关于中点的联想

20．关于中点的联想

解读课标

线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点．图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想：

中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段；直角三角形斜边中线是斜边的一半，作直角三角形斜边中线是常用辅助线；

梯形中位线、三角形中位线与中点息息相关；

中点还与中心对称图形相连等．

熟悉以下基本图形、基本结论：

问题解决

例1 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为______________．

例2 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC．BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长等于（ ）．

A．38 B．39 C．40 D．41

例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=

为边BC、AC的中点．

（1）求证：DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．

1AB，点E、F分别2

例4如图①，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=PA，PD=PB，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接

E、F、G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图②，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

例5 如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E，F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．

数学冲浪

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1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长为____________cm．

2．如图，若E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，则四边形EFGH是___________．

（1）若把条件中的四边形依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别是___________；

（2）若把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形或正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是___________．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点， 连结DN、EM，若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为__________．

4．如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为_____________cm2．

5．在一个四边形ABCD中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件（ ）．

A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（ ）．

A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm

7．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2．

A．1 B．5 C．2 D．

3

8．如图，小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）．

A．15匹 B．20匹 C．30匹 D．60匹；

9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

10．如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．

11．在图①至图③中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形 BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（1）如图①，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；

（2）如图①中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图②，求证：△FMH是等腰直角三角形；

（3）将图②中的CE缩短到图③的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗?（不必说明理由）

思想方法天地

12．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为____________．

13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，M、N分别为AB、CD中点，MN分别交BD、AC于P、Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=10，则AC=___________．

14．如图，正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为____________．

15．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，M、N是BC边上的点，BM=MN=NC，如果AM=4，AN=3，则MN=___________．

16．如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）．

A．12 B．14 C．16 D．18

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，M为DC中点，N为AB中点，则（ ）．

11A．MN(ADBC) B．MN(ADBC) 22

11C．MN(ADBC) D．无法确定MN与(AD

BC) 22

18．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；用S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和

SP周长．设K=，K1，则下面关于K、K1的说法正确的是（ ）． S1P1

A．K、K1均为常数 B．K为常数，K1不为常数

C．K不为常数，K1为常数 D．K、K1均不为常数

19．如图，已知A为DE的中点，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S1、S2、S3，则

S1、S2、S3之间的关系式是（ ）．

A．S231(S1S3) B．S2(S3S1) 22

13C．S2(S1S3) D．S2(S3S1) 22

20．已知：如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD， AG⊥CE，

1垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=（AB+BC+AC）．若2

（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为∠ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

21．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEFG能构成四边形．．

（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）当点O移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立?画出图形，说明理由；

（3）若四边形DEFG为矩形，则点。所在位置满足什么条件?试说明理由．

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22．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF∥AB．