生产函数和成本函数的对称性

生产函数与成本函数的对称性

摘要:生产函数与成本函数是在生产过程中密切相关﹑相互对应的两个函数。本文讨论短期生产函数与短期成本函数、长期生产函数与长期成本函数的对称关系。 关键词:生产函数 成本函数 对偶关系 齐次函数 弹性

生产函数与成本函数是微观经济学中两个重要的概念，它们分别是从实物形态和货币形态讨论厂商生产行为的两个方面。在生产过程中假定技术水平保持不变，则生产取决于要素投入。即生产过程中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系就是生产函数。因而生产要素的投入量与要素价格完全决定了生产成本。在完全竞争的条件下，要素价格是既定不变的，因而生产要素直接沟通了生产函数与成本函数的关系。

1. 短期生产函数与短期成本函数的关系

设生产函数表示为y = y ( x i , x 2... x n ) ，其中y 是要素投入组合( x i , x 2... x n ) 下的产量，xi 是第i 种要素的投入量。假设劳动L 是惟一的可变投入要素，其它要素投入量都是固定不变的，则这时的短期生产函数可以简化为y = y (L)。由生产函数在生产第二阶段上的单调性，其反函数l =l -1(y ) 存在。所以，生产函数y = y (L ) 所对应的成本函数为C = b +w ·L = b +w ·l ( y)。若已知成本函数C = b +w·L = b + f ( y)，由于成本函数是关于产量y 的单调递增函数，所以生产函数为y =f -1-1 (w ·L )。

2. 长期生产函数与长期成本函数的关系

若长期生产过程中, 所有要素投入均为可变。已知生产函数为y = y ( x i , x 2... x n ) ，设在要素投入组合X = ( x i , x 2... x n ) 下的成本函数为c =∑i =1n p i n i , 其中pi 为要素x i ( i = 1, 2, ⋯,

n) 的价格。假设p i 是固定不变的。在既定产量条件下求最小成本, 知成本函数c =

n ∑i =1n p i n i

由如下模型确定min c =∑i =1p i n i ,sty=y ( x i , x 2... x n )……(1)

构造拉格朗日函数 L ( xi , λ) =∑p x i

i =1n i +λ(y -y (x 1, x 2..., x n )), 由极值原理, 得成本最∂y

小化的一阶条件为：∂xi =1(i =1, 2,.... n ); y =y (x 1, x 2,...., x n ) ……（2） p i λ

反之, 在既定成本投入条件下求最大产量, 知生产函数y = y ( x1 , x2 , ⋯, xn ) 由如下模型确定: maxy = y ( x1 , x2 , ⋯, xn ); sty=y ( x i , x 2... x n )……(3)

构造拉格朗日函数, L ( xi ,λ) = y ( x1 , x2 , ⋯, xn ) +λ[ C-∑p x ], i i

i =1n

∂y

由极值原理, 得产量最大化的一阶条件: =1(i =1, 2,.... n ); c =c (y ) =p i λ∑p x i i =1n i ……(4)

此处, 不难验证λ’ =dy dy =c ' (y ) 为边际成本, 于是有为最后一单位成本增加的产量, λ =dc dc

λ=1

λ, 故在确定的生产函数y = y ( x1 , x2 , ⋯, xn ) 与成本函数C = C ( y) = ∑p x , 条件i i

i =1n

下, (3) 、(4) 的两组条件是等价的。 因而不难得出生产函数与成本函数的一般关系满足：

C ( y) = C’( y) ∑i =1n x i ⋅∂y ∂y ……（5）由(5) 中解得x1 , x2 , ⋯, xn , 代入; p i =C ' (y ) ∂x i ∂x i

n ∑p x , , 可得y = y ( x1 , x2 , ⋯, xn ) 对应的成本函为C ( y) = C’( y) ∑p x :反之, 由于成i i i i

i =1i =1n

本函数C = C ( y) = ∑p x , 是产量y 的单调递增函数, 由C = ∑p x , 求其反函数, 相应的 i i i i

i =1i =1

-1n n 最优生产规模下的生产函数为: y = C ∑p x 。 i i

i =1n

3. 互为对偶关系的生产函数与成本函数的主要特征

生产函数与成本函数的弹性特征:生产函数弹性与成本函数弹性互为倒数，生产函数弹性又称生产力弹性, 是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下，所有投入要素都按同一比例变动时产出的相对变动。即所有投入要素都变动1% 时产出的变动百分比。

设生产函数为y = y (X ) , X = ( x1 , x2 , ⋯, xn ) 为投入要素, 则生产函数弹性：

dy

dy x y =⋅……(8) E ε=dx dx y

x

不难证明, 所有投入要素按同一比例变动所引起的产出的相对变动, 是各个投入要素的比例变动所引起的产出变动之和. 即

E ε = ∑Ex i =∑i =1i =1n n dy x i ⋅……(9) dx y

成本函数弹性简称成本弹性, 是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下, 总产量沿着扩张线的相对变动所引起的总成本的相对变动. 即总产量沿着扩张线变动1% 时总成本的

dc

n dc y ⋅……(10) 变动百分比. 设成本函数为C = C ( y) = ∑p i x i =p i X 则E C ==dy y c i =1y

由于总成本C =P x X , 所以dc dP x X P X (dX ) dX ……(11) ===c P x X P x X X

dy dy

1y y ==将(11) 式代入(8) 式得: E ε= dX dC E c

X C

上式表明, 成本函数弹性是生产力弹性的倒数. 即成本弹性小于、大于还是等于1, 取决于生产力弹性大于、小于还是等于1. 并依此表明规模报酬递增、不变还是递减。 参考文献:

[ 1 ] 高鸿业. 西方经济学(微观部分) (第4版) [M ]. 北京:中国人民大学出版社, 2007.

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