第21讲 随机变量及其分布.期望与方差
第21讲 随机变量及其分布列、期望与方差
【知识梳理】
1. 离散型随机变量的分布列
(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量; (2) 随机变量X
具有性质:①pi≥0,i=1,2,„,n;②p1+p2+„+pi+„+pn=1. 2. 如果随机变量X的分布列为
其中0
在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品数,则事件{X=r}
nr
CrM·CN-M
发生的概率为P(X=r)(r=0,1,2,„,l),其中l=min{n,M},且n≤N,M
CN
-
≤N,n
4. 如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发
kn-k
生k次的概率是P(X=k)=Ck,其中k=0,1,2,3,„,n,且q=1-p. npq
称随机变量X为二项分布,记作X~B(n,
p). 5.条件概率
一般地,事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B) P(AB).(或通过事件空间
P(B)
的改变来计算)
6. 相互独立事件
(1) 对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B相互独立.
(2) 若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
(3) 若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4) 若P(AB)=P(A)P(B),则A、B相互独立. 7. 均值
(1) 若离散型随机变量ξ则称E(ξ)=x1p1+x2p2+„+xnpn为ξ的均值或数学期望,简称期望. (2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3) 数学期望的性质:E(c)=c,E(aξ+b)=aEξ+b(a、b、c为常数).
8. 方差
(1) 若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1,x2,„,xn且这些值的概率分别是p1,p2,„,pn,则称:V(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+„+(xn-E(ξ))2pn为ξ的方差.
(2) σVξ,叫标准差.
(3) 随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性.
(4) 方差的性质:a、b为常数,则V(aξ+b)=a2V(ξ). 9. 若ξ~0-1分布,则E(ξ)=p,V(ξ)=p(1-p). ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,V(ξ)=np(1-p). ξ~H(n,M,N), 则E(ξ)=
nMnM(N-M)(N-n)
,V(ξ)=. NN2(N-1)
【典例分析】
类型一 随机变量的概率分布、超几何分布
15k
=________. 例1(1)设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则P⎛2⎝215(2)口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1.若从袋中摸出
5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________.
(3)设50件商品中有15件一等品,其余为二等品.现从中随机选购2件,则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________.
(4)某班级有男生12人、女生10人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委,则至少两名男生当选的概率为________.
例2随机地将编号为1,2,3的三个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子放入一个小球,当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”,否则叫做“放错球”,设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列.
例3已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品.需要从中取出2只正品,每次取一个,取出后不放回,直到取出2个正品为止.设X为取出的次数,求X的概率分布列.
例4 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(1) 求取出的4个球均为黑球的概率;
(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列.
类型二 事件的独立性与二项分布
例5(1)省工商局于2003年3月份,对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示,某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%,现有甲、乙、丙3人聚会,选用6瓶x饮料,并限定每人喝2瓶.则甲喝2瓶合格的x饮料的概率是________. (2)某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率___. (3) 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响,则甲、乙两市同时下雨的概率为________.
(4)某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的.则3个景区都有部门选择的概率是____. 例6 A高校自主招生设置了先后三道程序:部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试.在每道程序中,设置三个成绩等级:优、良、中.若考生在某道程序中获得“中”,则该考生在本道程序中不通过,且不能进入下面的程序.考生只有全部通过三道程序,自主招生考试才算通过.某中学学生甲参加A高校自主招生考试,已知该生在每道程序中通过的概率均31
为p1、、p2. 42
(1) 求学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率;
(2) 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数,求ξ的分布列.
例7.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.
(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列.
类型三 随机变量的期望及方差
例8(1)某单位有一台电话交换机,其中有8个分机.设每个分机在1h内平均占线10min,并且各个分机是否占线是相互独立的,则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________.
(2)有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出200件商品,设其中次品数为X,则E(X)=________,V(X)=________.
(3)某人进行射击,每次中靶的概率均为0.8,现规定:若中靶就停止射击,若没中靶,则继续射击,如果只有3发子弹,则射击数X的均值为________.(填数字) (4)随机变量X的分布列如下:
1
其中a,b,c成等差数列,若E(X)=V(X)的值是________.
3
(5) 一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线.已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有ξ条热线占线,则随机变量ξ的期望为________.
例9 某工艺厂开发一种新工艺品,头两天试制中,该厂要求每位师傅每天制作10件,该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天该师傅的产品不能通过.已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品.(1) 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率;
(2) 若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过1天、2天分别得1分、2分,求李师傅在这两天内得分的数学期望.
2
例10.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P1P2,在射击比赛
3活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.
1
(1) 若P2=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;
2
(2) 计划在2013年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,如果E(ξ)≥5,求P2的取值范围.