经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式

一、不等式

1、不等式的基本性质：

>b , b >c ⇒①、对称性： a > b ⇔ b

a 传递性：a _________ a >c

a >②、 b , c ∈ R ，a+c＞b+c

③、a ＞b ， c > 0 ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ，c b>0，那么a n >bn . （条件n ∈N , n ≥2

∈ N , n ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 n ≥ 2 ）

2、基本不等式

定理1 如果a, b∈R, 那么 a 2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。

定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么

a +b

≥ 2

当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y时，和x+y有最小值

；

2

（2）如果和x+y是定值s ，那么当x=y时，积xy s

1

4

小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一

定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式

a +b +c 定理3 如果a , b , c ∈R +，那么≥当且仅 3 当a =b =c 时，等号成立。

即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 1, a , , a , 它们的算术平均不小于它们的几何平均，2n 即：

a +a 2+ a n

1≥n

当且仅当a 1=a 2= =a n 时，等号成立。

二、绝对值不等式

1、绝对值三角不等式

实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：

任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间的距离。

定理1 如果a, b是实数，则

|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab ≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）

如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2、绝对值不等式的解法

（1）|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c 和|t|≥c 型不等式，然后再求x ，得原不等式的解集。

②分段讨论法：

⎧a x +b ≥0⎧a x +b

|a x +b |≤c (c >0) ⇔⎨或⎨

a x +b ≤c ⎩⎩-(a x +b ) ≤c

⎧a x +b ≥0⎧a x +b

|a x +b |≥c (c >0) ⇔⎨或⎨

a x +b ≥c ⎩⎩-(a x +b ) ≥c

（2x -a +x -b ≥c 和x -a +x -b ≤c

型不等式的解法

① 用绝对值不等式的几何意义 ② 零点分区间法 ③ 构造函数法

典型例题

例1 解不等式

例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

例3 解不等式|x2-3|x|-3|

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|

不等式证明的基本方法

知识点一：比较法

比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。 1、作差比较法

常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小. 理论依据：

①

；②

；③

。

一般步骤： 第一步：作差；

第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；

第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，

应根据题目的要求分类讨论. 第四步：得出结论。

注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。

2、作商比较法

常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 理论依据：

变形（约分、化简）

判断

若、

，则有①

；②

；③.

基本步骤:

第一步：判定要比较两式子的符号 第二步：作商

第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段； 第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定, 应根据题目的要求分类讨论.

第五步：得出结论。

注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

知识点二：分析法

分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法. 思维过程：“执果索因”.

证明格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。 适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。

知识点三：综合法

综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。 思维过程：“执因索果” 适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.

知识点四：反证法

反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。 适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

理论依据：命题“p ”与命题“非p ”一真、一假。

注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.

知识点五：放缩法

放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。

理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。

规律方法指导

1、不等式证明的常用方法：

比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。

2、反证法的证明步骤：

①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；

②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确。

3、放缩法的常用技巧：

①在恒等式中舍掉或者加进一些项； ②在分式中放大或缩小分子或分母；

例如：

③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩； 例如：f(x)为增函数，则f(x-1)

，则有；

若，则有。

这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段 经典例题透析

类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：

；

(a，b 均为正数，且a ≠b)

（1） （2）

思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c 的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a 2, b 2, ab 这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。 证明： （1）

当且仅当a=b=c时等号成立，

（2）

（当且仅当a=b=c取等号）.

∵a>0, b>0, a≠b, ∴a+b>0, (a-b)2>0, ∴ ∴

.

，

总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：

【变式1】证明下列不等式： (1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) (3)a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a ，b ∈

，x ，y

∈

，且a+b=1，求证：ax 2+by2≥(ax+by)2

（1）

2、用作商比较法证明下列不等式：

(a，b 均为正实数，且a ≠b)

，且a ，b ，c 互不相等）

（2）（a ，b ，c ∈ 证明：

（1）∵a 3+b3>0, a2b+ab2>0.

∴，

∵a, b为不等正数，∴ ∴

，∴

（2）证明：

不妨设a>b>c，则

∴

所以， 总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商结论。

变形 判定商式大于1或等于1或小于1

举一反三：

【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b

【变式2】已知a ，b 均为正实数，求证：a a b b ≥a b b a

类型二：综合法证明不等式

3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明：

法一：由b 2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2) ≥2abc ， 同理b(c2+a2) ≥2abc ，c(a2+b2) ≥2abc

∵a,b,c 不全相等，∴上述三个等号不同时成立， 三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 法二：∵a ，b ，c 是不全相等的正数，

∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2) 均为正数， 由三个数的平均不等式得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.

总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：

【变式1】a , b, m∈R +，且a

.

4、若a>b>0，求证：.

思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”. 因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.

证明：，

∵ a>b>0, ∴

a-b>0, b>0, ,

∴

,

∴

举一反三：

（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）

【变式】x, y,z∈R +, 求证：

，

，a 2-2ac+c2

类型三：分析法证明不等式

5、已知a,b>0，且2c>a+b

，求证：

证明：要证 只需证： 即证：

∵a>0，只需证a+b

∵已知上式成立，∴原不等式成立。 总结升华：

1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的

问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。 3．基本思路：执果索因

4. 格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

举一反三：

【变式1】求证：a 3+b3>a2b+ab2(a，b 均为正数，且a ≠b)

【变式2】a , b, m∈R +，且a

【变式3】求证：

【变式4】设x>0，y>0，x ≠y ，求证：

.

类型四：反证法证明不等式

6、已知a,b,c ∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。

思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。

证明：假设原结论不成立，即，

则三式相乘有：„„①

又∵0

同理有：，

以上三式相乘得

∴假设错误，原结论成立。

，这与①矛盾，

总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组

”，结构简单明了，成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于

为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

举一反三：

【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

类型五：放缩法证明不等式

7、若a,b,c,d R +，

求证： 思路点拨：记中间4个分式之和的值为m ，显然，通过通分求出m 的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。

证明：记

∵a,b,c,d R +，

∴

∴1

总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即

常用的放缩技巧主要有：

① f(x)为增函数，则f(x-1)

② 分式放缩如

③ 根式放缩如

举一反三： ；

【变式1】求证：

【变式2】 当n>2时，求证：log n (n-1)logn (n+1)

类型六：其他证明不等式的方法

1. 构造函数法

8、已知a>2，b>2，求证：a+b2时，f(a)

总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。

举一反三：

【变式】已知a ≥3，求证：

。

类型六：一题多证

13、若a>0，b>0

，求证：

思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。

证明：

证法一：作差法

∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0

∴，得证。

证法二：作商法

∵a>0,b>0,∴a+b>0，

∴得证。

证法三：分析法

要证，只需证a 3+b3≥(a+b)ab

只需证(a+b)(a2-ab+b2) ≥(a+b)ab(∵a+b>0)

只需证a 2-ab+b2≥ab

只需证(a-b)2≥0

∵(a-b)2≥0成立，∴得证

证法四：综合法

∵a>0,b>0，

∴同向不等式相加得：

举一反三：

【变式】已知都是实数，且求证：