2016年山东省高考数学试卷-(理科)
2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z 满足2z+=3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i
x 22．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2，x ∈R}，B={x|x﹣1＜0}，则A ∪B=（ ）
A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（0，+∞）
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），
[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56 B ．60 C ．120 D ．140
224．（5分）（2016•山东）若变量x ，y 满足，则x +y的最大值是（ ）
A ．4 B ．9 C ．10 D ．12
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A ．+π B ．+π C ．+π D ．1+π
6．（5分）（2016•山东）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•山东）函数f （x ）=（sinx+cosx）（cosx ﹣sinx ）的最小正周期是（ ）
A ． B ．π C ． D ．2π
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos ＜，＞=．若⊥（t +），则实数t 的值为（ ）
A ．4 B ．﹣4 C ． D ．﹣
39．（5分）（2016•山东）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f （x ）=x﹣1；当﹣1≤x ≤1
时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞时，f （x+）=f（x ﹣）．则f （6）=（ ）
A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）
A ．y=sinx B ．y=lnx C ．y=e D ．y=x
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为 ．
x 3
12．（5分）（2016•山东）若（ax +2）的展开式中x 的系数是﹣80，则实数a= ． 55
13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是 ．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣5）22+y=9相交”发生的概率为
15．（5分）（2016•山东）已知函数f （x ）=，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．
三、解答题, ：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2（tanA+tanB）=
+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{an }的前n 项和S n =3n+8n，{bn }是等差数列，且a n =bn +bn+1． （Ⅰ）求数列{bn }的通项公式；
（Ⅱ）令c n =，求数列{cn }的前n 项和T n ． 2
19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX ．
20．（13分）（2016•山东）已知f （x ）=a（x ﹣lnx ）+
，a ∈R ．
（I ）讨论f （x ）的单调性；
（II ）当a=1时，证明f （x ）＞f ′（x ）+对于任意的x ∈[1，2]成立．
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2+=1（a ＞b ＞0）的离心率是，抛物线E ：x =2y的焦点F 是C 的一个顶点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．
（i ）求证：点M 在定直线上；
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求
及取得最大值时点P 的坐标．
的最大值
2016年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z 满足2z+=3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】设出复数z ，通过复数方程求解即可．
【解答】解：复数z 满足2z+=3﹣2i ，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i ．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2，x ∈R}，B={x|x﹣1＜0}，则A ∪B=（ ）
A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（0，+∞）
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】求解指数函数的值域化简A ，求解一元二次不等式化简B ，再由并集运算得答案． x 2
【解答】解：∵A={y|y=2，x ∈R}=（0，+∞），
2B={x|x﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A ∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C ．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），
[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
x
A ．56 B ．60 C ．120 D ．140
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5分）（2016•山东）若变量x ，y 满足，则x +y的最大值是（ ） 22
A ．4 B ．9 C ．10 D ．12
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
22【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x +y的几何意义，即可行域内的动点与原点距
22离的平方求得x +y的最大值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵A （0，﹣3），C （0，2），
∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B （3，﹣1）． ∵
22， ∴x +y的最大值是10．
故选：C ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A ．+π B ．+π C ．+π D ．1+π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．
故R=，故半球的体积为：=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．（5分）（2016•山东）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当“直线a 和直线b 相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a 和直线b 相交”不一定成立，
故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．
7．（5分）（2016•山东）函数f （x ）=（sinx+cosx）（cosx ﹣sinx ）的最小正周期是（ ）
A ． B ．π C ． D ．2π
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：数f （x ）=（
（2x+）， sinx+cosx）（cosx ﹣sinx ）=2sin（x+）•2cos （x+）=2sin
∴T=π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos ＜，＞=．若⊥（t +），则实数t 的值为（ ）
A ．4 B ．﹣4 C ． D ．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．
【分析】若⊥（t +），则•（t +）=0，进而可得实数t 的值．
【解答】解：∵4||=3||，cos ＜，＞=，⊥（t +）， ∴•（t +）=t
•+2=t||•||
•+||=（2）||=0， 2
解得：t=﹣4，
故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
9．（5分）（2016•山东）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f （x ）=x﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞时，f （x+）=f（x ﹣）．则f （6）=（ ）
A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 3
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ），得到f （1）=﹣f （﹣1），当x ＜0时，f （x ）=x﹣1，得到f （﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x ＞时，f （x+）=f（x ﹣），
∴当x ＞时，f （x+1）=f（x ），即周期为1．
∴f （6）=f（1），
∵当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ），
∴f （1）=﹣f （﹣1），
3∵当x ＜0时，f （x ）=x﹣1，
∴f （﹣1）=﹣2，
∴f （1）=﹣f （﹣1）=2，
∴f （6）=2．
故选：D ．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）
x 3A ．y=sinx B ．y=lnx C ．y=e D ．y=x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】若函数y=f（x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y ′=cosx，满足条件； 3
当y=lnx时，y ′
=＞0恒成立，不满足条件；
当y=e时，y ′=e＞0恒成立，不满足条件；
32当y=x时，y ′=3x＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为 3 ． x x
【考点】程序框图．
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的a ，b 的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a ＜b ，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a ＜b ，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a ＜b ，
故输出的i 值为：3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
12．（5分）（2016•山东）若（ax +
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理． 2）的展开式中x 的系数是﹣80，则实数a= ﹣2 ． 55
【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=
数．
【解答】解：（ax +
令10﹣
∵（ax +
∴322（ax ）25﹣r ，化简可得求的x 的系5）的展开式的通项公式T r+1=5（ax ）25﹣r =a 5﹣r ， =5，解得r=2． ）的展开式中x 的系数是﹣80 55a =﹣80，
得a=﹣2．
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个
顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是 2 ． 【考点】双曲线的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A ，B ，C ，D 的坐标，
由2|AB|=3|BC|，可得a ，b ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
=±
，
由题意可设A （﹣c ，由2|AB|=3|BC|，可得 2•
2
），B （﹣c ，﹣），C （c ，﹣），D （c ，），
=3•2c ，即为2b =3ac，
2
2
2
2
由b =c﹣a ，e=，可得2e ﹣3e ﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A ，B ，C ，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣5）
2
+y=9相交”发生的概率为
2
．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆（x ﹣5）+y=9的圆心为（5，0），半径为3．
2
2
圆心到直线y=kx的距离为，
要使直线y=kx与圆（x ﹣5）+y=9相交，则
22
＜3，解得﹣＜k ＜．
2
2
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k ，使直线y=kx与圆（x ﹣5）+y=9
相交相交的概率为
=． 故答案为：．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）（2016•山东）已知函数f （x ）=
，其中m ＞0，若存在实
数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出函数f （x ）=＞0），解之即可．
【解答】解：当m ＞0时，函数f （x ）=
2
2
的图象，依题意，可得4m ﹣m ＜m （m
2
的图象如下：
2
2
∵x ＞m 时，f （x ）=x﹣2mx+4m=（x ﹣m ）+4m﹣m ＞4m ﹣m ， ∴y 要使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根， 必须4m ﹣m ＜m （m ＞0），
2
即m ＞3m （m ＞0）， 解得m ＞3，
∴m 的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）．
2
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m
2
﹣m ＜m 是难点，属于中档题．
三、解答题, ：本大题共6小题，共75分. 16．（12分）（2016•山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC 的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式
，带入
并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根
据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；
222222
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a +b+2ab=4c，从而得出a +b=4c﹣2ab ，并由不等式a +b≥2ab 得出c ≥ab ，也就得到了
2
2
2
，这样由余弦定理便可得出，
从而得出cosC 的范围，进而便可得出cosC 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由
；
∴两边同乘以cosAcosB 得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin （A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，∴
∴a+b=2c；
得：
；
，带入（1）得：
；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）=a+b+2ab=4c； 2222
∴a +b=4c﹣2ab ，且4c ≥4ab ，当且仅当a=b时取等号； 又a ，b ＞0； ∴
；
2
2
2
2
∴由余弦定理，
∴cosC 的最小值为．
=；
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a +b≥2ab 的应用，不等式的性质． 17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （Ⅱ）已知EF=FB=AC=2
AB=BC，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．
2
2
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ，推导出平面GQH ∥平面ABC ，由此能证明GH ∥平面ABC ．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO ⊥AC ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ， ∵G 、H 为EC 、FB 的中点，
∴
GQ 又∵EF
，QH ∥BO ，∴
GQ
， BO ，
∴平面GQH ∥平面ABC ，
∵GH ⊂面GQH ，∴GH ∥平面ABC ． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO ⊥AC ， 又∵OO ′⊥面ABC ，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （，0，0），C （﹣2，0，0），B （0，2，0），O ′（0，0，3），F （0，=（﹣2
，3），
，﹣，﹣3），=（2，2，0），
由题意可知面ABC 的法向量为=（0，0，3），
设=（x 0，y 0，z 0）为面FCB 的法向量， 则
，即
，
取x 0=1，则=（1，﹣1，﹣
），
∴cos ＜，＞===﹣．
∵二面角F ﹣BC ﹣A 的平面角是锐角， ∴二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意向量法的合理运用．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{an }的前n 项和S n =3n+8n，{bn }是等差数列，且a n =bn +bn+1． （Ⅰ）求数列{bn }的通项公式； （Ⅱ）令c n =
，求数列{cn }的前n 项和T n ．
2
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）求出数列{an }的通项公式，再求数列{bn }的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn }的通项，利用错位相减法求数列{cn }的前n 项和T n ．
2
【解答】解：（Ⅰ）S n =3n+8n， ∴n ≥2时，a n =Sn ﹣S n ﹣1=6n+5， n=1时，a 1=S1=11，∴a n =6n+5； ∵a n =bn +bn+1，
∴a n ﹣1=bn ﹣1+bn ，
∴a n ﹣a n ﹣1=bn+1﹣b n ﹣1． ∴2d=6， ∴d=3，
∵a 1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b 1=4，
∴b n =4+3（n ﹣1）=3n+1； （Ⅱ）c n =
2
=
n
=6（n+1）•2，
n
∴T n =6[2•2+3•2+…+（n+1）•2]①，
23n n+1
∴2T n =6[2•2+3•2+…+n•2+（n+1）•2]②， ①﹣②可得﹣T n =6[2•2+2+2+…+2﹣（n+1）•2
n+1
n+2
2
3
n
n+1
]=12+6×﹣6（n+1）•2
n+1
=
（﹣6n ）•2=﹣3n •2，
n+2
∴T n =3n•2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题． 19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计． 【分析】（I ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（II ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（I ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P==，
（II ）“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6， 则P （X=0）=P （X=1）=2×[P （X=2）=
+
P （X=3）=2×P （X=4）=2×[
+
=
，
]=
+
=+
，
=+，
]=
，
+
+
=+
+
P （X=6）=
∴数学期望EX=0×
+1×
=
+2×
+3×
+4×
+6×
=
=
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
20．（13分）（2016•山东）已知f （x ）=a（x ﹣lnx ）+（I ）讨论f （x ）的单调性；
（II ）当a=1时，证明f （x ）＞f ′（x ）+对于任意的x ∈[1，2]成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
，a ∈R ．
（Ⅱ）构造函数F （x ）=f（x ）﹣f ′（x ），求导后利用不等式x ﹣1＞lnx 放缩，得到F （x ）＞
=
．令φ（x ）=
，利用导数可得φ（x ）在[1，2]上为
减函数，得到F （x ）＞恒成立．由此可得f （x ）＞f ′（x ）+对于任意的x ∈[1，2]成立．
【解答】（Ⅰ）解：由f （x ）=a（x ﹣lnx ）+，
得f ′（x ）=a（1﹣）+
=
2
=（x ＞0）．
若a ≤0，则ax ﹣2＜0恒成立，
∴当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数； 当a ＞0，若0＜a ＜2，当x ∈（0，1）和（当x ∈（1，
，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，
）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数；
若a=2，f ′（x ）≥0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上为增函数； 若a ＞2，当x ∈（0，当x ∈（
）和（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，
，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F （x ）=f（x ）﹣f ′（x ）=x﹣
lnx ∵e ＞1+x， ∴x ＞ln （1+x）， ∴e
x ﹣1x
﹣1=x﹣
lnx+．
＞x ，则x ﹣1＞lnx ，
=
．
∴F （x ）＞
令φ（x ）=，则φ′（x ）=（x ∈[1，2]）．
∴φ（x ）在[1，2]上为减函数，则∴F （x ）＞恒成立．
，
即f （x ）＞f ′（x ）+对于任意的x ∈[1，2]成立．
【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：
2
+=1（a ＞b ＞0）的离心
率是，抛物线E ：x =2y的焦点F 是C 的一个顶点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求及取得最大值时点P 的坐标．
的最大值
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（I ）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，进而得到椭圆的方程； （Ⅱ）（i ）设P （x 0，y 0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，
可得中点D 的坐标，求得OD 的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线； （ii ）由直线l 的方程为y=x0x ﹣y 0，令x=0，可得G （0，﹣y 0），运用三角形的面积公式，可得S 1=|FG|•|x0
|=x 0•（+y0），S 2=|PM|•|x0﹣
|，化简整理，再1+2x0=t（t ≥1），
2
整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时P 的坐标． 【解答】解：（I ）由题意可得e==即有b=，a ﹣c =， 解得a=1，c=
，
2
2
2
2
，抛物线E ：x =2y的焦点F 为（0，），
2
可得椭圆的方程为x +4y=1；
2
（Ⅱ）（i ）证明：设P （x 0，y 0），可得x 0=2y0，
由
y=x 的导数为y ′=x，即有切线的斜率为x 0， 则切线的方程为y ﹣y 0=x0（x ﹣x 0）， 可化为y=x0x ﹣y 0，代入椭圆方程，
222
可得（1+4x0）x ﹣8x 0y 0x+4y0﹣1=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得x 1+x2=
，即有中点D （
，﹣
），
2
直线OD 的方程为y=﹣
x ，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M 在定直线y=﹣上；
（ii ）直线l 的方程为y=x0x ﹣y 0，令x=0，可得G （0，﹣y 0）， 则S 1=|FG|•|x0|=x 0•（+y0）=x 0（1+x0）；
2
S 2=|PM|•|x0﹣
|=（y 0+）•=x 0•，
则=，
令1+2x0=t（t ≥1），则
2
==
==2+﹣=﹣（﹣）+，
2
则当t=2，即x 0=
时，取得最大值，
此时点P 的坐标为（，）．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．