热传导方程的数学模型1
热传导方程的模型
一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。由于热能的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化，故问题归结为求物体内温度的分布。
在三维直角坐标系下，假设在时刻t点M(x,y,z)的温度为u(x,y,z,t)，考虑一个区域的温度，为此，在物体中任取一闭曲面S，它
n为曲面S的所包围的区域记作V（如图），
法向（从V内指向V外）。
由热传学中的Fourier实验定律可知：物体在无穷小时间段dt内流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间段dt、曲面面积dS，以及物体温度uu沿法线方向的方向导数n三者成正比,即
udQkdSdt n
k(grdau)ndSdt
kgrdaudSdt
其中kk(x,y,z)称为物体的热传导系数
(k0)，当物体均匀且各向同性时，k为常数。式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。
从时刻t1到时刻t2，通过曲面S流入区域V的全部热量为
Q1t2
t1t2ukdSdttkgradudSdt 1nSS
uuu(k)(k)(k)dxdydzdt xxyyzz利用奥高公式 tt21
流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔[t1,t2]内区域V内各点温度u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2)，则在时间间隔
[t1,t2]内V内温度升高所需的热量为：
Q2cu(x,y,z,t2)u(x,y,z,t1)dxdydz
t2 ct1udtdxdydz t
其中c为物体的比热，为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。
由于热量守恒，故Q1Q2，即Q1Q20。 交换积分次序,得
tt21uuuuc(k)(k)(k)dxdyd0z dttxxyyzz由于时间间隔[t1,t2]及区域是任意取的，并且被积函数是连续的，得到
u1uuu[(k)(k)(k)] tcxxyyzz
如果物体是均匀的,即c,,k为常数，得到方程：
222uuuu2a(222) txyz
k其中ac2。该方程称为三维的热传导方
程。