武永刚浅谈高斯公式在物理学

浅谈高斯公式在物理学上的应用

单位：信息工程学院

姓名：武永刚

学号：09216072

专业：09通信工程

摘要：穿进任电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关, 闭合曲面的磁感线数目必定等于穿出此闭合面的磁感线数目。因此，穿过任一闭合曲面的磁通量恒等于零，即磁场中的高斯定理

关键词：高斯定理、电场、库仑定律、磁通量

首先，要想知道高斯公式在物理学上的应用，我们应该对其有所了解，那么就让我对其有个简单介绍。

高斯公式又叫高斯定理(或散度定理）：矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分，它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，是研究场的重要公式之一。

在物理学上，电、磁场是我们研究的重中之中，所以我们应对高斯公式有一个深刻的了解。下面我就从以下个方面来对其阐述。

在电场中，高斯定理：穿过一封闭曲面的电力线总数与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。高斯定理给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，D=∮c(x)q(x)dx。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。

一、高斯定理理解特别需要注意的几个方面

在真空状态下, 高斯定理的表述是:在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数ε。数学表述即:

∮•d=∑q/ε(1)

, 在此要重点讲述对高斯定理的理解应特别注意以下几点。

1. 高斯面S 是静电场中的任意闭合曲面, 但S 面上不能有有限的

电荷分布。取高斯面时, 一般是根据对称性, 使曲面的法线平行于该处的电场方向或使法线垂直于该处的电场方向。

2. 在闭合面内, 电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向, 但只要电量相同, 就不会改变通过整个闭合面的E 通量; 在闭合面外, 有无电荷及其如何分布, 将会影响闭合面上各处场强的大小和方向, 但对通过整个闭合面的E 通量没有贡献, 即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布, 却不会改变通过闭合面的电场线的数目。

3. 用高斯定理求出这种电荷系的场强分布, 而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多; 对于静止电荷的电场, 可以说库仑定律与高斯定理是等价的; 但是, 在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时, 库仑定律不再成立, 而高斯定理却仍然有效。所以说:高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。

二、高斯定理求电场步骤 1. 分析场强或电荷分布的特点, 进行对称性分析和判断, 即由电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性, 非对称情况下, 判断能够进行积分, 判断∮•能否用高斯定理来求电场强度的分布, 这一步是解题的关键, 也是解题的难点。常见的对称性有球对称性包括均匀带电球面、球体、点电荷; 轴对称性包括均匀带电的“无限长”圆柱面、圆柱体、细直线; 面对称性包括均匀带电的“无限大”平面、平板。 2. 根据场强分布的特点, 作适当的高斯面, 要求:①待求场强的场点应在此高斯面上, ②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地, 高斯面各面元的法线矢量与平行或垂直, 与平行时, 的大小要求处处相等, 使得能提到积分号外面。 3. 计算电通量•d 和高斯面内所包围的电荷的代数和, 最后由高斯定理求出场强。

场强学过普通物理的多数人都知道再举一例如： 下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V, 边界为封闭面S ，通过界面流出的电流应等于体积V 内电量的减小率，

即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d 来代替偏导的符号）

ρ-电荷密度

注：J=Ρv ’ V’---为速度矢量

用高斯公式进行积分变换, 可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0，此式称电流的连续性方程。

在磁场中，其应用也是很广泛的。讨论闭合曲面时，通常规定闭π合曲面外法线方向为正方向。这样，在磁感线穿出曲面处，θ＜，πcos θ>0，，d Φm >0；在磁感线穿入曲面处，θ＞，cos θ

穿进任一闭合曲面的磁感线数目必定等于穿出此闭合面的磁感线数目。因此，穿过任一闭合曲面的磁通量恒等于零，即

B ∙dS =0

s

这就是磁场中的高斯定理。它不仅对稳恒磁场使用，而且非稳恒磁场也使用。

静电场的高斯定理表明静电场是有源场，圆头和尾闾分别是正电荷和负电荷；此场的高斯定理表明磁场是无源场，磁感线没有始点和终点。由于自然界没有发现单独存在的磁极（称磁单极子），所以，通过任何闭合曲面的磁通量必定等于零，这时稳恒磁场不同于静电场的一个特征。

一个塑料圆盘，半径为R , 电荷q 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω，求圆盘中心处的磁感应强度。

解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半ω径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为，圆盘表面上所带的电荷面q 2π密度为σ=，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，它所带πR 的电量为dq =σ⋅2πrdr ，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为 2

dI =σ⋅2πrdr ⋅ω

2π=σ⋅ωrdr ，

它在轴线上距盘心x 处的P 点所产生的磁感应强度为

dB =μ0r dI

2(r +x ) 22322=μ0r 222322(r +x ) σωrdr

=μ0σω

22r 323(r +x ) dr ,

故P 点处的总磁感应强度为

B =μ0σω

2⎰R

02r 323(r +x ) dr ,

变换积分

⎰(r

所以

B =r 2323+x ) dr =⎰(r r 2+x ) 212dr -x 2⎰(r r 2+x ) 232dr μ0σω

2[R +x 22+x

222-2x ]=μ0q 2πR 2[R +2x R +x 2222-2x ]ω R +x

总之， 对于电场中高斯面以外的电荷只对电场强度有贡献，而对高斯面的电通量无贡献。由此可以确定，高斯面内若无电荷，高斯面上的场强强度不一定处处为零，而高斯面上的场强处处为零，高斯面必定不包围电荷。

参考文献：《物理学》上下册、《大学物理400典型题》以及网上的一些见解等