1412乘法公式(综合2)
1412 乘法公式(综合2)
4.完全平方公式的灵活运用
a 2+b 2=(a +b )2-2ab , a 2+b 2=(a -b )2+2ab ,
(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2),
22 (a +b )-(a -b )=4ab .
(1)恒等式a 2+b 2=(a +b )2-2ab 和a 2+b 2=(a -b )2+2ab 的应用. 在此恒等式中,有三个量a 2+b 2、(a +b )2或(a -b )2、ab ,若已知任意两个,则可求第三个,求得(a +b )2或(a -b )2,也就求得a +b 或a -b .
如:①若a 2+b 2=3,ab =1,求(a +b )2值.
②若a -b =3,ab =4,求a 2+b 2值.
(2)恒等式(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2)的应用.
在恒等式(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2)中,有三个量a +b 、a -b 、a 2+b 2,若已知两个量,就可求第三个量.
如:已知a -b =-1,a 2+b 2=5.求a +b .
(3)恒等式(a +b )2-(a -b )2=4ab 的应用.
在此等式中,有三个量a +b ,a -b ,ab .若知任两个量,可求第三个量.
如:已知a -b =1,ab =2,求a +b .
(4)利用完全平方公式,求平方数.
如:152=(10+5)2=102+2×10×5+52=100+100+25=225. 232=(20+3)2=202+2×20×3+32=400+120+9=529.
672=(70-3)2=702-2×70×3+32=4 900-420+9=4 489.
79.22=(80-0.8)2=6 400-128+0.64=6 272.64.
(5)完全平方数是非负数.
任何一个完全平方数M 都能化为n 2的形式,即M =n 2,由偶次幂的性质得n 2≥0.当n =0时,n 2的最小值是0,并且n 2具有非负数的性质,即若n 个非负数的和为0,则这几个非负数就同时为0.
因此,(a ±b )2≥0.当a ±b =0时,(a ±b )2的最小值为0.
如:①已知(x +y -1)2+(x -2)2=0,则x =_______,y =___________.
如:②已知,a 、b 为自然数,且a +b =2,求ab 的最大值及a 、b 的值.
5.完全平方公式的逆运用,即a 2±2ab +b 2=(a ±b )2
把一个形如a 2±2ab +b 2的二次三项式化为(a ±b )2的形式,然后运用(a ±b )2的性质求解问题.
如:已知x 2+4x +y 2-2y +5=0,求x 、y 的值.
如:已知a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ,则a 、b 、c 的关系为_______.
也可以运用公式a 2±2ab +b 2=(a ±b )2把一类二次三项式直接化为(a ±b )2的形式.
如4x 2-4xy +y 2=(2x )2-2×2x ×y +y 2=(2x -y )2.
6.完全平方式
因为a 2±2ab +b 2能化成(a ±b )2的形式,所以,形如a 2±2ab +b 2的式子叫做完全平方式,其中a 、b 表示代数式.
如:①已知x 2+4x +k 是完全平方式,求常数k 的值.
②已知x 2+2kx +4是完全平方式,求常数k 的值.
思考题;已知x 2+M +4是一个完全平方式,求代数式M (提示:①当M 为常数项时;②当M 为乘积项,即“一次项式”时;③当M 为“二次项式”时.并分析在三种情况下,M 的值有多少个.)
注意:完全平方数是完全平方式的特例.
总之,完全平方公式,应用广泛,灵活,具有丰富的方法和技巧.
7.平方差公式可变形后运用
(1)可变形为a 2=(a +b )(a -b )+b 2,可快速求两位数的平方.
如:352=(35+5)(35-5)+52=1 225.
972=(97+3)(97-3)+32=100×94+9=9 409.
(2)在(a +b )(a -b )=a 2-b 2中,有三个多项式,若已知任意两个的值,即可求第三个的值.
22如:已知a +b =3,a -b =4,求a -b 的值
(3)对公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2的逆运用,即利用公式a 2-b 2=(a
2222+b )(a -b )求解问题.(其实(a +b )(a -b )=a -b 和a -b =(a +b )
(a -b )都是平方差公式)
如:
①x 2-4=x 2-22=(x +2)(x -2).
22②1-4a b =(1+2ab )(1-2ab ).
③(a +b )2-(a -b )2=(a +b +a -b )(a +b -a +b )=2a ·2b =4ab .