高层建筑结构动力时程响应分析的状态空间迭代法_沈小璞
DOI :10. 14006/j . jzjgxb . 1998. 05. 002 第19卷第5期
建 筑 结 构 学 报1998年10月
高层建筑结构动力时程响应分析的
状态空间迭代法
①
沈小璞 肖 卓
(安徽建筑工业学院 合肥230022)
【提要】 本文把现代控制理论中的状态空间理论应用到高层建筑结构动力响应分析中, 提出了状态空间迭代法分析高层建筑结构动力响应问题。根据结构动力方程, 引入位移与速度为状态变量, 导出状态方程, 给出非齐次状态方程的解, 进而建立状态空间迭代计算格式。文中结合工程实例, 采用状态空间迭代法进行结构动力时程响应分析, 其计算结果表明, 具有较高的精度, 特别对多自由度体系的多输入、多输出等问题的动力响应解法, 效率较高。
关键词:高层建筑、动力时程分析、状态空间迭代法
一、引 言
高层建筑结构的动力时程分析对于了解地震作用全过程的每一瞬间结构的变形及内力状况, 确定结构薄弱层位置, 用变形来控制结构的破坏, 都具有非常重要的意义。
对于高层建筑结构振动体系的运动微分方程为
[M ]{X ¨(t ) }+[C ]{X ﹒(t ) }+[K ]{X (t ) }=-[M ]{X ¨g (t ) }
[K ]为常量, 当结构为弹塑性时, 取[K ]为变量;
{X ¨(t ) }、{X ﹒(t ) }、{X (t ) }———分别为结构的加速度、速度和位移反应列阵; {X ¨g (t ) }———地面运动加速度。
其方程(1) 的数值积分, 目前已有很多种数值算法, 如线性加速度法, New mark -β法(r =0. 5～0. 55, β=0. 25～0. 275) , Wilson -θ法(θ=1. 37～1. 4) , 这些方法在高层建筑结构动力时程分析中是常见的响应解法。一般说来, 在实际工作问题中, 其规模都比较大。采用上述方法时, 需要解高阶线性代数方程组, 这是相当繁琐的事。并且在计算中, 都有一个积分收敛条件问题, 否则将影响计算精度, 甚至数值解有可能发散。
近年来, 现代控制论中的状态空间理论积分法, 沈鹏程教授
[4]
[1, 2]
(1)
式中 [M ]、[C ]、[K ]———分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵, 当结构为弹性时, 取
逐步推广到其他一些学科领域, 如固体力学、
[3]
复合材料力学、弹性力学、结构动力学等。钟万勰教授提出了结构动力学方程的精细时程
提出了基于状态空间理论的多变量样条元法和动力响应问题等。本文
将状态空间理论应用到高层建筑结构动力时程响应问题中去, 对方程(1) 引入状态变量, 建立状态方程, 在此基础上提出状态空间迭代算法。该方法的特点是, 对结构系统的描述, 采用了状态空间理论的表达式, 其形式简单, 物理概念清晰, 易于编制程序在计算机上实现计算, 需要内存少, 计算时间短, 效率高, 计算精度好等, 对高层建筑结构的动力时程响应计算是十分有效
①安徽省教委自然科学基金资助
的。在计算过程中, 不需要求解线性代数方程组, 也不必对矩阵求逆和对方程的解耦处理, 只需作矩阵相乘运算。特别对多自由度体系的多输入、多输出等问题的动力响应求解, 效率较高。因此, 该方法有实用价值和发展前景。
二、结构动力时程分析的状态空间迭代法
(一) 状态空间方程
对于多自由度弹塑性体系, 受任意动力荷载的运动微分方程为
[M ]{X ¨(t ) }+[C ]{X ﹒(t ) }+[K ]{X (t ) }={P (t ) }或
{X ¨(t ) }+[C ]{X ﹒(t ) }+[K ]{X (t ) }={P (t ) }
式中
[C ]=[M ]
对于
对于地震作用情况
现在考虑式(3) , 引入状态变量
{X (t ) }
{q (t ) }{X ﹒(t ) }
则式(3) 可以改写为
{﹒q (t ) }=[D ]{q (t ) }+{F (t ) }
式中
.
[0]
数值[D ]-[K ]
[I ]
; {F (t ) }-[C ]
{0}
(8)
{P (t ) }
(7)
矩阵
(6)
-1
(2) (3)
[C ]
(4)
-1
[K ]=[M ]-1[K ]{P (t ) }=[M ]
{P (t ) {P ( t ) }=-{X ¨g (t ) }(5)
式(7) 就称为状态方程。
(二) 计算格式
对于某一段时间里, 可划分为许多时间间隔Δt , 在任意一时刻t i =i Δt (i =0, 1, 2, …) 的结构动力响应量为:
对i 时刻,
{q i (t i ) }=e [D ]t i {X (0) }+
对i +1时刻
{q i +1(t i +1) }=e
[D ]t i +1
e ∫
0t
t i
[D ](t i -τ)
{F (τ) }d τ(9)
{X (0) }+
∫e
i +1
[D ](t i +-τ) 1
{F (τ) }d τ(10)
这样, 对于取步长为Δt , 任一时刻的结构动力响应量可以写成
{q i +1(t i +1) }=e [D ]Δt {q i (t i ) }+
∫
Δt
)
e [D ](Δt -τ{F (τ) }d τ
(11)
设i =0, 则
{q 1(t 1) }=e [D ]Δt {q (0) }+[Q ]{F (t 1) }
式中
[Q ]=
(12)
-1
∫
Δt
e
[D ](Δt -τ)
d τ=(e
[D ]Δt
-[I ]) [D ](13)
因此, 状态空间迭代法一般计算格式为
{q i +1(t i +1) }=[Υ]{q i (t i ) }+[Q ]{F (t i ) }
式中
∞i i
[Υ]=∑, [Q ]=∑i =0(i =0i +1) ! i !
∞
(14)
(15)
式(14) 就称为状态空间迭代法计算式。e 指数矩阵的求法有很多种, 本文采用幂级数法,
根据指数矩阵定义, e [D ]Δt 可以展开成幂级数:
e [D ]Δt =[I ]+[D ]Δt [D ]2Δt 2[D ]3Δt 3+…
2! 3!
它对于具有常元素的[D ]矩阵和给定的Δt 都是一致收敛[1]。
(三) 状态空间迭代法的计算步骤
1. 将时间段划分为一系列很小的时间间隔, 每个间隔的长度, 称为步长。可任意选择, 但
通常是等间隔的, 记为Δt 。
一般说来, Δt 取得越小, 计算精度越高, 计算工作量也就越大。通常为了保证足够的精度, 应取Δt ≤0. 1T , T 为结构的自振周期。但若荷载P (t ) 变化特别快, 而且非常复杂, 是由许多谐波分量组成的, 则应取Δt ≤0. 1T p , T p 为荷载P (t ) 的卓越周期, 即其频谱分量中起主要作用的谐波分量的周期。如条件许可或对计算精度的要求很高时, 则应取Δt ≤0. 1T e , T e 为P (t ) 中不可忽略的谐波分量的最小周期。对于地震作用来说, 一般取Δt ≤0. 02s , 大约相当于0. 05T p ～0. 1T p , T p 为地震运动的卓越周期。
2. 在每个时间间隔Δt 内, 将[M ]、[C ]、[K ]及{P (t ) }均视为常数。
例如, 对i +1时间间隔则令[M ]、[C ]、[K ]及{P (t ) }均等于该时间间隔的初始值, 记为[M i ]、[C i ]、[K i ]及{P i (t ) }。
3. 根据式(8) , 形成[D i ]、[F i (t ) ], 由式(15) 计算其[Υi ][Q i ]。
{X i (t i ) 4. 由第i +1时间间隔的初始值编译{q i (t i ) }值,
{X i +1(t i +1) }
{q i +1(t i +1) }5. 由动力方程式(3) 求得{X ¨i +1(t ) }。
{X 0(t 0) }
由第1时间间隔开始, 从23i =0时的初始值{q 0(t 0) }……(在结构地震反应分析
{X ﹒0(t 0) }
……{X ﹒i +1(t i +1) }
14
……代入式(14) 求该时间间隔的末端
{X ﹒i (t i ) (16)
[D ]Δt
中一般取{q 0(t 0) }={0}或以静荷载的反应作为初始值) 。计算i =1时的{q 1(t 1) }, 即第1时间间隔的末端值, 然后, 又将此末端值作为下一时间间隔的初始值。重复以上步骤, 可得到整个运动的全过程。根据式(14) , 可以进行迭代计算。
若对于质量、刚度保持同一常数的结构, 可先由式(8) 形成[D ]、{F (t ) }, 然而由式(15) 算出[Υ][Q ], 这在整个运动过程中都保持同一常数值。
若考虑对于变质量、变刚度, 可稍加变动即可。根据以上计算方法和步骤, 编制了相应的计算程序框图, 如图1所示
。
图1
三、工程实例及结构分析比较
(一) 工程概况
某市金三角商城大厦, 占地面积为13200m 2, 总建筑面积为36150m 2。主楼地面以上24层(包括塔楼2层, 设备层1层) , 地面以下1层, 裙房及临街商业楼为3～5层。主楼总高度为81. 3m , 地下室一层高度为4. 5m 。首层, 标准层和剖面、立面见图2所示。其主楼主要用于宾馆、办公及商场等(见表1) 。根据工程地质勘探报告所提供的数据, 地基为Ⅱ类场地土, 地震设防烈度为7度, 基本风压W 0=0. 35kPa , 基本雪压S 0=0. 41kPa 。
主楼结构采用钢筋混凝土芯筒-框架结构体系。这种结构体系的特点是, 将所有服务性用房和公用设施都集中布置于楼层平面的核心部位。在楼层中心形成一个较大服务性面积, 沿着该服务面积的周围设置钢筋混凝土墙体, 因而在楼层平面中心形成一个体量较大的竖向墙筒, 即所谓的芯筒。芯筒是一个立体构件, 具有很大的抗推刚度和强度, 可以作为结构的主要抗侧力构件, 承担绝大部分的水平荷载。在楼层平面的外围, 可以设置主要是承担重力荷载的框架, 从而形成一个由筒和框架共同组成的芯筒-框架结构体系。结构主要构件尺寸及材料见表2。
图2
主楼用途概况
层次层高(m ) 用途
地下室4. 5变配电房
空调机房
1～3层4. 8商场、餐厅舞厅、洽谈
4～11层3. 3客房
12～22层3. 3办公
23层4. 0音响机房
表1
24层4. 0电梯机房
层次混凝土强度
柱梁墙
-1～3层C401000×1000300×800
400×600350
主要构件尺寸及材料强度(尺寸单位:mm )
4～5层C40900×900300×800400×600300
6～7层C40800×800300×800400×600300
8～13层C35800×800300×800400×600300
14～15层C35700×700300×800400×600250
表2
16～24层C30700×700300×800400×600250
各层楼板均采用现浇钢筋混凝土板, 各层板厚见表3。
各层楼板厚度
各层顶板板厚(mm )
地下室200
1～2层100
3层120
4～11层100
12层120
13～21层100
22层120
23～24层150
表3
芯筒板120
(二) 计算结果分析与比较
在地震反应时程分析中选用El Centro (NS ) 波(图3) 作为输入波, 其输入地面最大加速度峰值为35g , 场地特征周期T g =0. 3s 。在确定加速度峰值后, 各时刻地震波的幅值可按下式进行调整:
α′(t ) A ′max
·α(t ) A max
(17)
式中 α(t ) 、A max ———分别为所选用地震波原始记录的加速度幅值及峰值;
A ′——为选定的加速度峰值; max —α′(t ) ———为调整后的地震波幅值。
在结构时程分析时, 为了便于计算机程序中实现, 假定阻尼与刚度、质量都有关, 即
[C ]=α[M ]+β[K ]
式中α和β可按下式进行计算:
α=2ωi ωj (ξj ωi -ξi ωj ) /(ωi -ωj ) β=2(ξi ωi -ξj ωj ) /(ωi -ωj )
其中ξi 、ξj 和ωi 、ωj 分别为第i 、j 振型的阻尼比和频率。这里, i 、j 取第一、二振型。
表4给出了按三种不同的计算方法所得出的顶点位移、层间位移的最大值。
我们可以从表4中看出, 按三种计算方法所计算出的顶点位移Δ及层间位移δ均满足Δ/H
465100200
3-91中的限制。从而体现了结构在大震情况下不倒的抗震原则。
2
2
2
2
(18) (19)
结构整体水平位移最大值
方 法
方 向X Y X Y X Y
顶点位移Δ(mm ) 34. 6828. 3934. 4218. 8736. 7626. 12
层间位移δ(mm ) 1. 8
1. 72. 271. 053. 553. 32
Δ/H 1/2344
1/28641/23621/43081/22121/3113
δ/h 1/18331/23531/17621/3810
1/9301/1205
表4
TBDYNA 振型叠加法状态空间法
为了更好地反映在地震作用下结构的变形状况, 图4、5、6给出了各楼层的位移、层间位移角、顶层位移时程曲线。
图6中的结果比较主要是以动力位移最大值来考虑的, 以便在设计时检查顶层的最大反应是否超过规范允许值。由于采用状态空间迭代法进行结构分析时, 仅考虑X 方向或Y 方向的结构抗侧移刚度效应的影响, 没有考虑扭转效应的影响。而其它两种计算方法是考虑扭转效应的影
响。因而, 结构抗侧移刚度[K ]有差别, 所以, 阻尼矩阵[C ]=α[M ]+β[K ]也有所不同。这样就使得相位有所差别。其次, 由于文中算例未考虑扭转效应的影响, 因此, 计算结果比其它两种算法稍大些。但从图6中的动力位移最大值结果看, 三种方法所计算出的动力位移最大值还是比较接近的。
因此, 按状态空间迭代法一套计算理论分析高层结构的时程动力响应问题是一种十分有效、可靠的计算方法, 完全能满足工程设计的要求。
图3 El Centro 波(NS )
图4 各层位移变化图
图5 层间位移
角变化图
图6 顶层位移时程曲线图
四、结 束 语
采用状态空间法理论来分析高层建筑结构的动力时程响应问题, 有以下几点特色:(一) 对于动力问题, 取位移与速度为状态变量, 建立的状态方程是一阶常系数微分方程
组。而其他计算方法是以动力位移为基本未知函数, 其动力方程为二阶常系数微分方程组。
(二) 状态方程直接积分, 为指数矩阵的计算, 动力响应量即状态变量的计算。
(三) 状态空间迭代法, 不需要求解线性方程组, 不作矩阵求逆运算, 也不作降价解耦处理, 只做矩阵相乘运算。而传统计算方法, 如线性加速度法, Wilson -θ法, New mark -β法等, 需要求解线性方程组或进行矩阵求逆运算。
(四) 状态空间法可采用精细积分法, 因而能使用并行算法, 提高计算精度和效率。(五) 能计算多输入、多输出、非线性等问题。
把现代控制论中的状态空间理论用于高层建筑结构动力时程响应分析中, 是我们的一种尝试, 仍有许多问题有待于进一步深入研究和探讨。
陈荣毅同志参加了数值计算工作, 在此向他表示感谢。
参 考 文 献
[1] M ·诺顿著, 杨志坚译:现代控制理论, 科学出版社, 1979年。
[2] (美) L . K , 蒂莫西, B . E 博纳著, 胡跃训, 刘颖译:状态空间分析导论, 高等教育出版社, 1985年。[3] 钟万勰等:计算结构力学与最优控制, 大连理工大学出版社, 1993年。[4] 沈鹏程著:多变量样条有限元法, 科学出版社, 1997年。
[5] 中国建筑科学研究院主编:高层建筑结构设计, 科学出版社, 1982年。[6] 何广乾、陈祥福、徐至钧主编:高层建筑设计与施工, 科学出版社, 1992年。[7] 包世华、方鄂华:高层建筑结构设计, 清华大学出版社, 1990年。
[8] 沈小璞:SAP84有限元法软件在复杂高层剪力墙结构动静力分析问题上的应用, 工程力学, 第4卷第1
期, 1987年。
[9] 沈小璞, 李其成:空间框架结构考虑弹性楼板变形的动力分析, 土木工程学报, 第24卷第2期, 1991年。
State Space Iteration M ethod for A nalysis of Dy namic
Time History Response of Tall Building S tructures
Shen Xiaopu Xiao Zhuo (Anhui Institute of Architecture )
Abstract
In this paper , the state space method in modern control theory has been presented with the state space iteration method used for the analy sis of dynamic response of tall building structures . Based on the dynamic equations of structures , the state equations are derived by introducing dis -placements and velocities as state vecto rs , the solution of non -homogeneous equation being given by the iteration com puting scheme . Throug h an exam ple in practical engineering , the state space iteration method is used for analysis of dy namic time history response of structures , and the com -puting results show that the state space iteration method has better accuracy w ith especially
higher efficiency for multi -input and multi -output of multi -degree of freedom system .
Key words :state space iteration method , tall building structure , dynamic response , dy namic
time histo ry analysis