有限元方法及应用课程论文

齿轮传动是机械传动中最重要的传动部件，被广泛的应用在各个生产领域中，经常用在重要的场合；传动齿轮在工作过程中受到周期性载荷力的作用，有可能在标定转速内发生强烈的共振，动应力急剧增加，致使齿轮过早出现扭转疲劳和弯曲疲劳。静力学计算不能完全满足设计要求，因此有必要对齿轮进行模态分析.同时，模态分析也是其它动力学分析如谐响应分析、瞬态动力学分析和谱分析的基础.

本文运用有限元软件ANSYS对齿轮进行模态分析，为齿轮动态设计提供了有效的方法。

1模态分析简介

由弹性力学有限元法，可得齿轮系统的运动微分方程为：

+ [M]{ t（1） X}C[] X{+}K[X]={}F {

式中，[M]，[C]，[K]分别为齿轮质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；分别

}、{X }、{X}分别为齿轮振为齿轮振动加速度向量、速度向量和位移向量，{X

动加速度向量、速度向量和位移向量，{X}={x1,x2, ,xn}T；{F(t)}为齿轮所受外界激振力向量，{F(t)}={f1,f2, fn}。若无外力作用，即{F(t)}={0}，则得

到系统的自由振动方程。在求齿轮自由振动的频率和振型即求齿轮的固有频率和固有振型时，阻尼对它们影响不大，因此，可以作为无阻尼自由振动问题来处理

[2]。无阻尼项自由振动的运动方程为：

+ [M]{ （2） X}K[]X{=}

如果令 {X}=φ{}sωitn+(φ

}=ω2φ则有 {X{}sωitn+(φ )

代入运动方程，可得 ([K]-ωi2[M]){φi}=0 (3)

式中ωi为第I阶模态的固有频率，φi为第I阶振型，i=1,2, ,n。

2问题描述

本文是对一个简化的齿轮模型的模态分析。齿轮在几何形状上具有循环对称的特征，因此在对其做模态分析时可以采用循环对称结构模态分析的方法。要求确定齿轮的低阶固有频率。

已知的几何数据参见分析过程中的定义，材料特性数据如下：

杨氏模量 E=2×108 N/m2

泊松比 v=0.3

密度 Density=7.8×10-6 N/m3

T

3 GUI方式分析过程

(1)定义工作文件名和工作标题

第1 步：定义工作标题：选取菜单途径Utility Menu>File>Change Title 在弹出的对话框输入文字“Modal analysis of a Gear”，然后单击OK。

第2 步：定义工作文件名：Utility Menu>File>Change Jobname，弹出一个对话框，在其中输入“Gear”,将“New Log and error file”后面的复选框选中，使其处于“On”状态，单击“OK”。

（2）定义单元类型和材料属性

第1 步：定义单元类型：Main Menu>Preprocessor>Element

Type>Add/Edit/Delete。Element Types对话框弹出如图1所示。单击“Add”按钮：弹出“Library of Element Types”对话框如图2所示。在左边的滚动框中单击“Structural”及其下的“Shell”，在右边的滚动框中单击“Elastic 4node 63”，单击”Apply”，得到如图1所示的结果，又在图2中左面的栏中选择“Structural”及其下的 “Solid”在右边的滚动框中单击“Brick 8node 45”，单击“OK”，在单击“Close”,关闭对话框。

图1 选择单元类型

图2 选择单元类型对话框

第2步：定义材料属性： Main Menu>Preprocessor>Material

Props>-Constant-Isotropic。Isotropic Material Properties对话框将出现。 2.在OK上单击以指定材料号为1。第二个对话框将出现，如图3（a）所示。 在该对话框输入EX为2E8，输入DENS为7.8e-6，输入PRXY为0.3，单击OK。又在右边的栏中双击“Density”，弹出如图3（b）所示的对话框，在改对话框中“DEMS”后面的栏中输入“7.8e3”，单击“OK”;然后单击“Material>exit”结束，所得结果如图4所示。

(a) (b)

图3 定义材料属性对话框

（a）弹性模量与泊松比 (b)材料密度

图4 材料属性的定义结果

第3步：关闭坐标系三角形符号：Utility Menu>Plot Ctrls>Window Controls>Window Options，弹出“Window Options”对话框，在“Location of triad”后面的下拉列表栏中选择“Not shown”，单击“OK”。

（3）生成一个轮齿

第1步：生成关键点：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Creat>Keypoints>In Active CS，弹出一个如图5所示“Creat Keypoints in Active Coordinate System”的对话框，在“Keypoint number” （关键点号）后面输入关键点编号为1，在“Location Active CS”后面输入与关键点1相对应的坐标值“5.428,76.307,0”，可用TAB键在输入区之间移动，单击Apply，则早图形屏幕上生成第一个关键点。重复上述过程，分别输入下列10个关键点坐标值和编号：

2（5.534,77.803,0） 3，（5.595,79.303,0） 4（5.411,80.82,0）

5（5.110,82.342,0） 6（4.694,83.869,0） 7（4.208,85.396,0）

8（3.623,86.92,0） 9（2.928,88.450,0） 10（2.214,89.972,0）

11(0,90,0)

生成结果如图6所示。

图5 生成关键点的对话框

图6 生成关键点的结果显示

第2步：生成样条线：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Creat>Splines> Splines thru KPs，出现一个拾取框，用鼠标在图形输出窗口上依次拾取编号为“1，2,3,4,5,6,7,8,9,10”，单击“ok”，则在屏幕上生成一条曲线，及齿轮的轮齿的外轮廓线。

第3步：镜像生成另一边的轮廓线：Main Menu>Preprocessor>Reflect>Lines,出现一个拾取对话框，用鼠标在图形上拾取样条线，单击“OK”，又弹出一个图7所示的对话框，单击“OK”，接受其缺省设置，生成的结果如图8所示。

图7 镜像操作对话框

图8 线镜像生成结果显示图

第4步：生成齿顶圆的圆弧线：

Menu>Preprocessor>Modeling>Creat>Arcs> Through

3 KPs，出现一个拾取框，用鼠标在图形上按顺序依次拾取编号为“13,10,11”的关键点，单击“OK”。

第5步：输入参数：Utility Menu>Parameters>Scalar Parameters,弹出一个对话框，在“Selection”下面的输入栏中输入“ang=360/28”,并回车确认，单击“Close”关闭该对话框。

第6步：生成一个圆环面：Main

Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Ares>Circle>Partial Annulus，弹出一个如图9所示的对话框，其输入数据如图9所示，生成的结果如图10所示。

、

图9 生成圆环面的对话框 图10 生成圆环面的结果显示

第7步：由关键点生成面：Main

Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Arbitrary>Through KPs,出现一个拾取框，用鼠标在图形屏幕上依次拾取编号为“1,10,13,12”的关键点，单击“OK”。 第8步：通过布尔运算实现面相加操作：Main

Menu>Preprocessor>Operate>Booleans>Add>Areas，出现一个拾取框，单击“pick all”，生成的结果如图11所示。

图11 生成的一个轮齿

第9步：生成关键点：Menu>Preprocessor>Create>Keypoints> In Active CS, “Creat Keypoints in Active Coordinate System”对话框将出现。 在

“Keypoint number”后面输入关键点的编号为“20”，在“Location in Active CS”后面的输入栏输入与关键点相对应的坐标值“0,0,0”，单击“Apply”。重复上述操作，输入关键点21的坐标值“0,0,42”，单击“OK”。

第10步：连线：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines> Straight Lines，出现一个拾取框，用鼠标在图形窗口上分别编号为“20,21”的关键点，单击“OK”。 第11步：延伸生成体： Main Menu>Preprocessor>Operate>Extrude >Along Lines, 出现一个拾取框,在图形窗口中选中刚刚生成的面，在拾取对话框中单击OK, 再用鼠标选中L4的关键点，在拾取对话框中单击“OK”。

第12步：打开图形旋转、 、平移工作条：Utility Menu>PlotCtrls>Pan,Zoom,Rotate，在图形屏幕上出现一个“Pan-Zoom-Rotate”工具条。并单击该工具条上的“ ISO”键。生成轮齿如图12所示。

图12 生成的轮齿的体模图

（4）生成有限元网格