六年级奥数题及答案(中等难度)

六年级奥数题及答案：中等难度试题汇编

1、抽屉原理（中等难度）

彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面；另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面；第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱) ，分别 是：

6048cm2，4563cm2，4995cm2

合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少？

分析与解答：

木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。

假设木箱尺寸如图所示为a 、b 、c ，并假设3块合成板

的面积分别是X 、Y 和Z ，

2、 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子. 请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答：

首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉. 把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果. 把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉. 由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的

3、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内. 如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完. 如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

分析与解答：

这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加. 所以总水量是个变量. 而单位时间内漏进船的水的增长

量是不变的. 船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量. 对于这个问题我们换一个角度进行分析。

如果设每个人每小时的淘水量为"1个单位". 则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30.

船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。

船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量. 所以船内原有水量为30-（2×3）=24。

如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。

从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问

题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量. 有了这两个量，问题就容易解决了。

4、桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次" 翻转". 要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次" 翻转". 即" 翻转" 的总次数为奇数. 但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次" 翻转" ，翻转的总次数只能是偶数次. 因此无论经过多少次" 翻转" ，都不能使9只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

5、 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16. 被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

∵被除数=除数×商+余数，

即被除数=除数×40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，

∴（除数×40+16）+除数=877，

∴除数×41=877-16，

除数=861÷41，

除数=21，

∴被除数=21×40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

6、请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．

解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上的或者所在行、列空格比较少的) ，选作突破口．本题可以选择两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受的限制最严，所能填的数的空间也就最小．

副对角线上面已经填了2，3，8，6四个数，剩下1，4，5和7，这是突破口．观察这四个格，发现左下角的格所在的行已经有5，所在的列已经有1和 4，所以只能填7．然后，第六行第三列的格所在的行已经有5，所在的列已经有4，所以只能填1．第四行第五列的格所在的行和列都已经有5，所以只能填4，剩下右上角填5．

再看主对角线，已经填了1和2，依次观察剩余的6个方格，发现第四行第四列的方格只能填7，因为第四行和第

四列已经有了5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已经有了4，8，3，5，所以只能填6．

此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少的行列，例如第四列已经填了5个数，只剩下1，2，5，则很明显第六格填2，第八格填1，第三格填5．此时可以填主对角线的格子了，第三行第三列填8，第二行第二列填3，第六行第六列填4，第七行第七列填5．

继续依次分析空格较少的行和列(例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……)，可得出结果如下图．

7、公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开丙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管1小时后灌满一池水．不合题意．

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开乙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开丙管45分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管后15分钟灌满一池水．比较第二周和第三周，发现开乙管1小时和丙管45分钟的进水量与开丙管、乙管各1小时加开甲管15分钟的进水量相同，矛盾．

所以第一周是在开甲管1小时后灌满水池的．比较三周发现，甲管1小时的进水量与乙管45分钟的进水量相同，乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同．三管单位时间内的进水量之比为3:4:2．

8、浓度问题：（中等难度）

瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A 、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A 种酒精溶液浓度是B 种酒精溶液浓度的2倍，那么A 种酒精溶液的浓度是百分之几？ 浓度问题答案：

9、水和牛奶：（中等难度）

一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A 桶里的液体倒入B 桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B 桶里的液体倒进A 桶，使A 桶内的液体体积翻番．最后，我又将A 桶中的液体倒进B 桶中，使B 桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的

液体，而在B 桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？

水和牛奶答案：

10巧算：（中等难度）

计算

：

巧算答案：

本题的重点在于计算括号内的算式：

．这个算式不同于我们常见的

分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．

法一：

观察可知5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

（法二）

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a+nd，其中为公差d ．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．

（法三）

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：

11、队形：（中等难度）

做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人

的实心方阵，则还缺少15人. 问：原有多少人？ 队形答案：

当扩大方阵时，需补充10+15人，这25人应站在扩充的方阵的两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角. 补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13人. 因此扩大方阵共有13×13=169人，去掉15人，就是原来的人数

169-15=154人.

12、计算：（中等难度）

一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的

倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数. 问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？

计算答案：

用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数，

，它能被11整除，并设a1+a3+a5≥a2+a4+a6，

则对某一整数k≥0，有：

a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*）

也就是：

a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6）

15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**） 由此看出k 只能是奇数

由（*）式看出，0≤k

对于a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5的情形，也可类似地证明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是11的倍数. 根据上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数.

12、分数：（中等难度）

某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分. 第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数. 问：至少有几个学生的得分不低于60分？

分数答案：

除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之间，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）.

为使不低于60分的人数尽量少，就要使低于60分的人数尽量多，即得分在30～59分中的人数尽量多，在这些分数上最多有3×（30＋31＋…＋59）= 4005分（总分），因此，得60～79分的人至多总共得7997-4005=3992分. 如果得60分至79分的有60人，共占分数3×（60+61+ …+ 79）= 4170，比这些人至多得分7997-4005= 3992分还多178分，所以要从不低于60分的人中去掉尽量多的人. 但显然最多只能去掉两个不低于60分的（另加一个低于60分的，例如，178=60＋60＋58）. 因此，加上前三名，不低于60分的人数至少为61人.

13、四位数：（中等难度）

某个四位数有如下特点：①这个数加1之后是15的

倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.

四位数答案：

因为该数加1之后是15的倍数，也是5的倍数，所以d=4或d=9.

因为该数减去3是38的倍数，可见原数是奇数，因此d ≠4，只能是d=9.

这表明m=27、37、47；32、42、52. （因为38m 的尾数

为6）

又因为38m ＋3=15k-1（m 、k 是正整数）所以38m+4=15

k.

由于38m 的个位数是6，所以5|（38m ＋4）， 因此38m+4=15k等价于3|（38m ＋4），即3除m 余1，

因此可知m=37，m=52.

所求的四位数是1409，1979.

14、行程：（中等难度）

王强骑自行车上班，以均匀速度行驶. 他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？ 行程答案：

汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度-自行车速度）×12=（汽车速度+自行车速度）×4

得出：汽车速度=自行车速度的2倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2倍自行车速度-自行车速度）×12÷2倍自行车速度=6（分钟）.

14、跑步：（中等难度）

狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

准确案：

根据" 马跑4步的距离狗跑7步" ，可以设马每步长为7x 米，则狗每步长为4x 米。

根据" 狗跑5步的时间马跑3步" ，可知同一时间马跑3*7x 米＝21x 米，则狗跑5*4x＝20x 米。

可以得出马与狗的速度比是21x ：20x ＝21：20

根据" 现在狗已跑出30米" ，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

15、排队：（中等难度）

有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

准确案：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种 综合两步，就有24×32＝768种

16、分数方程：（中等难度）

若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?

准确值案：

设原来小球数最少的盒子里装有a 只小球，现在增加了b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球．

同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．

类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数． 现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?

因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数； 又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；

又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数．

所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.

17、自然数和：（中等难度）

在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个

整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.

准确值案：

(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．

(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数． 关于某整数，它的" 奇数的约数的个数减1" ，就是用连续的整数的和的形式来表达种数.

根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15) ； 有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729) ，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：

364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40

18、准确值：（中等难度）

准确值案：

19

、准确值：（中等难度）

喜羊羊案：

20

、巧求整数部分题目：（中等难度）

(第六届小数报决赛)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A 的整数部分是_________.

巧求整数部分答案：