二次函数动点问题的学习归纳
二次函数动点问题的学习归纳
模式1:平行四边形
例题1:在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0) ,B(0,-4) ,C(2,0) 三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S. 求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;
(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标
.
2y =-x +2x +3与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左练习:如图,抛物线
侧),与y 轴相交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连结BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF//DE交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m .
①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形?
②设△BCF 的面积为S ,求S 与m 的函数关系.
1
例题2:如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x 轴交于点A ,与二次函数
y=ax2+bx+c的图象交于y 轴上的一点B ,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴只有唯一的交点C ,且OC=2.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D ,已知P 为x 轴上的一个动点,且△PBD 为直角三角形,求点P 的坐标.
4y =-x +43
练习:如图1,直线和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ,点A 的坐标是
(-2,0).
(1)试说明△ABC 是等腰三角形;
(2)动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动,同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M 运动t 秒时,△MON 的面积为S .
① 求S 与t 的函数关系式;
②设点M 在线段OB 上运动时,是否存在S =4的情形?若存在,求出对应的t 值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MON 为直角三角形时,求t 的值.
2
例题3:已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3,过原点O 作 AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ∞DC ,交OA 于点E .
(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;
(2)将△EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的
6横坐标为,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明5
理由;
(3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在成立,请说明理由.
练习:已知抛物线y =ax 2+bx +c(a>0) 经过点B(12,0)和C(0,-6) ,对称轴x =2.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)点D 在线段AB 上且AD =AC ,若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒) 和点Q 的运动速度;若存在,请说明理由.
(3)在(2)的结论下,直线x =1上是否存在点M ,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
3
2y =ax -x +3(a ≠0)交x 轴于 例题4:已知:在平面直角坐标系中,抛物线
A 、B 两点,交y 轴于点C ,且对称轴为直线x =-2.
(1)求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标;
(2)若点P (0,t )是y 轴上的一个动点,请进行如下探究:
探究一:如图1,设△PAD 的面积为S ,令W =t·S ,当0<t <4时,
W 是否有最大值?如果有,求出W 的最大值和此时t 的值;
如果没有,说明理由;
探究二:如图2,是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC
相似?如果存在,求点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
练习:如图,已知抛物线经过A (﹣2,0),B (﹣3,3)及原点O ,顶点为C
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)设点D 在抛物线上,点E 在抛物线的对称轴上,且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形,求点D 的坐标.
(3)P 是抛物线上第一象限内的动点,过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,是否存在点P ,使得以P ,M ,A 为顶点的三角形与△BOC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
4