小学奥数典型问题解析

小学奥数典型问题解析

一、 盈亏问题

解答盈亏问题 的关键在于找出两次分配中，由于每次分配的数量的改变和剩余数变化的情况之间的关系，然后运用盈亏问题的基本数量关系求出答案。

盈亏问题的基本数量关系有：

（盈＋亏）÷两次分配的差数

（大盈－小盈）÷两次分配的差数

例1：若干名同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上有4个空位。问有多少名同学？多少条船？

分析：两种乘船情况，在面对同样多人数的时候，出现了多5人，少4人两种情形，差了5+4=9人。由于一条船4人，另一种情况一条船5人，相对应的两条船差5-4=1人。几条船最终相差9人，为什么呢？9÷1=9条船，共有4×9+5=41名同学。

例2：若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若一条船上做6人，其余每船5人则船上有3个空位。问有多少名同学？多少条船？

分析：将第二个情况转化为每船5人则船上有2个空位，两种乘船情况，在面对同样多人数的时候，出现了多5人，少2人两种情形，差了5+2=7人。由于一条船4人，另一种情况一条船5人，相对应的两条船差5-4=1人。几条船最终相差7人，为什么呢？7÷1=7条船，共有4×7+5=33名同学。

例3：有一堆螺丝和螺母，若1个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6螺母。问：螺丝、螺母各有多少个？

分析：由“1个螺丝配2个螺母，则多10个螺母”或知螺母是螺丝的2倍多10个；由“1个螺丝配3个螺母，则少6螺母”，可知螺母是螺丝的3倍少6个。

螺丝有：（10+6）÷（3－2）=16个

螺母有：16×2+10=42个

A,B 两车同时从甲、乙两站相对开出，第一次距乙站７８．４千米处相遇，相遇后两车仍以原速度继续行驶，并在到达对方车站后，立即沿原路返回，途中两车在距甲站５３．２千米相遇，这次相遇点相距多少千米？

分析：两车同时从两地相向而行，第一次相遇两车共行了一个全程，在距乙站７８．４千米处相遇，也就是B 车行了78.4千米，说明每行一个全程B 车就行78.4千米 ，第二次相遇两车共行了三个全程，B 车共行了（78.4*3）千米，减去53.2千就是全程的距离。全程再减去78.4和53.2就是两次相遇点相距的距离。

算式: 78.4*3-53.2-78.4-53.2=78.4*2-53.2*2

练习：

1、 学校组织旅游，乘车时发现如果每辆车做25人，还有12人没有座位，如果每辆车做28人，还空下9个座位。请问共有多少辆车？多少人？

(12+9) ÷(28-25)=7（辆）

7×25+12=187（人）

2、 小红家买来一蓝橘子分给全家人. 如果其中二人每人分3个，其余每人分2个, 则多出4个; 如果其

中一人分6个, 其余每人分4个, 则又缺12个, 小红家买来多少个橘子? 共有多少人?

（3－2）×2+4+12-（6-4）=16

16÷（4－2）=8人

2×3+2×6+4=22个

3、 淼淼从家到学校，先用每分钟50米的速度走2分钟后，感到如果这样走下去，他上课就要迟到8

分钟。后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟。淼淼家到学校的距离是多少？ （50×8+60×5）÷（60－50）=70分

50×（70+8）=3900米

二、 年龄问题

年龄问题的特点是：随着时间的变化，两个有的年龄之差永远不变，但原来二人年龄的倍数和今后二年龄的倍数却发生了变化。

例1：父亲今年46岁，儿子今年14岁，当父亲的年龄是儿子的9倍时，父子的年龄和是多少岁？ 分析：当父亲的年龄是儿子的9倍时，父亲与儿子的年龄差还是46-14=32岁，父亲的年龄比儿子多9-1=8倍，其中的一倍是儿子当时的年龄，是32÷（9－1）=4岁，父亲是4×9=36岁。父子年龄和是4+36=40岁。

例2：今年祖父的年龄是小明年龄的6倍，几年后祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过了几年，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。问：小明今年多少岁？

分析：祖父和小明的年龄差是永远不变的，这个差是6-1=5，5-1=4，4-1=3的倍数，而[5，4，3]=60（按常规祖父的年龄只能比小明大60岁），今年祖父比小明多6-1=5倍，可求出小强今年的年龄是60÷（6-1）=12岁。

例3：学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时你刚1岁，当你像我这么大时我已经40岁了。”你知道老师多少岁吗？

分析：

1岁

学生

老师

通过观察线段图可先求出教师与学生年龄差，进而求出老师的年龄（40-1）÷3×2+1=27岁。

练习二

1、爸爸今年44岁，小强今年12岁，多少年前爸爸年龄是小强年龄的9倍？

（44－12）÷（9－1）=4岁

12－4=8年

2、姐姐6年后的年龄与妹妹4年前的年龄和是29岁，妹妹现在的年龄是两人年龄差的4倍。姐姐今年多少岁？

（29－6+4）÷（5+4）=3岁

妹妹：4×3=12岁

姐姐：5×3=15岁

3、小亮比小明大2岁，小刚比小军大1岁，小军年龄最小。5年前四人年龄和是8岁，5年后四人年龄和是47岁，今年这四个小朋友各有多少岁？

8+（5+5）×4=48岁

年龄和相差48－47=1岁，说明有一人10年间长了9岁

小军今年是4岁

小刚今年4+1=5岁

小亮今年是（27－9+2）÷2=10岁

小明今年是10－2=8岁

三、鸡免问题

学会运用假设法解题

例1：鸡免同笼，共100个头，280只脚。问：鸡、免各有多少只？

分析：假设这100只全是免，每只免有4只脚，应该有4×100=400只脚，实际只有280只脚，相差了400-280=120只脚。相差的原因是每只鸡多算了2只脚，相差的总脚数120里含有多少个2，就是多少只鸡按免算了。从而求出鸡的只数120÷2=60只，免有100-60=40只。

例2：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有以上三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，问：每种小虫各有几只？ 分析：从腿入手，蜘蛛有8条腿，而蜻蜓和蝉都有6条腿，我们可以把6条腿的小虫看作一种，这样就容易了。如果批16只小虫都看用6条腿，那么应该有16×6=96条腿，而与实际的110条腿，相差了110-96=14条，相差的原因是批蜘蛛的8条腿当用6条来算的，这样就少算了2条腿，少多少个2就是蜘蛛的只数14÷（8-6）=7只，这样蜻蜓和蝉共有16-7=9只，再用假设法求出蜻蜓和蝉的只数。蝉有（9×2-14）÷（2-1）=4只，蜘蛛有9-4=5只。

例3：某次数学竞赛共有12题，评分标准是：每做对一道题得10分，每做错一道或不做题扣2分。明明参加这次竞赛，得了84分。问：明明做对了几道题？ 分析：如果12题全部答对了，应该得分为12×10=120分，而明明实际得了84分，损失了120-84=36分，由做错一道或不做题扣2分，可得如果有一题不答或答错，将损失10+2=12分，明明答错或不答的题数为36÷12=3道，答对了12-3=9道。

练习三：

1、2角和5角的硬币共100枚，价值35元，二种硬币各有多少枚？

(350－2×100) ÷(5－2)=50枚„„5角

100-50=50枚„„2角

2、1角、2角和5角的硬币共100枚，价值20元，如果其中2角硬币的价值比1角硬币的价值多13角，那么三种硬币各有多少枚？

解:设1分的有a 枚，2分的有b 枚

（5-1）a+（5-2）b=5×100-200

2b-a=13

解方程得a=51,b=32

5分的有100-32-51=17。

3、一个运输队包运1998套玻璃具。运输合同规定：每套运费以1.6计算，每损

坏一套不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元。结果运输队实际得到

运费3059.6元，那么，在运输过程中共损坏了多少套茶具？

(1.6×1998-3059.6) ÷（18+1.6）=7套

四、 平均数问题

【例1】 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米?

分析：因为平均每天所游的距离提高 498-495=3米，需要多游778-670=108米，所以暑假一共有108÷3=36天，如果平均每天游500米，则要在最后一天游 （500-498）×36+778=850米。

【例2】 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多 分。

分析：

解法一：根据题意可知：前六人平均分=前十人平均分+3，这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18(分) ，来弥补后四人的分数。因此后四人的平均分比前十人平均分少18÷4=4.5分，也就是：后四人平均分=前十人平均分一4.5。

当后四人调整为二等奖，这样二等奖共有20+4=24(人) ，平均每人提高了1分，也就由调整进来的四人来供给，每人平均供给24÷4=6(分) ，因此，四人平均分=(原来二等奖平均分)+6，与前面式比较，原来一等奖平均分比原来二等奖平均分多4.5+6=10.5(分) 。

解法二：

图上横向的线表示人数，竖向的线表示分数，红线表示原来的的一等奖和二等奖，蓝线

表示调整后的一等奖和二等奖，虽然一、二等奖的人数和平均分发生变化，但一、二等奖的总分没有变，也就是说图上红线的两个长方形的面积之和等于蓝线的两个长方形的面积之和，我们观察图可以发现两块黄色小长方形的面积等于蓝色长方形的面积（10-4）×3+20×1=38，蓝色长方形的长是4，宽就是38÷4=9.5，原一等奖比二等奖的平均分高

9.5+1=10.5分。

练习四：

1. 甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。

49×7÷（51+49）=3.43分

81+7-3.43=84.57分

2. 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将二等奖中前4人调整为一等奖，这样得二等奖的学生的平均分下降了1分，得一等奖的学生的平均分下降了2分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多 分。

（10×2+20×1）÷4=10分

五、还原问题

还原问题也叫倒推问题。解答还原问题的方法，是用加、减法互为逆运算和乘、除法互为逆运算的原理，从最后一次运算的结果，一步一步地往回推理，直到推得原数为止。

例1：村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个

?

分析：从上面线段图可以看出：

最后剩下2个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是(2+2)×2=8(个) ．

8个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(8+2)×2=20(个)

20个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是： (20+2)×2=44(个) 答：这篮鸡蛋有44个．

例2：甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？

分析：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：（1）甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；（2） 甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；（3） 最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.

练习五：

1、某粮库有面粉若干袋，第一次卖掉原有的一半少12袋，第二次卖出剩下的一半多10袋，第三次又卖出48袋，这时还剩28袋。求粮库中原有面粉多少袋？

[(48+28+10)×2—12]×2=320袋

2、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？

(3-1)×2=4个

(4-1)×2=6个

（6-1）×2=10个

（10-1）×=18个

（18-1）×2=34个

3、有119只蜜蜂在三棵枣树上采蜜．一会儿有10只蜜蜂从第一棵枣树上飞到第二棵枣树上；过了一会儿，又有20只蜜蜂从第二棵枣树上飞走了．这时三棵枣树上的蜜蜂正好一样多，第二棵枣树上原来有多少只蜜蜂?

(119-20)÷3-10+20=43只