[免金币]高中数学抛物线焦点弦结论探究

抛物线焦点弦结论探究

授课 蒲海凤 点评 杜永来

一、课堂实录

[引言] 抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的一道习题出发，通过5次观察联想，多次的猜想、验证、证明，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。

基本探究

[投影]〈引例〉：过抛物线y22px(p0)的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为A1、A2，求证：A1FB190

师：这是课本中的一道习题高二上册P133复习参考题B组第2题，同学们应该很快给出证明思路。 生1：要证明A1FB1是直角，因为A1F和B1F斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A1(

和抛物线方程联立可求得。 yypp,y1),B1(,y2),可求得k1.k212222p，其中y1y2由直线AB

师：好，思路非常清晰。

生2：由抛物线定义知AA1AF

BB1BF则AA1FAFA1

BB1FBFB1，又AA1FA1FO

BB1FB1FO，则

B1FOA1FO90

师：这位同学注意到图形中几何关系，给出了一个更为简单的证法，我们把这一结论归纳为： 结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

1．观察联想1

师：我们要从这个问题出发进行观察联想，如果观察结论你能联想到什么？

（学生思考）

生：射影定理。

师；说说看得到什么结论？

生：由A1FB1

FK290知是直角三角形且FKA1B1由射影定理得， p2y1y2A1KB1K

因y1,y2异号，所以y1y2p2

x1x2(y1y2)2

4p2p24

师：对于这个同学推出的结论我们也并不陌生，只是以前的证明方法不一样，以前我们是用什么方法得到这一结论的？

生：设出两交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)直线AB方程与抛物线方程联立消去x或y得到一个一元二次方程，利用韦达定理得到两根之积，证得其中一个结论，再由两点在直线上得另一结论。

师；这两种方法证得

高二上册P1１９第７题的结论将其概括为

结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数

2．观察联想2 p24和p2。

师：在回到结论1，注意到直角三角形与圆有着密切的关系，由结论1发现点F在以为A1B1为直径的圆上，观察图形特征不难发现直线AA1,BB1是圆M1的切线，那焦点弦AB与圆又是什么位置关系呢？

[投影]

生：好像相切…

师：同学们猜测是相切的关系，我们可以考虑特殊情况，当焦点弦变为通径时很明显结论是正确的，证实了我们的猜想，那么一般的焦点弦该如何证明呢？同学们可以互相讨论一下。

生1：既然点F在圆上，只需证明M1FAB，设

A1(PPPy1y2,y1),B,y2)则M（)1(12222

kFM1y1y2yy221pp2p22

kABy1y2y1y22p22x1x2y1y2y1y22p2p

kABkFM11，即FMAB

所以，以A1B1为直径的圆与AB相切于点F。

生2：我是用几何的方法，由抛物线定义AA1

所以

M1FAAA1M190 又M1A1FM1FAAF知AA1FAFA1，1

师：同学们观察的非常好，这两个方法共同证明了以下的结论

结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

3．观察联想3

师；抛物线和圆是解析几何中既重要又活泼的两个元素，我们应该让它们成为亲密的合作伙伴。由于准线与焦点弦的伴随性，受联想2的启发，如果以焦点弦为直径画圆，观察该圆与准线又有怎样的位置关系？

[投影]

生：相切！

AFAA1,BFBB1,而ABAFBFAA1BB1

MM111(AA1BB1)AB22

则该圆与准线相切于点M1。

师：我们不但证明了该圆与准线相切，而且证明了切点即为A1B1的中点，将其归纳为

结论４ 以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。

4．观察联想4

[投影]

师；由上一结论，当焦点弦变为抛物线通径时不仅有AKBK，而且有AKFBKF45，再一次把通径淡化为一般的焦点弦时，画出几个图形观察AK与BK的垂直和平分的关系是否还能保持不变？

（学生画图纠正抛物线作图的错误）

师：有的同学们研究不出结论是因为图形画的不准确，我们应该注意课本中给出的做抛物线简图的方法，力求将图做的准确，便于我们发现结论。

生1：我通过作图发现垂直关系不一定成立，但平分关系似乎保持不变。

师：好！这位同学给了我们一个猜想，下面同学们的任务就是证明这个猜想。

（学生讨论思路）

生2：根据这两条直线的位置关系，可以证明它们的斜率互为相反数。

师：思路非常清晰，找同学们上来板演，其它同学一起做。

[板演过程]

22y1y2证明：设A(,y1),B(,y2)2p2p

则kAKy

2y1p2p22py2y1p2

结论５ 抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。 5．观察联想5

同理：kBK

kAKkBK

2py22y2p22p(y1y2)(y1y2p2)2(y12p2)(y2p2)

即AKFBKF

y1y2p2kABkBK0

[投影]

师：

再回到第一个图形，连接AO后有什么特征呢？过原点吗？这一猜想可由这一猜想可由高二上册Ｐ１２３第６题得证，可将其叙述为

结论６ 抛物线焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛物线顶点，则该弦的另一端点和准线上这一点的连线平行抛物线的对称轴．

师：：下面对这节课的主要内容进行一下小结。

[投影]

小结

1、本节课主要探究了抛物线焦点有关结论：

结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

结论２抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数p24和p2。

结论３以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点 。

结论４以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。

结论５抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。

结论６抛物线焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛物线顶点，则该弦的另一端点和准线上这一点的连线平行抛物线的对轴 。

2、体会由特殊到一般研究结论再应用到特殊继续探究结论的方法。

师：我们要将这种探究的思想应用到以后的学习中，探索出更多更优美的结论，下面给出两个继续探究的题目，以供同学们课下思考。

[投影]

继续探究

１）结论２中条件是否为充要？

２）结论６中条件是否为充要？（２００１年高考）

二、点评

这节课内容是过抛物线焦点弦的有关结论的探究，是从课本一道习题引发思考，通过五次观察联想探究得出过抛物线焦点弦的更多的特性和结论。本人认为这节课取得了较好的教学效果，采用了探究式教学方法，是一节具有推广价值的创新课。

1、授课教师备课认真，定位准确，备课教案结构严紧，从课本习题出发进行探究问题，体现了原于课本又高于课本的思想，由于授课教师备课充分，善于抓住问题提出问题，并创设情景，引发学生对问题探究的积极性，难度把握适当，引导学生对问题的研究逐步深化，点拨得当，师生关系具有较好的体现，不是单单体现老师在讲，而是更多的体现老师在引、在导，教学过程体现了学生学习的主动性和积极性。

2、教学过程符合学生的认知规律，符合由浅入深、由表及里的探究规律，也符合学生的心理活动规律。本节课紧紧抓住了抛物线的焦点弦的特殊情况为“通径”这个主要结论，通过这一特殊情形进一步发现归纳一般的结论，并进行严格的证明，体现了问题规律发现的过程，使学生体会到从特殊到一般的事物发现的辨证规律及学习方法，探究过程并未到此而止，又将所得结论特殊化猜想其它结论，这样将探究活动进行的更加充分。

3、教师自信，课上全身心的投入教学，启发得当，具有较好的驾驭课堂的能力，由一题引发五次观察联想，首先营造了研究的氛围，遵循了思维的规律，也体现了思维的层次性，进一步引发思维发散，使学生能够发现探究更多的未知的东西，语言流畅，板书清晰整洁，重点突出，启发过程中所做的铺垫较好，具有较好的节奏感，方向目标明确，注意到思维的设定和及时总结，最后的探究思考题目可以引发学生更大的想象空间，而且又与高考接轨，更好的体现探究的延续。

4．本节课学生是在老师的引导下进行的探究，因为在进行观察联想的环节，学生的思路会很宽泛，但考虑到如果让学生自由探究可能会提出很多问题，要对学生提出的问题进行分类再确定研究的中心问题，一节课要探究清楚可能性不大，时间也不够。所以教师在教学中启发学生的活动方向，围绕一个中心问题进行探讨。在教学过程中，师生用观察、实验、分析等方法来进行探究活。在平时的教学中，如果条件允许，授课教师可以把其中的一些探究任务大胆的教给学生，让学生通过讨论主动发现，这样可以将探究型的课上得更有声色。

这节课圆满的完成了既定的教学任务，运用了多媒体的教学手段，动画演示思考过程，提高了课堂效率，尊重学生的发现，做到了师生共同发展，展示了和谐的教学环境，是一堂值得我们学习的探究型课。在我们平时的教学中，就应该做到从平淡中出神奇，才能立于不败之地！