一维无限量子深势阱能量
一维无限量子深势阱能量
学院：理学院
专业：应用物理学一班 姓名：黄凯 学号：10510111
一、摘要
本文主要从推导出量子阱一维空间中粒子的能量公式入手，介绍量子阱的基本理论，通过建立理想模型，利用一些基础知识从理论上推导出一维无限深势阱中势能与阱宽的关系，从而绘出能量与量子阱宽度的关系曲线。更直观的了解了势能随阱宽变化的变化趋势。
关键词： 量子阱 模型 势能
二、引言
量子阱是由两种不同的半导体材料相间排列形成宽度为d 的两个无限高势垒壁的具有明显量子限制效应的电子或空穴的势阱。最基本特征是，由于量子阱宽度(只有当阱宽尺度足够小时才能形成量子阱) 的限制，导致载流子波函数在一维方向上的局域化。并在一维势力场作用下运动着，这个抽象出来的计算模型，称为一维无限深方形势阱，本文将建立理想模型，通过理论推导结合计算机模拟绘出E —a 曲线，更直观的了解了势能与阱宽的关系。
三、理论公式推导
设想在一维空间中运动的粒子是最简单的量子力学体系，这一体系施加给粒子的势能如下：
∞ v (x ) ∞
u (x ) =0 u (x ) =0
0 d
x
h 22
∇u +vu =Eu ，粒子在势阱内的方程为：由定态薛定谔方程式-2m
d 2u (x ) 8π2mE
+u (x ) =0 （1） 22
dx h
式中：m 为粒子的质量，E 为粒子的总能量。
8π2mE 若令k = （2） 2
h
则粒子在势阱内的方程可改写为：
d 2u (x )
+k 2u (x ) =0 （3） 2
dx
（3）式的通解为u (x ) =A sin kx +B cos kx 。式中，A,B 为两个积分常数，可根据波函数的边界条件求出。据边界条件，x =0时，u (0) =0，由上式可知B=0，于是：
u (x ) =A sin kx （4）
又根据边界条件x =0时，u (0) =0, 式（4）可写为：
u (d ) =A sin kd =0
一般来说，A 不能为零（否则u (x ) 为零解，无意义），故必有sin kd =0，即kd =n π 或k =n π n =1，2, 3，…；将上式与（2）比较，可得在一维势阱中运动的粒子的能量值为：
h 2
E =n 2
8md
2
即E =n
2
π2 2
2md
2
式中，n 是量子数，表明粒子的能量只能取不连续的离散的值。
四、数值模拟
由E =n
2
π2 2
2md
2
可绘制E 1与d 的关系曲线如下：
五、结论
由E =n
2
π2 2
2md 2
可知：一维势阱中粒子的能量是不连续的，即量子化的，同时从
公式可以看出粒子的能量的最小值不能为零；由以上数值模拟绘得的图形可知： 在一维空间中运动的粒子的能量与量子阱宽度d 成反比。