一类矩阵微分方程的特解

第23卷第1期2010年2月

四川理工学院学报(自然科学版)

Journal o f S ichuan U n i versity o f Sc i ence&Eng i nee ri ng(N a t ural Science Ed iti on)

V o l 23 N o 1

Feb 2010

文章编号:1673 1549(2010) 01 0010 04

一类矩阵微分方程的特解

吴幼明, 何佩婷

(佛山科学技术学院数学系, 广东佛山528000)

摘 要:基于微分方程组理论和矩阵理论, 采用待定矩阵方法和按列比较方法, 给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式, 对二种特殊情况进行了讨论, 并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性。为高阶微分方程组的解法研究提供了一条有效的途径。

关键词:常系数; 微分方程组; 待定矩阵法; 特解中图分类号:O 241. 8

文献标识码:A

a 11a 21

[1 6]

引言

求常系数线性微分方程组的特解

是微分方程理

论的重要内容之一, 而对于高阶微分方程组的特解研究, 目前研究结果还很少。根据线性非齐次微分方程组解的结构定理, 线性非齐次微分方程组的通解等于对应的齐次方程组的通解加上非齐次微分方程组的一个特解。对于常系数线性微分方程组来说, 当非齐次项为某些特殊形式时, 可用待定矩阵法

[3 6]

a 12a 22a 32

b 12b 22b 32

a 13a 23a b 13b 23b f 1f f 1f 2=f a 11a 31t 1(xt 2(x) t 3(xa 12a 22a 32

a 13a 23a f 1f 2f (1)

f 2-a a 21

a 31

b 11-b 21b 31

其中f i =f i (x ), i =1, 2, 3是关于x 的函数, t i (x ), i =1, 2, 3是关于x 的二次多项式与指数函数的乘积, a, a ij , b ij (i , j =1, 2, 3) 是常数。

a 11

记A =

a 21a 31b 11

B =

b 21b 31

f 1f b 12b 22b 32f 1f a 12a 22a 32

b 13

b 23, C =A B =b f 1f t 1(x(2)

t 3(x-1

求出非齐次方程组

的一个特解。文献[7]给出了一类不含一阶导数项的三维二阶常系数微分方程组的通解公式, 但其非齐次项仅为二次多项式的情形; 文献[3 5]分别给出了文献[7]的微分方程组在非齐次项为二次多项式与指数函数相乘、三角函数与指数函数相乘和二次多项式与三角函数相乘的形式时的通解公式。文献[8]在文献[7]的基础上得到了一类含一阶导数项的三维二阶常系数微分方程组的通解公式, 但其非齐次项亦仅为二次多项式的情形。

本文在文献[3 8]的基础上, 采用待定矩阵法, 给出了文献[8]的微分方程组在非齐次项为二次多项式与指数函数相乘的形式时的通解公式, 这是文献[3, 8]的推广, 亦是文献[6]的补充, 因此更具有一般性。

a 13

a 23, 并假设A 可逆, a 3c 11c 21c 31

c 12c 22c 32

c 13c 23c 3因此, 式(1) 整理后为

-C f 2=A -1t 2(x) f 2-a f 2

1符号

给出矩阵微分方程

2方程的通解

2. 1齐次方程的通解

[8]

收稿日期:2009 10 13

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10772046); 佛山科学技术学院创新团队项目(09X001)

, , ,

第23卷第1期 吴幼明等:一类矩阵微分方程的特解

e

(3)

e e

r 12

11

m 1e

r 1r 2x r 3x

2r 1方程(2) 对应的齐次方程为:f 1f f =[f 1

f 1f f 2

f 3]

T

r 12

f 1

f -CH e r x =A

e

r 3x

-1

m 2e m 3e

r 1(7)

f 2-a f 2-C f 2=则方程(3) 的通解为:

r 1e r 3e

r 1r 1e r 3e

r 12

e e

n 1e

r 1r 2x r 3x

r 12

r x

2G e r x +2H r 2e r x +J r 2-a H e r x

2e

2

2

r 3x

r 3x 2r 3x

r 3x

=V [exp ( x )C 1+exp ((aE 3- )x )C 2]其中, =diag( , 而 1, 3, 5) 1=1 3=

2a +

5=a +4, 1

[a+21

2a +

a +41],, a +4r 1e

e e

-aJ r 2e r x -CJ e r x =A

2

-1

n 2e n 3e

(8)

r 3e g 1i g r 3x

r 3x

而1, 2, 3是矩阵C 的三个特征根; V 是矩阵C 的列特征向量的矩阵; C 1, C 2是常数向量。2. 2非齐次方程的特解

对方程(2) 设

t 1(xt(x)

=

t 2(x) =t 3(x(l 1x +m 1x +n 1) e

(l 2x +m 2x +n 2) e (l 3x +m 3x +n 3) e

222

r 1r 2x r 3x

由式(6) 取第一列得:

l i

(i =1, 2, 3)

l 1

0l 20g 1i

(10)

g n 1

H =[(S 1) 1(S2) 2(S3) 3]-2[( 1) 1( 2) 2( 3) 3]

l 1(2r 1-a) ! 其中

S i =R i A

-1

g 2i =S i 0

(9)

0。(4)

故G =[(S 1) 1(S2) 2(S3) 3]

由式(7) 取第一列得:h 1i h m i 0

00

其中l i , m i , n i , r i (i =1, 2, 3) 是常数。根据待定矩阵法, 可设方程(2) 的一个特解为:

e

2

r

12

, 2, 3) h 2i =S i 0-2(2r i -a)R i g 2i (i =1

(5)

将式(9) 代入式(10) 有

0n 20

0n 00l 3(2r 3--1

f t =(Gx+H x +J ) e r x

e

其中

g 11

G =

g 21g 31h 11

H =

h 21h 31j 11

J =

j 21j 31

g 12g 22g 32h 12h 22h 32j 12j 22j 32

j 13j 23j 3g

13g 23g 3h

13h 23h r 3x

00

0l 2(2r 2-a)

2

00

(11)

=[(r i -ar i )A -B ]

2

-1

-1

i =R i S i =R i A

2

而g ik , h ik , j ik (i , k =1, 2, 3) 是常数。

将式(5) 代入方程(2), 整理并比较x 的同次幂系数和指数函数的系数, 得到下列3个等式:

r e G r e r 3e

2r 112r 2x 22r 3x

R i =[(r i -ar i )E 3-C ](i =1, 2, 3) 。

由式(8) 取第一列得:j 1i

(6)

j 2i =R i A j -1

(i =1, 2, 3)

E 3为三阶单位矩阵。(S i ) i , ( i ) i 分别为S i , i 的第i 列

r 1e -aG r 2e

r 3e

r 1r 2x r 3x

e -CG e

e

r 1r 2x r 3x

l 1e

=A

-1

r 1r 2x r 3x n i g 1i g (12)

l 2e l 3e 0-2R i g 2i

-(2r i 2, 3)

12

将式(9) 和式(10) 代入式(12) 得到

n 1

J =[(S 1) 1(S 2) 2(S3) 3]

00

-[( 1) 1( 2) 2( 3) 3]

2l 1+m 1(2r 1-a ) !

00

+2[(U1) 1(U2) 2(U3) 3]

l 1(2r 1-a ) !

00

2

四川理工学院学报(自然科学版) 2010年2月

此结果与文献[3]中的结论完全一致, 证明本文的通解公式亦是文献[3]的推广。

0n 20

00n 3算例

用本文方法解下列方程组的一个特解

00

2l 3+m 3(2r 3-a 0

2l 2+m 2(2r 2-a )

x -x -2x -y -z =-e y -y -x -2y -z =te z -z -x -y -2z =t e 10

(13)

01002-11

1211A =

r

1r 2x r 3x

2t

t

(18)

2-t

解将方程组(18) 写成矩阵形式为:

2

0l 2(2r 2-a)

3-1

010

x y -z y =100

010-e te t e

t 2x y z 0l 3(2r 3-a )

2

其中U i =R i i =R i A

(i =1, 2, 3), (Ui ) i 分别为U i 的

第i 列(i =1, 2, 3) 。

故方程(2) 的一个特解为:

(l 1x +m 1x +n 1) e

22

r 12-t

其中

00B =

=A 2

(14)

C =A B =

-1

-1

f t =[(S1) 1(S2) 2(S3) 3](l 2x 2+m 2x +n 2) e r x

2

(l 3x +m 3x +n 3) e

-[( 1) 1( 2) 2( 3) 3]

r 3x

(2l 1(2r 1-a )x +2l 1+m 1(2r 1-a ) ) e !

(2l 2(2r 2-a )x +2l 2+m 2(2r 2-a ) ) e (2l 3(2r 3-a )x +2l 3+m 3(2r 3-a ) ) e

l 1(2r 1-a) e

+2[(U 1) 1(U 2) 2(U 3) 3]l 2(2r 2-a) e

l 3(2r 3-a) e

从而方程(2) 的通解为:

2r 12r 2x 2r 3x

211211

121

11

a =1, l 1=m 1=l 2=n 2=m 3=n 3=0, m 2=r 2=l 3

(15)

=1, n 1=r 3=-1, r 1=2, 则

R 1=R 3=

1

-11-2

-1-113

-1-1

-1-f =V [exp ( x)C 1+exp ((aE3- )x )C 2]+f t

2. 3特殊情况的讨论

(1) 当r 1=r 2=r 3=0时, 式(14) 变为:f t =-B t(x ) +aB AB t (x)

-B AB (E3+a AB ) t (x)

解公式是文献[8]的推广。

(2) 当a =0时, 式(14) 变为:f t =[(S1) 1(S2) 2(S3) 3]t(x )

l r e

2r 111

2

-1-1

-1-1

-12-1

(16)

此结果与文献[8]的结论完全一致, 证明本文的通

R 2=-2

1

-13-, S i =R i (i =1, 2, 3) 4

-1-13

3

由 i =R i , U i =R i (i =1, 2, 3), 有

= 3=

1

-13-4

-1-13

3

-1-1

r x

+8[(U 1) 1(U 2) 2(U 3) 3]l 2r 2

2e

l 3r 3e

-2[( 1) 1( 2) 2( 3) 3]

+m 1+m 232r 3x

2

11-5-1=-511--5-55-3U 1=35-3

第23卷第1期

43

吴幼明等:一类矩阵微分方程的特解13

U 2=-

1

-2143-64

-21-21431

-1--2e -te 2t e 0e

t

t 2-t

-21-4结束语

本文采用待定矩阵法, 在文献[3 8]的基础上, 得到文献[8]中微分方程组在非齐次项为二次多项式与指数函数相乘的形式时的通解公式, 并通过算例验证了其特解公式的正确性。本文结果也可通过编写计算机程序进行计算, 非齐次项取不同形式时有不同形式的特解, 其它形式的特解有待进一步研究。参考文献:

方程组(18) 的一个特解为:

f t =

1

-13-4

-1-

113

-5

--3

-

1

-1

112

-1

-5

5

-3t +e 009e

-t

-t

[1]化存才. 常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用[J].云南师范大学学报, 2004, 24(4) :1 5. [2]孙丽强. 几种常系数线性非齐次方程组的特解的求

法[J].青岛大学师范学院学报, 1997, 14(2):12 16. [3]吴幼明, 何小媚. 一类常系数微分方程组的通解[J].四川理工学院学报:自然科学版, 2006, 19(2):68 71. [4]吴幼明, 孔碧洁, 何小媚. 一类二阶常微分方程组的

特解公式[J].佛山科学技术学院学报:自然科学版, 2006, 24(4):7 11.

[5]吴幼明, 孔碧洁. 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨[J].四川理工学院学报:自然科学版, 2007, 20

(19)

(1):20 25.

[6]吴幼明, 周文苑. 一类二阶微分方程组的特解[J].洛阳师范学院学报, 2009, 28(2) :1 6.

[7]吴幼明, 罗旗帜. 一类二阶常系数微分方程组的通解

[J].佛山科学技术学院学报:自然科学版, 2002, 20(2):10 14.

[8]吴幼明, 王向东, 岳珠峰. 一类二阶微分方程组的通解[J].汕头大学学报:自然科学版, 2007, 22(3):15 20.

+

1

-343-4

-3-215

-21-

即

x (t ) =- -y (t ) = -z (t) =

12t 15e t

e +t +2412-t

e t +3t +

2212t 1t e -e 3t +

24412-t

e t +3t +

22

t +

5t

e 4

12t 1e +24

+

12e -t

t +9t +2经检验, 式(19) 确是方程组(18) 的一个特解。

Particular Solutions to a K ind ofM atrix O rdinary D ifferential Equation

WU You m ing, HE P ei ting

(D epart m ent of M athe m at ics , Foshan U ni versity , F osha n 528000, China)

Abstr ac:t Based on differe ntial equat i ons theory and matri x t heor y , and by the m et hod of under m i ne d m atri x and co l umn co mparison , the paper is devoted to prov i de a particular so l ution of findi ng a k i nd of syste ms of three dm i ensi onal sec ond or der d ifferential equations w ith constant c oeffici ents . And the non ho mogeneous ter m s of different i al equations are the f or m of quadratic po l yno m i a lm ultipli ed by exponential funct i on . Two special caseses are d i scusse d i n detai. l For exa m ple , the particular solut i on for mulas are validated . The results presented i n the paper are generalization of prev i ouswor ks done by the authors o f the paper , thus gri v i ng a foundat i on for the study of the method of solve on differential equations .

Key wor ds :constant c oeffici ents ; different i a l equati ons ; m ethod of undeter m i ne d m atrix ; partic u l ar solut i ons