"截一个正方体所得截面问题"教材资源的整合利用与再创造

“截一个正方体所得截面问题”教材资源

的整合利用与再创造

耒阳市杜甫中学 谢永红

所谓课程资源是指富有教育价值的、能够转化为学校课程或服务于学校课程的各种条件的总称，它包括教材以及学校、家庭、社会中所有可资利用的，有助于提高学生素质的人力、物力与自然资源。

有关正方体的截面问题，在义务教育课程标准实验教科书的两种权威版本中都有提及。如《北师大版义务教育课程标准实验教科书数学》七年级上册中课题《截一个几何体》有探究活动：

[截一截]如图1-7，用一个平面去截一个正方体，截出的面（叫做截面，section）可能是什么形状？（P13页）

图1-7

截面的形状可能是三角形吗？可能是三条边都相等的三角形吗？先做一做，再想一想。

[做一做]下图中的截面的形状分别是什么？（已删减两个非正方体截面图）（P13页）

又如《华东师大版义务教育课程标准实验教科书数学》七年级上册课题《让我们来做数学》后P11页练习T1：

如图，表示用刀切去正方体的一个角得到切口图形是等边三角形的方法

下列图形中，哪一个也能通过切正方体得出来？

一、教材背景分析

新的数学课程标准在数学教学内容与框架体系上有较大的调整，整个义务教育阶段的数学教学内容分为四大体系，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。

《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形”是出于什么考虑？

1、“空间与图形”的学习，有助于学生更好地认识和理解人类的生存空间；

2、“空间与图形”的学习，有助于培养学生的创新精神；

3、“空间与图形”的学习，有助于学生获得必需的知识和必要的技能，并初步发展空间观念，学会推理；

4、“空间与图形”的学习，有助于促进学生全面、持续、和谐地发展。

在认识数学与现实世界的密切联系方面，“空间与图形”的作用是不可替代的；在构建直观的、形象化的数学模型方面，“空间与图形”的作用是独特的。正方体是我们现实生活中常见的几何图形，研究正方体的截面问题，对于发展学生的空间观念，培养学生的空间想像能力，作用是非凡的；同时，研究正方体的截面问题，实现三维与二维图形之间转化，也可作为将来高中数学学习的一个很好的铺垫。因此，我认为，无论是从学科教学内容要求的角度看，还是从数学教学素材来源的角度看，或是从学生持续发展的角度看，“截一个正方体”都应是作为不同版本教材发展学生空间观念的一个载体。

二、教材资源的整合利用

综合两种版本中的相关问题，实际上可归为一个问题，即：用一个平面去截一个小正方体，截面可能是三角形吗？可能是四边形吗？五边形、六边形呢？七边形呢？

因此，教学设计中，我将两种版本中的相关问题整合在一起，并沿着知识结构的“最近发展区”进行发散性延拓，提出了一个专题性探究课题。

即：用刀切截一个小正方体，切口可能是三角形吗？可能是四边形吗？五边形、六边形呢？七边形呢？

（含特殊多边形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形等）

其教学目的，一是让学生经历切截正方体的活动过程，体会正方体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富数学活动经验，发展空间观念；二是让学生通过正方体截面问题的探究，经历探究、合作、与别人交流等实践活动，分享彼此的经验和体验，培养团结协作意识，丰富学生对数学学习的情感体验。

三、课程实施中存在的困难

其一，对于初中一年级的学生来说，认知角度存在困难。

从学生已有的生活经验来看，截一个正方体，得到截面图形可为三角形、四边形是不成问题的，诱发学生有兴趣、有信心进一步探究截面是否可以为五边形、六边形、七边形，甚至任意多边形？但很难探究出结果。

从认知的角度来看，学生最先感知的是三维世界，是“空间”。因此，正方体的截面问题的探究过程，极大程度上是人的思维不断地在二维和三维之间转换的过程。这种转换在数学课堂上，学生往往只能是经过大脑的想象来处理的。然而，想象可以被视作为一种特殊形式的思维，它是创造出新形象的能力，这个能力恰恰是缺乏空间观念、空间想象力的学生所缺乏的，因此学生感到困难。而困难的根本原因，在于缺乏经验。

其二，实验操作载体选择上存在困难。

教学设计中，我试图创新教法、创新课堂教学模式，将实验带进数学课堂。因为，我认为，借助亲手实践操作手段，观察、猜想，运用图形直观、几何直觉可以增进学生对几何体截面图形的数学理解能力。另一方面，我认为，这一设计思路，也可能让学生感觉自己就是专家、学者，自己是在做一个学术研究，这样，有利于提高学生学习的主动性。事实上，在课前的准备工作中，学生果然表现出了极大的兴趣和极强的参与意识。

按照我最初的设计思路，学生通过切萝卜、切橡皮泥（将它们分别切成正方体模型）等实践操作，并经过小组合作交流、探究是较容易得到切口形状的。而且，我认为找到了一种很适合基层教学的实验载体（萝卜、薯类、橡皮泥甚至普通泥等都是基层学生易找的）。然

而，实际教学不尽如此。

一）切截萝卜、薯类等制成的实物模型，有几个不利因素。

1、实物模型大小受到限制，给切截实践操作带来困难，很难得到五边形、六边形；

2、实物模型有一定的硬度，学生必须带刀实践操作，给学校带来不安全因素；

3、实物模型含有水分，不易造色，不易观察切口形状，也不便于教师展示；

4、一堂课实验结束，教室内遍地萝卜等杂渣，环境受损；

5、一次切截如不成功，很难重复实验。

二）切截泥类也不尽人意。

几何体模型易制，大小也可不受限制，但因硬度不够，刀一接触，几何体就变形了。

因此，在实验模型载体的选择上，截一个几何体问题就是一个极具挑战性的探究性课题。

况且，能不能得到五边形、六边形的切口呢？如果能，刀口应怎样放置，怎样处理刀面的倾斜角度才能得到五边形、六边形呢？这都是极具挑战性和探究性的。

四、教材资源的再创造与创新设计

关于正方体切截载体的选择，在苦苦的探求过程中，终于在一个偶然的机会，我想到了“以水代刀”。“在一个正方体玻璃模具中，加入水，水面的形状不就是切口的形状吗？”，于是，我将教材资源中的“截面”、“切口”统一换成“水面”，重新设计了教学程序。

五、操作说明

1、在正方体玻璃瓶中装入少量水，水面为三角形，联想用刀切截正方体的切口图形。

2、在正方体玻璃瓶内装入不同体积的水，根据正方体的不同摆放方式，以及体内水面的不同形状可以很容易探究出用刀切截正方体可能得到的平面图形。

3、切口为特殊多边形的探究方法。如：

4、探究出为什么最多只能得到六边形（因为正方体只有六个面，水面跟每个面最多只能形成一条边）。

六、教后反思

根据新的《数学课程标准》，设置数学课程的基本目的，不再只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。关于正方体切截载体的选择，我想到了“以水代刀”，这一发现是我在火车上一边喝矿泉水，一边思考截几何体“载体”时得到的。我把这一过程告诉学生，意在以正方体的截面问题为切入口，诱导学生数学源于生活、寓于生活、用于生活。用水面形状来代替切口形状即是将生活题材数学化的一个前所未有的创新。我的创新过程将启迪学生思维、解决问题的方式、方法，并

增加学生学习数学的勇气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，

激发学生潜在的创造力，逐步形成创新意识。当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出：几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位„„，几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价值，却是独特的、难以替代的。

“从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识„„实践能力等这些远比升学重要的公民素质。”探究一个正方体的切口形状作为教学内容是一个源于教材的很有意义的课程资源，以水代刀，将水面形状代替切口形状作为教学媒体也是廉价的推广可行的课程资源。

关于正方体的截面问题的研究，还有一些值得探讨的问题，本人设计了用水面代替刀切截正方体的构想，然而，在课堂教学实践中，由于水的流动性，液面难于稳定，因此，教师给学生展示时存在不便。2003年10月和12月，我曾就这一课题分别在多个县乡送教下乡，不少专家、同行给我提出了许多有益的建议。如用沙代水、或制成正方体铁丝框架座等等，这些方法都是可行的，在此表示感谢。但是否有更好的处理方法呢？还望能得到专家、同行们的指教。另外，值得一提的是，正方体玻璃瓶需到玻璃店特制，在设计时需在其中一面留一小孔，以便于控制水的多少；有关部门若能联系厂家，统一制成塑料模具，将使教育一线教师减轻许多不必要的工作负担；装水时，为便于观察，宜将水染色。

有关正方体的截面问题，还可进一步拓展课程资源，如：

1、用一个平面去截一个正方体，截下的两个立体图形各有几个

面？

2、用一个平面去截一个正方体，要使所截得的面为长方形，那么被截下的两个立体图形各有几个面？一共有几种情形？你能全部列举出来吗？

3、用一个平面去截一个圆锥、圆柱等其它甚至一般的几何体，所得的截面是怎样的？（也可以用“水面”代替“截面”）

“用教材”而不是“教教材”，教材是我国学校教育的主要课程资源，但不是唯一的课程资源。教师应根据自身实际，创造性地使用教材。

创新所带给人的精神愉悦是任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、最恣意的绽放，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，理所当然应该关注个人生命质量的提升。

在课堂教学中，教师应该与学生建立一种新型的民主平等的师生关系，从独奏者的角色过渡到伴奏者的角色，从此不再主要是传授知识，而是帮助学生去发现、组织和管理知识，引导他们而非塑造他们。