力学中
的应用研究．
’
通讯作者：周庆（１９６３一），女，贵州人，博士，教授，主要从事物理电子和光电子学的研究．
・“・
云南师范大学学报（自然科学版）第”卷
进行离散化，分别用＾和ｎ表示空间和时间的节
点。血和血表示空间和时间的差分增量，则
妒（＊，Ｉ）＝砂（ｔ・缸，１７，・△ｔ）＝妒（ｋ，ｎ）＝驴４（ｋ）（４）
根据有限差分近似ｍ，有
警＊击渺（㈨ⅢⅥ＿１）一缈㈤］
掣一罄１旷Ⅵ）叫㈤］
（５ａ）（Ｓｂ）
故式（３４）和式（３ｂ）可近似写成
ｏ一（％）：ｎ一似）一；鱼［６＾（ｔ＋１）＋扩（％一１）一Ｚｍ
２６＾（圳＋＿产以”叭＾）
（６。）
６ｎ＋ｌ（Ｉ）＝６４（＆）＋ｓ‘．ｍｌｔ［。４（＾＋１）＋口“（ｋ－１）一
２ａ“（Ｉ）］一！二—｛÷业ｙ（＾）・ｎ４（％）
（６６）
其中”＝畚。（６口）式和（６６）式即为一维
ＳｃｈｒｉＭｉｎｇｅｒ方程的有限差分近似形式。１．２初始试探波函数的选取
初始试探波函数的选取，原则上要使其能够近似地描述粒子的初始运动。对于双原子分子振
动运动的初始试探波函数，一般采取谐振子的经
典波函数来处理。对粒子在自由空间中运动，其
概率一般满足高斯型分布，为此采取高斯波包型波函数为其初始试探波函数。其实部和虚部形式
分别如下：
口（￡）＝唧［一ｏ．５・（Ｘ了－－Ｘ０）２］．ｃ＊
（兰等立）
ｍ）
６（ｘ）＝ｅｘｐ
ｃ－０．５．．Ｘ－口Ｘｏ）２］．血
（型竿生）
（７６）
其中：＾为其波长；口为高斯波包宽；‰为高斯脉冲的中心。在本文中，初始试探波函数需满足归一化条件
亡…刈∥出＝ｌ
（８）
即在运用ＦＤＴＤ法计算模拟时，初始渡函数需乘
以其归一化系数。１．３边界截断处理
在ＦＤＴＤ中，不可能也没必要计算无限大的区间，所以必须进行边界截断处理。在此采用系统平均能量的截断处理方法。对于概率波函数
一旦ｉ争（圳）＝Ｅ・班（州）
（９）
其中：Ｅ为系统的总能量。将式（２）代入（９）式，有
一孕鲁［ｎ（刈）＋ｉ・６（刈）］＝Ｅ・［。（¨）＋ｆ
・６（ｚ，￡）］
（１０）
等式两边实郝和虚部分别对应相等，则
ｈ骂竽＝层．６（¨）
（１ｌｎ）
曲女唑掣：Ｅ．口（州）（１ｌｂ）
令边界端点（ｘｍｉ。和Ｋ一）处的能量Ｅ“（ｋ。）和Ｅ“
（ｋ）为此时系统的平均能量Ｅ４，则由式（５６）得
到边界条件的有限差分近似形式
∽ｃｕ圳ｃｕ一扣他，。２旬Ｐ“（＆，。）＝。４（Ｋｍ．ｎ）＋铲１・６“（ｋ）
ｋｔｒ１（ｋ）２口４（ｋ）＋ｉＩｕＥ・扩（ｋ）
ｃｋ，圳ｃｋ，一扣耐ｃｋ，ｎ２∞
其中：系统能量均值为
ｉ＝（吵㈣砂＞＝一Ｔ＋一Ｖ
（１３）
动能均值为
予砌Ｉ岫＝（小差喜㈨
一鬟亡（班’磐）出
（１４）
势能均值为Ｐ＝（廿Ｉｖｌ廿）
＝亡ｙ（＊）Ｉ砂（钳）ｌ“
（１５）
第５期各桂初，等：时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用・４５・
考虑单个电子与势垒的作用过程，如图１所
２势垒贯穿问题的计算分析
２．１计算模型与计算参数的选取
示。电子质量ｍ＝９．１ｘ１０—３１蛔，初始动能ＫＥ
＝ｌＯｅＶ，势垒最高ｖｏ＝１５ｅＶ．图ｌ中Ｐ１、忍、Ｐ３分
别表示三个作用区间内找到电子的概率。
ＫＥｌｌｏｅＶ
●—ｖ、，ｏ●
Ｐｌ
Ｋｌ
毳
Ｋ２
籍
Ｉ
ｃ
Ｐ３
Ｋ３
Ｋ．
图１不同势垒（一方势垒、——三角形势垒、…谐振势垒）的作用模型
Ｆｉｇ．１
Ｄｉｆｆｖｒｅｎｔｍｏｄｅｌｓａｂｏｕｔｔｈｅｉｎｔｅｍｃｌｌｏｎｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｎａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｐｏｔｅｎｔｉａｌ嫡ｅｍ
ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｒｅｅｔａ“ｇｕｌ“ｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒ－
ｔｉｅｒ。ｄｅｌｔｏｉｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒａｎｄｓｙｎｔｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｈａｒｒｉｅｒ．ｅａｐｅｃｌｉｖｅ］ｙ
图１中各势垒函数为（单位：ｅ矿）方势垒
（１６）
作用过程。
图２给出了不同时刻的概率波函数。（＾）随着空间节点的变化关系，其中横轴表示空间节点。可以看出，当时间步Ｎ＝ｌ步时，图中表示的是初始试探波函数随着空间节点ｋ的变化关系，此时
，０．１５Ｋ一４５
墨≤＾≤ＫｏＫ≤ｔ≤墨
（１７）
电子还没有与方势垒作用；随着时间的推移，在Ⅳ＝４５００步左右，电子与方势垒开始作用；Ｎ＝１００００步时，其作用效果比较明显；在Ｎ＝３００００步的图形中，可以清楚的看出。在方势垒的右边有
ｙ（ｋ）＝２－０．１５ｋ＋７５
１
０
ｋ＜％，Ｉ＞墨
００１５酽＋１．２／（一２２５９，≤％≤墨
Ｈｋ）＝｛。（ｚ８）
【０ｋ＞玛，＆（墨
ｒ—ｎ
。
一定的波形，说明电子有一定的概率可以穿透方势垒，这正是量子隧道效应的具体体现。
同时从量子力学观点来看，由于粒子的波动
在本文计算中，考察区问Ｏ≤ｚ≤７ｒｗｚ，空间增量△ｘ＝Ｏ．Ｏｌｎｍ，系数５＝１０００ｓｅｃ・ｒｎ，一，总时间迭代步数取３００００步。
对于初始波函数，令波长Ｉｔ＝３９Ａｚ；高斯波包
性，问题与波透过一层介质相似，有一部分波穿
过，一部分波被反射回去。故随着粒子与方势垒
的作用，图中左边区域（式。＜ｋ（置）概率波函数
的最大峰值减小，波形密集度增加，势垒区和右边
宽口＝３０Ａ。；高斯脉冲的中心ｘ０＝１５０Ａｚ。
２．２计算结果和分析
采用ＦＤＴＤ法，计算模拟得到电子与势垒的
区域有一部分波。按照泼函数的统计诠释，粒子有一部分概率穿过势垒，有一定的概率被反射回
去。
・４６・
云南师范大学学报（自然科学版）第”卷
图２不同时刻ＩＮ＝１．４５００．１００００．３００ＧＯ）的撬率波函数ａ（ｋ）随空间节点ｋ的变化关系．其中横轴表示空间节点
Ｆｉｇ．２
Ｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
ｗ州ｅｆｕｎｃｔｉｏｎ口【ｋ）ｗｉｔｈ
ｒｅｓｐｅｃｔｔｏｓｐａｃｅ—ｓｔｅｐｋ址ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｉｍｅ—ｓｔｅｐⅣ。ｗｈｅｒｅⅣ；１－４５００，１０（】００
３００００ｒｅｓｐｅｃ６ｖｅｌｙ．
一图３给出了电子与不同势垒的作用过程中，系统的动能期望值ＫＥ、势能期望值ＰＥ和各个区
在初始区域中的概率变化；Ｐ２表示的是粒子在势垒区的存在几率；１＇３是粒子穿透势垒到达势垒右
间内概率（Ｐｌ、Ｐ２、Ｐ３及Ｐｓｕｍ）随时间的变化关
系，其中横轴表示时间步。
边的概率；Ｐｓｕｍ是计算区间总的概率，为Ｐｓｕｍ＝
Ｐｌ＋Ｐ２＋Ｐ３。对于三个势垒中的概率变化，总有Ｐｓｕｍ＝１，即不论各个区域概率如何变化，总的概
从系统的动能期望值与势能期望值的关系图
中可以看出，动能的减少，恰是系统势能的增加，系统总的能量不变。其中，与三角形势垒作用下，各能量变化幅度最大，而方势垒中的能量变化幅
率不随时间改变，恒等于１。这不仅是归一化条
件限制的结果，也正是概率守恒（或粒子数守恒）的表现。比较三个势垒中的概率曲线，发现三角
度最小。能量的变化反映了粒子与势垒的相互作
用。同时，在能量变化峰值的两侧，图形并不对
形势垒中的Ｐ３幅值最大，Ｐｌ和Ｐ２变化最大，而方势垒中的概率变化最小。也即三角形势垒的贯
穿系数最大。Ｐ３不为零，这正是量子隧道效应作用的结果。
称，图中方势垒和谐振势垒中比较明显。说明对
称型的势垒，能量的变化并不完全对称。这也反映
了微观粒子量子力学中的不确定性。
图３中的概率变化曲线中：Ｐｌ反映的是粒子
联系能量变化和概率变化来看，能量变化时，
各区域内的概率也相应发生变化。当粒子与势垒
第５期谷桂初，等：时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用
・４７・
作用时，动能和势能的转化关系，恰恰与各区域内过程，得到了概率波函数、系统能量的变化规律，符合理论上的解析分析，说明了用系统平均能量
的方法来处理截断边界是可行的。
概率的变化相对应。能量变化和概率变化是对应
进行的。
图２和图３清楚的描述了粒子与势垒的作用
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圈３能量期望值和各区域概率髓时间的变化关系。其中横轴表示时间步
Ｆｉｇ．３
Ｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｅｎｅｒｇｙ
ｋｉｎｅｔｉｃａｎｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ
ｅｎｅｒｇｙ．－ｅｓｐｏｃｔｉｖｅｌｙＪｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｉｎ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ吓㈣
ｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｉｍｅ。ｗｈｅｒｅｔｈｅ
ａｘｉｓｍｅａｎｓｔｉｍｅ—ｓｔｅｐ
・４８・
云南师范大学学报（自然科学版）
ｐｍｂｋｒｎｓ
ｉｎ
ｖａｌｖｉｎｇＭａｘｗｅｌｌ０
０１１
第２７卷
ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｉｎ
ｉｓｏｔｒｏｐｉｅ
３结论
ｍｅｄｉａ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｍＡｎｔｅｎｎａｓａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ．
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８
法在势垒问题中的应用．以系统平均能量方法处
理截断边界．用此方法计算模拟了在不同势垒
（方势垒、三角形势垒、谐振势垒）下粒子波函数、
系统动能期望值、势能期望值、各区域内概率的变
化关系．再现了微观世界量子隧道效应这一重要
物理现象。进一步表昵，运用ＦｌＹｒＤ法来解决量
—ｄｏｍａｉｎｍｏｄｅｌｏｆｌａｓｉｎｇａｃｔｉｏｎｉｎｅｌｅｃｔｒｏｎａｔｏｍｉｃ３８２７—３８３３．
ｆｏｕｒ—ｌｅｖｅｌｔｗｏ—Ｅｘｐ．，２００４，１２：
ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］，Ｏｐｔｉｃｓ
子力学问题是方便可行的，并且以系统平均能量
方法处理截断边界能得到比较理想的结果。对于
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ＧＵＧｕｉ—ｃｈｕ，
（Ｄｅｐａｔｉｍｅｍ
ＺＨＯＵＱｉｎｇ
６５００９１，Ｃｈｉｎａ）
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Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅ
Ｄｏｍａｉｎ（Ｆ啪）ｍｅｔｈｏｄ
ｐｒｏｂｌｅｍｓｂｅｃｏｍ∞ｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ．１１ｌｅｐｏｓｔｕｌａｔｅ．ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｕｔ—ｏｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｔｒｉａｌｗａｖｅｆｕｎｅｔｉｏｎａ＂ｄｅｓｅｆｉｂｅｄ．Ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅＦＤＴＤ
ｍｅｔｈｏｄ．ｔｈｒｅｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｌｌｉｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎ—
ｅｌｕｄｉｎｇｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒ。ｄｅｌｔｏｉｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒａｎｄｓｙｎｔｏｎｉｃｔｅｄ．Ｔｈｅｅｎｅｒｇｙｖａｒｉａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｖａｒｉａｔｉｏｎ
ａｒｅ
ｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ａｒｅ
ｉｎｖｅｓｔｉｇａ－
ｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｏｄｅｌｅｄ．ｔｈｅ
ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ
ｏｆｑｕａｎｔｕｍｔｕｎｎｅｌｅｆｆｅｃｔｒｅａｐｐｅａｒｅｄ．ＩｔｉｓｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏａｐｐｌｙｔｈｅＦＤＴＤｍｅｔｈｏｄｉｎ
ｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ
ｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄ
ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ
ａｒｅ
ａｃｃｅｐｔａｂｌｅｗｈｉｌｅｕｓｉｎｇｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｕｔ—ｏ仃ｂａｓｅｄ
Ｏｉｌ
ｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｅｎｅｒｇｙｏｆ
ｔｈｅｓｙｓｔｅｍ．Ａｎｄｉｔｉｓｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙｆｕｒｔｂｅｒ
ｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｏｔｈｅｒｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅＤｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄ，ｐｏｔｅｎｔｉａｌ
ｂａｒｒｉｅｒ
ｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ，ｑｕａｎｔｕｍ
ｔｕｎｎｅｌｅｆｆｅｃｔ
时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
谷桂初， 周庆， GU Gui-chu， ZHOU Qing云南大学,物理系,云南,昆明,650091
云南师范大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF YUNNAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES EDITION)2007,27(5)4次
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