高等数学公式(

高等数学公式

导数公式：

(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a (loga x ) '=

基本积分表：

(arcsinx ) '=

1

1x ln a

-x 2

1

(arccosx ) '=-

-x 21

(arctgx ) '=

1+x 2

1

(arcctgx ) '=-

1+x 2

⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C

⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C

dx 1x

=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a

=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x

=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x

=arcsin +C ⎰a 2-x 2

a

π

2

n

dx 2

⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2

⎰sin 2x =⎰csc xdx =-ctgx +C

⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C ⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C

a x

⎰a dx =ln a +C

x

⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰

dx x 2±a 2

=ln(x +x 2±a 2) +C

π

2

I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =

n -1

I n -2n

⎰⎰⎰

x 2a 22

x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C

22x 2a 2222

x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C

22x a 2x 2222

a -x dx =a -x +arcsin +C

22a

2

2

三角函数的有理式积分：

2u 1-u 2x 2du

sin x =，　cos x =，　u =tg ，　dx =

21+u 21+u 21+u 2

一些初等函数： 两个重要极限：

e x -e -x

双曲正弦:shx =

2e x +e -x

双曲余弦:chx =

2

shx e x -e -x

双曲正切:thx ==x

chx e +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1) 11+x

arthx =ln

21-x

三角函数公式： ·诱导公式：

lim

sin x

=1

x →0x

1

lim (1+x =e =2. [**************]... x →∞x

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =

tg α±tg β

1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1

ctg (α±β) =

ctg β±ctg α

sin α+sin β=2sin

α+β

22α+βα-β

sin α-sin β=2cos sin

22α+βα-β

cos α+cos β=2cos cos

22α+βα-β

cos α-cos β=2sin sin

22

cos

α-β

·倍角公式：

sin 2α=2sin αcos α

cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1

ctg 2α=

2ctg α2tg α

tg 2α=

1-tg 2α

·半角公式：

sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=

1-3tg 2α

sin tg

α

2

=±=±

-cos αα+cos α

　　　　　　　　　　　　cos =±222

1-cos α1-cos αsin αα1+cos α1+cos αsin α

==　　ctg =±==

1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α

α

2

·正弦定理：

a b c

===2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab cos C sin A sin B sin C

·反三角函数性质：arcsin x =

π

2

-arccos x 　　　arctgx =

π

2

-arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

(uv )

(n )

k (n -k ) (k )

=∑C n u v k =0

n

=u (n ) v +nu (n -1) v '+

n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )

u v ''+ +u v + +uv (n )

2! k !

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a ) f (b ) -f (a ) f '(ξ)

=

F (b ) -F (a ) F '(ξ)

曲率：

当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds =+y '2dx , 其中y '=tg α平均曲率：K =

∆α

. ∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：M M '弧长。∆s

y ''∆αd α

M 点的曲率：K =lim ==.

23∆s →0∆s ds (1+y ')

直线：K =0; 1

半径为a 的圆：K =.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：⎰f (x ) ≈

a b

b -a

(y 0+y 1+ +y n -1) n

b -a 1

[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2

b -a

[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]3n

梯形法：⎰f (x ) ≈

a

b

抛物线法：⎰f (x ) ≈

a

定积分应用相关公式：

功：W =F ⋅s 水压力：F =p ⋅A

m 1m 2

, k 为引力系数 2r

b 1

函数的平均值：y =f (x ) dx

b -a ⎰a 引力：F =k

12

f (t ) dt ⎰b -a a

空间解析几何和向量代数：

b

空间2点的距离：d =M 1M 2=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2向量在轴上的投影：Pr j u =cos ϕ, ϕ是u 轴的夹角。

Pr j u (a 1+a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2

a ⋅b =a ⋅b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量, 两向量之间的夹角：cos θ=i

c =a ⨯b =a x

b x

j a y b y

k

a x b x +a y b y +a z b z

a x +a y +a z ⋅b x +b y +b z

2

2

2

2

2

2

a z , c =a ⋅b sin θ. 例：线速度：v =w ⨯r . b z

a y b y c y

a z c z

b z =a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时，

a x

向量的混合积：[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x

c x

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) 2、一般方程：Ax +By +Cz +D =0x y z

3++=1

a b c

平面外任意一点到该平面的距离：d =

Ax 0+By 0+Cz 0+D

A 2+B 2+C 2

⎧x =x 0+mt

x -x y -y 0z -z 0 ⎪

0===t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt

m n p ⎪z =z +pt

0⎩

二次曲面：

x 2y 2z 2

12+2+2=1

a b c x 2y 2

2+=z （, p , q 同号）

2p 2q 3、双曲面：

x 2y 2z 2

2+2-2=1

a b c x 2y 2z 2

2-2+2=（马鞍面）1

a b c

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx +dy 　　　du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z

全微分的近似计算：∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y 多元复合函数的求导法：

dz ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅　

dt ∂u ∂t ∂v ∂t

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅

∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =

∂u ∂u ∂v ∂v

dx +dy 　　　dv =dx +dy 　∂x ∂y ∂x ∂y

隐函数的求导公式：

F x F F dy dy d 2y ∂∂

隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅

dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z

隐函数F (x , y , z ) =0=-=-

∂x F z ∂y F z

∂F ⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G ) ∂u

隐函数方程组：　　　J ==⎨∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0

∂u

∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )

微分法在几何上的应用：

∂F

∂v =F u ∂G G u ∂v

F v G v

⎧x =ϕ(t )

x -x y -y 0z -z 0⎪

空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 0==

''ϕ(t ) ψ(t ) ω'(t 0) 00⎪z =ω(t )

⎩

在点M 处的法平面方程：ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0⎧ F y F z F z F x F x ⎪F (x , y , z ) =0

若空间曲线方程为：, 则切向量T ={, , ⎨

G G G x G x ⎪y z G z ⎩G (x , y , z ) =0

曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：

1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}x -x 0y -y 0z -z 0

3==

F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)

方向导数与梯度：

F y G y

2、过此点的切平面方程：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0

∂f ∂f ∂f

函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向l =cos ϕ+sin ϕ

∂l ∂x ∂y 其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。

函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：grad f (x , y ) =

∂f ∂f i +j ∂x ∂y

∂f

它与方向导数的关系是=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的

∂l

单位向量。

∂f

是grad f (x , y ) 在l 上的投影。∂l

∴

多元函数的极值及其求法：

设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , 　f xy (x 0, y 0) =B , 　f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A

⎨⎪AC -B >0时，

⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2

则：⎨AC -B

重积分及其应用：

⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ

D

D '

曲面z =f (x , y ) 的面积A =⎰⎰

D

⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫

⎪+ ⎪+ dxdy ⎪

⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭

2

2

=

M x

=M

⎰⎰x ρ(x , y ) d σ

D

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

D

, 　　=

M y M

=

⎰⎰y ρ(x , y ) d σ

D

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x =⎰⎰y 2ρ(x , y ) d σ, 　　对于y 轴I y =⎰⎰x 2ρ(x , y ) d σ平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：F x =f ⎰⎰

D

ρ(x , y ) xd σ

(x +y +a )

2

2

22

F y =f ⎰⎰3

D

ρ(x , y ) yd σ

(x +y +a )

2

2

22

F z =-fa ⎰⎰3

D

ρ(x , y ) xd σ

(x +y +a )

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

⎧x =r cos θ⎪

柱面坐标：f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , θ, z ) rdrd θdz , ⎨y =r sin θ, 　　　⎰⎰⎰ΩΩ⎪z =z

⎩

其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )

⎧x =r sin ϕcos θ⎪2

球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ，　　dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ

⎪z =r cos ϕ⎩

2π

πr (ϕ, θ)

⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , ϕ, θ) r

Ω

Ω

2

sin ϕdrd ϕd θ=⎰d θ⎰d ϕ

⎰F (r , ϕ, θ) r

2

sin ϕdr

重心：=

1M

⎰⎰⎰x ρdv , 　　=

Ω

Ω

1M

⎰⎰⎰y ρdv , 　　=

Ω

Ω

1M

⎰⎰⎰z ρdv ，　　其中M ==⎰⎰⎰ρdv

Ω

Ω

Ω

转动惯量：I x =⎰⎰⎰(y 2+z 2) ρdv ，　　I y =⎰⎰⎰(x 2+z 2) ρdv ，　　I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎧x =ϕ(t )

设f (x , y ) 在L 上连续，L 的参数方程为：, 　　(α≤t ≤β), 则：⎨

y =ψ(t ) ⎩

⎰

L

⎧x =t

f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t )]'2(t ) +ψ'2(t ) dt 　　(α

⎩y =ϕ(t ) α

β

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：⎧x =ϕ(t )

设L 的参数方程为⎨，则：

y =ψ(t ) ⎩

β

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =α⎰{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt

L

两类曲线积分之间的关系：⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds ，其中α和β分别为

L

L

L 上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：⎰⎰(

D

∂Q ∂P ∂Q ∂P -) dxdy =Pdx +Qdy 格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy ⎰⎰∂x ∂y ∂x ∂y L D L

∂Q ∂P 1

当P =-y , Q =x -=2时，得到D 的面积：A =⎰⎰dxdy =xdy -ydx

∂x ∂y 2L

D ·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G 是一个单连通区域；

2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在

∂Q ∂P

＝时，Pdx +Qdy 才是二元函数u (x , y ) 的全微分，其中：∂x ∂y

(x , y )

∂Q ∂P

＝。注意奇点，如(0, 0) ，应∂x ∂y

u (x , y ) =

(x 0, y 0)

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，通常设x

=y 0=0。

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：f (x , y , z ) ds =f [x , y , z (x , y )]+z (x , y ) +z (x , y ) dxdy x y ⎰⎰⎰⎰

∑

D xy

对坐标的曲面积分：⎰⎰P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ，其中：

∑

⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正号；

∑

D xy

⎰⎰P (x , y , z ) dydz =±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正号；

∑

D yz

⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正号。

∑

D zx

两类曲面积分之间的关系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds

∑

∑

高斯公式：

⎰⎰⎰(

Ω

∂P ∂Q ∂R ++) dv =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ∂x ∂y ∂z ∑∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：

∂P ∂Q ∂R 散度：div ν=++, 即：单位体积内所产生的流体质量，若div ν

∂x ∂y ∂z

通量：⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ， 因此，高斯公式又可写成：⎰⎰⎰div A dv =A n ds

Ω

∑

∑

∑

∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

⎰⎰(

∑

∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P

-) dydz +(-) dzdx +(-) dxdy =Pdx +Qdy +Rdz ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Γ

cos β

∂∂y Q

cos γ∂∂z R

dydz dzdx cos α∂∂∂∂

上式左端又可写成：=⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ∂x ∑∑

P Q R P

∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P

空间曲线积分与路径无===

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y i j k

∂∂∂

旋度：rot A =

∂x ∂y ∂z P Q R

向量场A 沿有向闭曲线ΓPdx +Qdy +Rdz =A ⋅t ds

Γ

Γ

常数项级数：

1-q n 等比数列：1+q +q + +q =

1-q (n +1) n

等差数列：1+2+3+ +n =

2

111

调和级数：1+++ +是发散的

23n

2

n -1

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

⎧ρ1时，级数发散n →∞⎪ρ=1时，不确定⎩

2、比值审敛法：

⎧ρ1时，级数发散n →∞U n ⎪ρ=1时，不确定⎩

3、定义法：

s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。n →∞

交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法——莱布尼兹定理：

⎧⎪u n ≥u n +1如果交错级数满足⎨，那么级数收敛且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值r n ≤u n +1。lim u =0⎪⎩n →∞n

绝对收敛与条件收敛：

(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；

(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +

如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。

1(-1) n

调和级数：∑n 发散，而∑n 1　　级数：∑n 2收敛；

≤１时发散1　　p 级数：∑n p p >1时收敛

幂级数：

1x

对于级数(3) a 0+a 1x 　+a 2x 2+ +a n x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x

数轴上都收敛，则必存在R ，使x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。

x =R 时不定

1ρ≠0时，R =

a 求收敛半径的方法：设lim n +1=ρ，其中a n ，a n +1是(3) ρ=0时，R =+∞n →∞a n ρ=+∞时，R =0

函数展开成幂级数： ρ

f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2函数展开成泰勒级数：f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n + 2! n !

f (n +1) (ξ) 余项：R n =(x -x 0) n +1, f (x ) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R n =0n →∞(n +1)!

f ''(0) 2f (n ) (0) n x 0=0时即为麦克劳林公式：f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +x + 2! n !

一些函数展开成幂级数：

m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n x + +x + 　　　(-1

欧拉公式：

⎧e ix +e -ix

cos x =⎪⎪2e ix =cos x +i sin x 　　　或⎨ ix -ix ⎪sin x =e -e

⎪2⎩

三角级数：

a 0∞

f (t ) =A 0+∑A n sin(n ωt +ϕn ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) 2n =1n =1

其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。

正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积在[-π, π]

上的积分＝0。

傅立叶级数： ∞

a 0∞

f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期=2π2n =1

π⎧1(n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos nxdx 　　　π-π⎪其中⎨π⎪b =1f (x ) sin nxdx 　　　(n =1, 2, 3 ) ⎪n π⎰-π⎩

11π2

1+2+2+ =835　111π2

+2+2+ =224246

正弦级数：a n =0，b n =

余弦级数：b n =0，a n =111π21+2+2+2+ =6234111π21-2+2-2+ =122342ππ2⎰f (x ) sin n xdx 　　n =1, 2, 3 　f (x ) =∑b 0n sin nx 是奇函数π

π⎰0f (x ) cos nxdx 　　n =0, 1, 2 　f (x ) =a 0+∑a n cos nx 是偶函数2

周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：

a 0∞n πx n πx f (x ) =+∑(a n cos +b n sin ) ，周期=2l 2n =1l l

l ⎧1n πx a =f (x ) cos dx 　　　(n =0, 1, 2 ) ⎪n ⎰l l ⎪-l 其中⎨l ⎪b =1f (x ) sin n πx dx 　　　(n =1, 2, 3 ) ⎪n l ⎰l -l ⎩

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y '=f (x , y ) 　或　P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：

⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 　　得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。

dy y =f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法：dx x

y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=分离变量，积分后将代替u ，x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方程可以写成

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy 1+P (x ) y =Q (x ) dx

-P (x ) dx 当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰

当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰

dy 2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1) dx

全微分方程： P (x ) dx dx +C ) e ⎰-P (x ) dx

如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：

∂u ∂u du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y ) ∂x ∂y

∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy +P (x ) +Q (x ) y =f (x ) dx dx 2f (x ) ≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；

2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2

3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数

f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；

f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型

乘法与因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •

a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b^2-4ac

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

某些数列前n 项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 -

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 5

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角

圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：（a,b ）是圆心坐标

圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0

抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

定理:

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

作者：尘世的Angel 2008-11-22 22:48 回复此发言

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2 高中数学公式

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

作者：尘世的Angel 2008-11-22 22:48 回复此发言

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3 高中数学公式

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕ ?

84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L 和⊙O 相交 d＜r

②直线L 和⊙O相切 d=r

③直线L 和⊙O相离 d＞r