第一节 匀速圆周运动快慢的描述

第一节 匀速圆周运动快慢的描述

[

[精读探究·纵横拓展]

一、线速度

1、匀速圆周运动

教材上的这句话，告诉了我们匀速圆周运动的定义及其特点。

（1）、“匀速”是指其线速度的大小不变，方向时刻发生改变，因而其实质是变速运动。 （2）、“任意相等时间”就是在任意短的时间内通过的弧长都相等。 2、线速度

○思重点： “做匀速圆周运动的物体通过的弧长s 与所用时间t 的比值，是匀速圆周运动线速度的大小。” 教材上的这句话，我们明确了线速度的定义方法为比值定义法。线速度的大小与通过的弧长无关，只取决于其比值的大小，这也是比值定义法的特点。 ○解重点：

线速度为矢量，线速度的大小：v =其方向是沿圆周的其切线方向。

s t

二、角速度

○思重点： “半径转过的角度与所用时间的比值是匀速圆周运动的角速度。”

教材上的这句话告诉我们求解角速度的方法。用来描述做匀速圆周运动的物体转动快慢的物理量。 ○理要点：

（1）、角速度：ω=

ϕ

t

（2）、单位：弧度每秒，即rad/s。

（3）、物体做匀速圆周运动，其角速度是不变的。

注意：我们在求解角速度时，转过的角度必须换算为弧度制来求解

三、周期、频率和转速

○理要点：

1、周期：我们把周期性运动每重复一次所需要的时间叫周期，用T 来表示。 2、频率：单位时间内运动重复的次数，用f 来表示。单位时赫兹，即Hz 。

3、转速：单位时间内转动的次数，用n 表示。单位时转每秒（r/s）或转每分（r/min）。 ○解难点：

周期越长、频率越低表示物体转动越慢；周期越短，频率越高表示物体转动越快。 四、线速度、角速度、周期的关系 ○理要点：

如果物体沿半径r 的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s ，半径转过的角度ϕ，由数学知识可得s =r ϕ。

（1）、线速度与角速度的关系：

v =

s r ϕ

==r ω，即v =r ω t t

上式表明：①当半径相同时，线速度的大小与角速度成正比。②当角速度相同，线速度的大小与半径成正比。③当线速度相同时，半径与角度度成反比。

（2）、线速度与周期的关系：v =

2πr

，公式表明，只有 T

当半径相同时，周期小的线速度大。当半径不同时，周期小的线速度不一定大。所以，周期与线速度描述的快慢是不一样的。

（3）、角速度与周期的关系：ω=度一定与周期成反比。

○辨疑点：角速度与转速的关系：

一物体做匀速圆周运动，其转速为n r/s，角速度为ω，则ω=2πn

2π

，公式表明，角速 T

[读题悟法·思维激活]

○读题型组

题型一：线速度、角度度的定义

例1、地球半径为 6400 km，地球赤道上的物体随地球自转的角速度是多少？线速度是多少？

读思路：地球自转时，地球上所有物体都在做圆周运动，它们的角速度都相同，线速度与地理纬度有关，纬度越低圆半径越大，赤道的圆半径最大，物体的线速度也最大。

规范解：地球自转一周，转过的弧度为2π，所用时间为24 h，由角速度公式可得

－

ω=φ/t ＝2π/24×3600 rad/s≈7.27×105 rad/s 。 由线速度公式可得

v ＝2πr/t ＝2π×6400×103/24×3600 m/s≈465 m/s 。

题后小结：该题主要考查线速度、角速度的基本概念，我们可以根据其定义来求解。

题型二：线速度、角速度的关系

例2、如右图所示皮带传动装置，主动轴O 1上有两上半径分别为R 和r 的轮，O 2上的轮半径为r ' ，已知

R ＝2r ，R ＝r ′，设皮带不打滑，问:ωA ∶ωB ＝? ωB ∶ωC ＝? v A ∶v B ＝? v A ∶v C ＝?

读思路：A 、B 两点都绕相同的转动轴转动，属于共轴的关系，具有相同的角速度，B 、C 两点用皮带相连，具有相同的线速度，然后利用它们之间关系公式，就可以求得和其它点之间的线速度和加速度的关系。 规范解：A 、B 同轴，故ωA ∶ωB ＝1∶1 因B 与C 用皮带传动，所以 v B ∶v C ＝1∶1 v B ＝ωB R v C ＝ωC r ′

υB

ωB =υB ⨯r '=2 =ωC υC υC R 3

'

1

ωR

υA ωA r 1υA ωA r B 1

==，===

2υB ωB R 2υC ωC r '2ωC R

3

○读创新题

例3、一把雨伞，圆形伞面的半径为r ，伞面边缘距地面的高度为h 。以角速度ω 旋转这把雨伞，问伞面边缘上甩出去的水滴落在地面上形成的圆的半径R 为多少？

读思路：水滴在雨伞边缘做匀速圆周运动，其线速度的大小我们可以求得。从伞的边缘甩处，水滴做平抛运动，其初速度也就是在伞边缘的线速度。我们利用平抛运动的有关知识，可以求其水平位移，在利用几何关系求解便可以。

规范解：水滴从伞面边缘甩出去以后做平抛运动。水滴的水平速度为v 0＝ω r

水滴在空中做平抛运动的时间 t ＝

2h g

2h g

水滴做平抛运动的水平射程 s ＝v 0 t＝ω r

如图所示，为水滴飞离伞面后的俯视图，水滴从a 点甩离伞面，点；O 是伞柄的位置，可见水滴落在地面上形成的圆的半径为

R ＝r 2+

s 2=r +

落在地面上的b

2h ω

g

2

题后小结：这是一个涉及匀速圆周运动和平抛运动的综合性题目，正确解答该题的关键有三点：一是知道水滴离开伞缘时的速度方向与伞缘相切，且线速度的大小与伞缘的线速度大小相同；二是认识到水滴离开伞缘后做平抛运动；三是正确画出示意图。将三维空间的运动情况化为平面图形，画出示意图往往帮助大脑形成清晰的物理情景，若能养成画示意图的良好习惯，对于提高解题能力是十分有益的。

例8、（角速度、线速度的理解）（05年上海高考题）

如图所示，一个半径为R 的圆环以直径MN 为轴匀速转动，换上有A 、B 两点，则A 、B 两点的角速度之比为

读思路：环在匀速转动，则环上每一点转动的角速度相等，由v =r ω我们就可以判定各点的线速度之比。但要注意A 、B 两点的转动半径并不是R ，而是其运动轨迹的圆的半径。

规范解：1：1 ，1:3。

题后小结：解决此类问题，我们需要分析清楚各个物理量的变化情况，特别是不变的物理量。然后利用线速度、角速度的关系来进行求解。

[读后升华 聚焦高考]

高考渗透点 ○高考要求

1、理解匀速圆周运动是一种变速运动。

2、理解线速度、角速度、周期、频率和转速的概念以及它们之间的关系。

○命题透析

在未来几年的高考中，对描述匀速圆周运动的物理量，考察的可能性较大。在近两年的高考中，特别是上海高考中考察的频率较高。因此可以预见，对几个概念的考查，特别是线速度及角速度的关系，应作为该部分的考察热点内容。

○误区警示

误区一 线速度、角速度的关系

例1、甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a 随半径r 变化的关系图像如图所示，由图像可以知 道（ ）

A ．甲球运动时，线速度大小保持不变 B ．甲球运动时，角速度大小保持不变 C ．乙球运动时，线速度大小保持不变 D ．乙球运动时，角速度大小保持不变

答案：从图像中看出，甲球的向心加速度a 与半径r 成正比，而乙球的向心加速度a 与半径r 成反比，根据a ＝r ω2＝v 2/r 可知，a 与半径r 成正比时，角速度不变；a 与半径r 成反比时，线速度不变。所以该题的答案为BC 。 走出误区：在研究线速度、角速度及周期的关系时，我们采用控制变量法，分别来研究三者的关系。

[读题解题·精题精练]

○经典题

1、下列四组物理量中，都是矢量的一组是（ ） A ．线速度、转速 B ．角速度、角度 C ．时间、路程 D ．线速度、位移

2、当物体做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是（ ） A ．物体处于平衡状态

B ．物体由于做匀速圆周运动而没有惯性 C ．物体的速度由于发生变化而会有加速度 D ．物体由于速度发生变化而受合力作用

3、如图所示，a 、b 是地球赤道上的两点，b 、c 是地球表面上不同纬度上的两个点，若a 、b 、c 三点随地球的自转都看作是匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）

A ．a , b , c三点的角速度相同

B ．a 、b 两点的线速度相同 C ．b 、c 两点的线速度相同 D ．b 、c 两点的轨道半径相

4、关于线速度和角速度，下列说法中正确的是（ ） A ．半径一定，线速度与角速度成正比。 B ．半径一定，线速度与角速度成反比。 C ．线速度一定，角速度与半径成反比。 D ．角速度一定，线速度与半径成反比。

5、甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿半径为2R 的圆周匀速跑步，在相同时间里，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v 1、v 2，则（ ） A ．ω1＞ω2，v 1＞v 2 B ．ω1＜ω2，v 1＜v 2 C ．ω1＝ω2，v 1＜v 2 D ．ω1＝ω2，v 1＝v 2

6、如图所示，皮带转动装置转动时，皮带上A 、B 点及轮上C 点的运动情况是（ ） A ．v A ＝v B ，v B ＞v C B ．ωA ＝ωB ，v B ＞v C C ．v B ＝v C ，ωA ＝ωB

D ．ωA ＞ωB ， v B ＝v C

○活巧题

7、时钟正常工作时，时针、分针、秒针都在作匀速转动，那么（ ）

A ．时针的周期为1小时，分针的周期为1分钟，秒针的周期是1秒。 B ．时针尖端的转速最小，分针次之，秒针尖端的转速最大。 C ．秒针每隔1分钟与分针相遇一次。

D ．秒针的角速度是分针的60倍，分针的角速度是时针的60倍。

1、答案：D

提示：线速度、位移是矢量，角速度、角度、路程、转速时间是标量。 2、答案：C

提示：由于匀速圆周运动的速度方向在时刻改变，速度为矢量，因此速度的变化必不为零，所以必然受到外力的作用，产生了加速度。既然是变速运动，就不是平衡状态，A 错C 对；因为合力不为零，才导致速度的变化。故D 错；质量是惯性大小的量度，任何物体都有惯性，B 错。 3、答案：AB 提示： a , b , c三点处于同一球面，随地球一起运动三点的角速度是相同的，由于a , b 的转动半径为地球的半径，而c 点的转动半径小于地球半径，所以说CD 是错误的 4、答案：AC

提示：A 对B 错，线速度与角速度的关系是v ＝ωR，当R 一定时，v 与ω 成正比。C ．对。线速度一定时，ω与R 成反比。D ．错。角速度一定时，v 与R 成正比，不是成反比。 5、答案：C

2π

提示：甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝，则角速度相同，ω1＝ω2。又因v ＝ωR，所以线速度之比v 1∶v 2＝

T R 1∶R 2＝1∶2，即v 1＜v 2。 6、答案：AC

提示： A 、B 点在同一条皮带上，其速度相同，即v A ＝v B ，故A 、B 的角速度与半径成反比，即ωA ＞ωB ，但B 、C 在同一轮子上，其角速度相同，而v ＝ωR，即v 与R 成正比，v B ＞v C 。 7、答案：B

提示： A 错。时针转一圈用12小时，所以其周期为12小时，分针转一圈用1小时，其周期是1小时，秒针转

1

一圈用1分钟，其周期是1分钟。B 对。转速与周期互成倒数，即n ＝，时针周期最大，转速当然最小。C 错。

T 秒针转一圈用60秒，这时分针顺时针方向移动一小格，所以要61秒多才可相遇一次。D 错。秒针的周期是分针

2π11

周期的，因ω＝，其角速度应是它的60倍，这句话是对的。但分针的周期是时针周期的，所以分针角

T 1260速度是时针的12倍。

8、答案：π/7200，π/1800, π/30

提示：解析：时针、分针、秒针转动一周所用的时间分别为14400s 、3600s 、60s 。转过的弧度为2л，由公式ω＝2π/T ，可以解得时针的角速度为ω1＝π/7200，分针的角速度为ω2＝π/1800, 秒针的角速度为ω3＝π/30。量出指针的半径后，根据v ＝r ω 就可以求出它们的线速度。