让数学思维过程"看得见"

　　数学教学过程是学生收获知识的过程，也是学生思维发展的过程，更是学生能力提升的过程。早在20世纪上半叶，著名数学家柯朗就指出：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。” 　　思维是在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程，是人脑借助言语、表象或动作实现的，是对客观事物的性质及关系的概括和间接的反映。通过图形直观和情境直观的方式可以将思维过程外显，运用数学工具可以为思考提供更多的资源支持，关注程序会使思考的过程更为系统，从而降低思考的难度，有利于培养学生的数学能力。 　　一、画直观图将思维过程外显 　　画直观图是指利用图形描述和分析问题，是几何直观的体现，可以把复杂的数学问题变得简明、形象。解决问题时通过画直观图将思维过程外显，可以帮助学生直观地理解数学，降低思考的难度。 　　空想不如听见，听见不如看见。人类主要通过视觉、听觉、嗅觉、味觉、触觉五种感官从外部环境中获取信息。其中，视觉获取信息的效率最高，听觉次之。在学生的数学学习过程中，将思维外显，使思维过程可见，将利于提高学习效率。而且若学生能主动将信息视觉化，应会提高学生的数学能力。看信息画直观图的过程是将信息视觉化的一个重要做法。美国数学家斯蒂恩说，如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。 　　在教学中，学生用符号表示信息。如让计算小松鼠的数量时，学生会用三角形、小圆圈等符号来表示小松鼠。学生还经常画图表示几个信息，如解决关于跑道的问题时，学生会画圈来模拟跑道，增强对问题的理解。学生用符号表示计算过程，可以让计算的道理更清晰。 　　结构比方向更重要。在解决问题过程中，学生若能将问题的结构画出来，问题也就解决了一大半。因为结构清楚了，问题也就变得纲举目张了。需要多个步骤解决的问题，也就被分解成了几个小问题，有利于学生探索解决问题的思路。 　　如一年级学生学习加减法时，判断做什么运算很重要。通过直观图示，学生看到需要相加或相减的是两个部分，比关注这两个数是几更重要。通过观察合并的过程，学生更容易理解加法的意义。 　　在用加、减法和乘、除法混合起来解决问题时，学生通过画直观图更容易看到问题的大结构是乘、除法还是加、减法。相比综合法、分析法等从不同方向去分析问题，直接画出问题的结构是更为重要的。 　　二、借助情境经验让思维脚踏实地 　　熟悉的就是简单的。在解决实际问题时，学生熟悉的是情境，不熟悉的是情境之下抽象的数和数量关系。 　　数是抽象的，数量是具体而直观的。在认识数及进行数的运算时，可以借助数量来帮助学习数。如在学习小数加、减法时，学生熟悉小数点对齐的技能，但不太明白其中计数单位个数相加、减的道理所在，在操作时就容易出现错误。如2.7+3.02，学生计算时会出现对位错误。而将这两个数变成数量，利用元、角、分来帮助计算，结果就更容易正确了。 　　很多数学概念能在生活中找到支撑，具有情境原型。心理学家荣格认为， 原型是人们对世界进行范畴化的认知参照点， 所有概念的建立都是以原型为中心的，从而使数学概念变得熟悉。如教学年、月、日时，学生在生活中已经有了“年”、“月”、“日”的经历和经验，可以让学生提取经验，让学生说一说他印象中的一年、一月、一日，有的学生说去年过生日到今年过生日就是一年，去年春节放鞭炮到今年春节放鞭炮就是一年，等等，把学生的这些经验对接到数学概念，学生理解到的一年的概念就不仅仅是365天这个数量了，而是有了经验支撑的一年时间长度的感受。借助情境将概念直观，会帮助学生更深入地理解概念。 　　对学生的数学学习而言，解决实际问题是困难较大的内容。传统的办法是将问题分成基于数量关系的十几种类型，由于较为抽象，学生难以学习。运用情境直观会降低解决问题的难度。如在教学《乘法分配律》这一内容时，笔者曾请一位老师做过实验，通过执教不同设计思路，并通过课前测试和课后测试发现，运用情境直观的设计比直接用乘法算式来教学，学生的学习效果更好，且相差较大。 　　情境直观的做法也就是以具体的实际问题为例证，把例证作为模型。在《乘法分配律》一课中，这位教师以买32套课桌椅为原型，学生借助生活经验理解合着买和分着买花费同样多，后面再出现其他实际问题或乘法分配律的算式时，都将两部分分别对应为桌子和椅子的价格，学生理解起来很简单，从而在桌椅的情境支撑下，很轻松地发现了乘法分配律。这样的做法会有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 　　三、借助数学工具让思维有支持 　　工具，原指工作时所需用的器具，后引申为达到、完成或促进某一事物的手段。工欲善其事，必先利其器。在数学学习中，数学工具也起着至关重要的作用。 　　数学工具有很多，有机械类的，也有图形类的。机械类的工具如直尺、量角器等测量工具，圆规等画图工具，小棒、计数器、数位筒等计数工具。图形类的工具有数轴、方格纸等基本工具，还有数量关系的直观示意图等创意工具。 　　数学成就水平高低不同的学生，在解决问题时寻求工具支持的意识是不同的。若能顺利地找到恰当的工具，就能更好地解决问题。 　　一种办法是定向基本工具。自主运用熟悉的数学工具解决问题将使思考有支撑。如解决方向与位置问题，坐标系是基本工具。在测试中发现，学生辨别方向时主动在参照物处画出坐标系，对解决问题发挥了很好的作用。 　　在数学学习中，学生还会经常运用数轴线、方格纸等工具解决问题。如在学习数的认识、数的大小比较、数的运算等内容时运用数轴线；在学习图形的认识、平行、垂直、图形的面积、观察物体等内容时运用方格纸。主动运用恰当的数学工具是提高学生解决问题能力的一个有效措施。 　　另一种办法是通过内容联想工具。有些学生遇到不熟悉的问题时，会联想与此内容相关的数学工具，尝试用来帮助解决问题。如让学生用多种方法表示数，其核心是位值制概念，同样的点子所放的位置不同，表示的数的大小也不同。学生自主联想到计数器，运用概念解决问题。 　　四、关注程序让思维有线索 　　程序是为进行某活动或过程所规定的途径。好的程序是做好事情的基础。学生学习概念和解决问题时用对程序，会使学习过程更为简单。做一件事时要先理解程序，然后明白地执行程序，有感悟地熟悉程序，再熟能生巧地运用程序。 　　首先有整体大感觉。观察事物或分析问题时先做整体判断是一个很好的思维习惯。可以在数学学习过程中，培养学生先有大感觉的思维意识。在实际生活场景中，可以估计一个场所中的人数、一个场地的面积等。在数学学习中解决实际问题时，先有一个大体判断。在进行计算时，先预估结果大约是多少。这个习惯的养成利于学生不纠缠于细枝末节，整体地把握问题。 　　其次将读懂的描述出来。在观察事物或分析问题时将读懂的部分内化是重要一环。将所读懂的以自己的方式描述出来，会增强学生对问题的理解。而且描述出来的过程也是将想法落实的过程。描述的方式可以是说、写、画等方式。边思考边说，也称为“出声地思考”或是“出声思维”。思维是慢速的信息加工过程，进行“出声地思考”是在利用外部语言进行思考，也是思维外化的一种方式。“出声思维”利于观察学生的思维过程，但出声是否会影响学生解决问题的思维过程尚未可知。与“说”相比，用文字把思维过程写出来，经过了更多整理的外化，在写的过程中增加了调整的机会。把思维过程画出来，与“写”相比，又能显示出问题的结构。如在《积的变化规律》一课中，学生发现积的变化规律后表示的方式有很多不同。有的学生用文字表示规律，很多学生将之描述为一个因数不变时，另一个因数乘几，积也乘几；有的学生用符号表示，其中不乏很清晰明了的数学算式表示方式。 　　在一项样本超过19000名五年级学生的数学测试及相关因素研究（《北京市2011年义务教育教学质量评价与反馈系统》）中发现：在解决稍复杂的数学实际问题时，读题之后会画图的学生数学测试得分率比用给出的数据试一试、想好后直接列式的学生更高。因此建议从小学一年级开始培养学生把思维过程画出来的习惯。 　　第三，解决问题后回头看。著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中将解题过程总结为“审题―探索―表达―回顾”四个环节。在问题解决过程中，回顾是一个重要环节。在得到结果后，“回头看”有利于学生对结果进行反思，培养学生的反思能力。如这样一个实际问题： 　　一个长方体仓库，从里面量，长14.7米、宽8.4米、高3.3米。在仓库里摆放体积为1立方米的正方体大木箱，最多可以摆放多少个？ 　　有些学生在解决问题时，直接把三个数相乘来计算体积，只关注了模型的运用，而忽略了数据信息和结果的实际意义。这样的例子比比皆是。学生在解决实际问题时，回头看一看，关注问题的实际意义是很重要的。 　　总之，将思维外显，并逐渐地将思维打开，专注于培养能力，学生将受益良多。