7. 函数概念的产生及其历史演变
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数,运动就进入了数学;有了变数,辩证法就进入了数学.
— 恩格斯
函数概念是近代数学思想之花. — 托马斯
世界上的一切,都在不停的变化。古希腊哲学家赫拉克里特说:人不能两次踏入 生动的比喻说明一切都在不断的变化。但他没有把概念说清楚。什么叫同一条河流?同一条河流。因为河水在流动,第二次踏入的已经不是上次的河流了。赫拉克利特用昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河?早上的你和晚上的你是一个人还是两个人?当时有的哲学家走向另一个极端,认为事物实际上是静止不变的,变化和运动只是人的幻觉。其中有个叫芝诺的诡辩家,为了论证运动是幻觉,还提出了飞矢不动的著名怪论。飞快的箭怎么可能不动呢?芝诺的说法是:箭在每一瞬间都要占据确定的位置,所以每一瞬间都是静止的。既然每一瞬间都是静止的,又怎么能够动呢?数学讲究严谨,概念要清楚。要探讨动还是不动,就要先讲好什么叫动,什么叫不动。
什么叫动?一个物体,时刻在甲处,另一个时刻在与甲不同的乙处,我们就说它 时间内没有动。这样把时间和物体的位置对应起来,问题就清楚了。原来,动和不动在时刻到之间动了。如果对于两个时刻之间的任意时刻t它都在甲处,就说它在这段是涉及两个或更多时刻的位置的概念,只看一瞬间,动和不动都没有意义。怪论的漏洞,源于对运动没有严谨的表述。从上面两个例子可见,古人已经感觉到了事物的运动变化和保持相对稳定性质之间的矛盾,但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法,就不能实事求是地认识运动和变化,或者否定运动的可能性,或者否认变化中的事物是同一事物。直到17世纪,数学中出现了变量与函数的概念,人们才掌握了精确地描述和刻画运动与变化的工具。
一部电影由许多画面组成。这些画面按一定顺序排列在长长的胶片上。对画面进行编号,就得到了从一部分自然数到画面的对应。电影是由一串离散的画面组成的。实在的事物却是由连续改变着的状态组成的。这时,时刻代替了编号,状态代替了画面。号码是自然数,而时刻是实数。运动变化的事物,就可以用时刻到状态的对应来刻画。时刻可以用实数表示,事物在一个时刻的状态也可以用一组或一个实数来表示,于是,时刻到状态的对应就成了实数到实数的对应,也就是函数。
事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化.
早晨,太阳从东方冉冉升起;
气温随时间在悄悄地改变;
随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;
中国的国内生产总值在逐年增长;
………….
在这些变化着的现象中,都存在着两个变量. 当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.
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本章要研究哪些问题呢?释我们周围的世界呢?)怎样用数学模型刻画两个变量的关系?)这样的数学模型具有怎样的特征?)如何借助这样的模型来进一步描述和解
学法指导:用好章头语
(1) 研究对象: 函数
(2) 研究内容: 概念、性质、模型(应用) ↓ ↓ ↓
2.1 2.2 3.1~3.4
答学生两问
(1) 函数的性质有很多?为什么只研究单调性和奇偶性?学习函数的性质有什么用?
水浒传里有108将,但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画,这是文学家的方法,也是数学家的方法。本部分学习的目的是通过学习形函数研究的一般方法和套路。
答学生两问
(2) 学习基本初等函数有什么价值?
该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的尝试,在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
本节课的目标
活动1:函数的第一次抽象认识
活动1:函数的第一次抽象认识
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意
识到需要提炼一般的函数概念。
活动1:函数的第一次抽象认识
思考:第一次抽象认识 有什么局限性?
活动2:函数的第二次抽象认识
活动2:函数的第二次抽象认识
活动2:函数的第二次抽象认识
欧拉在《微分学原理》(1755)序言中给出的定义是:”如果某个量依赖于另一个量,当后面这个量变化时,前面这个量也随之变化,则前面这个量称为后面这个
量的函数。
活动2:函数的第二次抽象认识
活动2:函数的第二次抽象认识
思考:第二次抽象认识 有什么局限性?
活动3:函数的第三次抽象认识
活动3:函数的第三次抽象认识
1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,函数不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的 x 值,都有一个确定的y 值,那么 y 叫做 x 的函数.”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。(初中学习的函数的定义)
活动3:函数的第三次抽象认识
活动3:函数的第三次抽象认识
活动4:函数的第四次抽象认识
活动4:函数的第四次抽象认识
活动4:函数的第四次抽象认识
活动4:函数的第四次抽象认识
维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了;1930年新的现代函数定义为,若对集合M 的任意元素x ,总有集合N 确定的元素y 与之对应,则称在集合M 上定义一个函数,记为 .元素x 称为自变元,元素y 称为因变元。
小结
小结
其实每个数学概念和公式的背后都有着它的故事:或许源于一个灵感;或许是几代人甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程;更或许是中外数学家的一些共同思考。应该指出的是,函数概念的整个历史进程中,经历了无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究过程,不断的引发更多的数学家关于函数概念和函数本质问题上进行更深层次的思考。我想,这是必然的一个现象,因为人类在探索自然规律的过程中必然有各种假设,虽然后来发现某些假设是错误的,但正是前人的失败才使后人的思考走上了正确的道路。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展.
例1:判断下列对应是否为函数
练习1:判断下列对应是否为A 到B
的函数
例2:判断下列函数是否为相同函数
例3:求下列函数的定义域
思考
例4:求下列函数的值域
例5:完成下列问题
例6:完成下列问题