行列式的应用

摘 要

行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。

关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何

The Application of The Determinant

Abstract

The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects.

Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

目 录

一、引 言 .......................................................... 1

(一)研究背景与问题 .............................................. 1 （二)文献综述 ................................................... 1 （三)研究意义 ................................................... 2 （四)研究目标 ................................................... 2 二、行列式理论研究 ................................................. 2

（一）行列式理论发展史 .......................................... 3 （二）行列式的现代理论 .......................................... 4

1.行列式的一些基本性质....................................... 5 2.行列式的展开............................................... 6

三、行列式在线性方程组中的应用 ..................................... 7 四、行列式在中学几何领域的应用 ..................................... 9

（一）应用行列式解决空间几何问题 ................................ 9 （二）行列式在平面几何中的应用 ................................. 13 （三）行列式在解析几何中的应用 ................................. 15 五、行列式在中学代数领域中的应用 .................................. 18

（一）应用行列式分解因式 ....................................... 18 （二）应用行列式解决代数不等式问题 ............................. 19 （三）应用行列式求解方程 ....................................... 21 （四）应用行列式分母有理化 ..................................... 23 六、结束语 ........................................................ 24 致 谢 .......................................... 错误！未定义书签。 参考文献 .......................................................... 24

一、引 言

(一)研究背景与问题

行列式起源于解二、三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的范围、成为研究数学领域各分支的基本工具。不管是在高等数学领域里的高深理论,还是在现实生活中的实际性问题,都或多或少的与行列式有着直者间接的联系。其中有些问题都依赖于行列式来解决。归根结底这些问题的研究,也就是行列式在某些方面的研究。行列式是高等数学领域中的一个极其重要的组成部分,同时也使得行列式成为高等代数的一个重要的研究对象。

高等数学应该重视学生数学思维能力的培养，重视数学思想和方法的形成过程，让学生既学习数学知识又学习数学思想，学习用数学知识和思想表达与解现实世界一般问题的方法和技能。

因此，关于数学思想展开的研究，尤其是行列式的重要思想在线性方程组和中学数学中的应用进行的研究就显得更加重要。本文主要研究行列式理论在线性方程组和中学数学代数领域及几何领域中的应用[1]。

（二)文献综述

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，十七世纪，日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨几乎是同时提出的。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论得到了进一步发展和完善。行列式的主要应用就是解线性方程组。

19 世纪末，现代国际教育的奠基人菲利克斯·克莱因主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系。高等数学的方法，可以和中学数学相通，也可以迁移到中学数学中。高等数学的思想、方法不仅可以帮助我们从更高的层面上理解初等数学问题，确定解题思路，还能帮助我们进一步探索初等问题的实质，寻求更简捷的解决问题的方法。 21 世纪以来，国内相继展开关于高等代数应用的研究，很多人相继撰写了相关文章，通过例子说明了高等代数作为一种工具在线性方程组和解

析几何以及中学数学中的一些应用。行列式作为高等代数中的一个重要概念，对线性方程组和解析几何以及中学数学领域中的很多问题的解决提供了很好的解决方法，它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光来看数学问题。本文将针对行列式在线性方程组和中学数学中的应用而展开讨论。

（三)研究意义

不管是在高等数学领域里的高深理论,还是在现实生活中的实际性问题,都或多或少的与行列式有着直接或者间接的联系。甚至还有好多问题都与行列式是紧密相关的。这一切表明行列式是高等数学领域中的一个极其重要的组成部分。本文通过分析行列式的应用从而了解到无论是线性方程组,还是在中学数学,行列式作为最基本的数学工具之一,都有着非常重要的应用。

（四)研究目标

通过对行列式的理论进行研究，进一步提出行列式作为一种工具来解决线性方程组以及中学数学中的问题，并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散、联想思维。行列式的应用让学生对高等代数产生兴趣，更重要的是使学生认识到数学的每一个分支都是一种工具，而且各分支之间是有联系的，体会知识的融会贯通，同时培养学生数学知识的迁移能力。

二、行列式理论研究

行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的。日本著名的“算圣”关孝和在1683 年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法。与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元入手对这一概念进行阐述。行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念。

（一）行列式理论发展史

1683 年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了22,33乃至55的行列式，行列式被用来求解高次方组。1693 年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行式中元素的位置：i j代表第 i 行第 j 列。

1730 年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式[2]。

1750 年，瑞士的加布里尔·克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。

此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764 年，法国的艾蒂安·裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德在 1771 年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对列式本身进行研究。

1772 年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773 年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日了 33列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

行列式被称为“determinant”最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。

十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁·路易·柯西在 1812 年首次将“determinant”一词用来示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯

西还证明了曾经在雅克菲利普·玛利·比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。

（二）行列式的现代理论

定义 1 由 1,2,3,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序，2431的逆 序数就是4。而 45321 的逆序数是 9。排列j1,j2,j3,jn的逆序数记为(j1,j2,j3jn)。

定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例如,2431 是偶排列,45321 是奇排列,1 2n的逆序数是零,因而是偶排列[3]。

定义 4 n级行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1j1,a2j2anjn



的代数和,这里j1j2jn是 1,2,,n的一个排列,每一项(*)都按下列规则带有符号:当j1j2jn是偶排列时,(*)带正号,当j1j2jn是奇排列时,(*)带负号。

这一定义可写成

这里

j1j2jn



表示对所有n级排列求和。

1.行列式的一些基本性质

(1)在行列式中，一行（列）元素全为 0，则此行列式的值为 0。

(2)在行列式中，某一行（列）有公因子 k，则可以提出 k。

(3)在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。

(4)行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。

(5)在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。

(6)将一行（列）的 k 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。

注意：一行（列）的 k 倍加上另一行（列），行列式的值改变。

(7)行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。 (8)det( AB )= det(A)det(B)。特别的，若将矩阵中每一行每一列上的数都乘以一个常数r ，那么所得到的行列式不是原来的r 倍，而是r倍。 det( rA)=det(rIn.A)=det(rIn).det(A)rdet(A)。

2.行列式的展开 （1）余因式：

又称“余子式”、“余因子”。对一个n阶的行列式

M ，去掉M 的第i行第j 列后形成的 n-1阶的行列式叫做 M 关于元素

m1,1

的余因式。记作M11

（2）代数余子式

M关于元素mij的代数余子式记作cij，cij=1（3）行列式关于行和列的展开

一个n阶的行列式M 可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。

detM=mi,jci,j

i1n

ij

mij。

detMmi,jci,j

j1

n

三、行列式在线性方程组中的应用

在线性代数教材中，行列式一般处在第一章，但是行列式的应用贯穿在整个线性代数中，在线性代数的教学中处在非常重要的地位．下面介绍行列式在线性方程组中的应用[4]。

例1 求解线性方程组 AX = b，其中 A 为 n 阶方阵且可逆，

x1b1xb

X=2，b=2

xbnn

因为 A 可逆，所以

B1



b1A11b2A21bnAnnAB

1b1A12b2A22bnAn22A1

b=X=Ab==A AA

bAbAbA

nnnBn11n22n

A

所以线性方程组的解为 xi

BiA

,其中Bib1A1ib2A2ibnAni，即Bi为

矩阵A 中第 i 列被向量 b 代替后得到的矩阵． 这就是 Cramer 法则，由上面推导过程显然还可以得到这时线性方程组的解是唯一确定的。

a1xb1yc1例2 当方程组中D0时,两个方程a1xb1yc1,a2xb2yc2

axbyc222表示的两条直线L1和L2相交,方程组有唯一解；

当D0，且Dx,Dy中至少有一个不等于零时,表示直线L1与L2平行,方程组无解；

当DDxDy时,表示直线L1与L2重合,方程组有无数组解。

a1xb1yc1zd1



对于三元一次方程组a2xb2yc2zd2的求解,可以把它与三阶行列式对

axbyczd

2232应地联系起来。

当系数行列式D0时,方程组有唯一解x

DyDxD

,y,zz； DDD

当D0,且Dx,Dy,Dz中至少有一个不等于零时,方程组无解； 当DDxDyD0时,方程组有无数组解。

a1x2yz0



例3 考虑方程组xay20的解。这个方程组显然有解

a1yz0

x0,y0,z0,问a为何值时，方程组有非零解。

解：考虑系数行列式D，若D0则方程组有唯一零解。所以方程组 要有非零解必定有系数行列式D0

a1

2aa1

1

a1a10

1

1

a2a11a2a13a a110a11

而D1

02110

从而D0解仅为a1或a3;经过检验得a1或a3时方

程组有非零解。

说明:事实上我们把常数项为零的线性方程叫做齐次线性方程组, 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式D0。

四、行列式在中学几何领域的应用

行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修 4

—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何三个方面探究行列式在中学几何领域中的应用[5]。

（一）应用行列式解决空间几何问题

中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深

刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。

定义 1：两个向量与的外积仍是一个向量，它的长度规定为



,它的方向规定为：与均垂直，并且使



(a,b,ab)成右手系，即当右手四指从弯向（转角小于90度 ）时，

拇指的指向就是ab的方向，向量的外积亦称向量积。



定义 2：设 a,b,c是 3 个向量，称（ab）c为这三个向量的混合积。（ab）c可记作(a,b,c)。

 在直角坐标计算向量的外积和混合积：设[o,i,j,k]是一个右手直角标



架，a,b,c在其中的坐标分别是(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)(c1,c2,c3),则

a2

（ab）=b

2

a3a3

,b3b3a1a1

,b1b1a2b2

 

a1b1c1



a,b,c=（ab）c=a2b2c2

a3b3c3

例 1 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为 1， M 点是棱AA 的中点，点 O是对角线BD 的中点。

(1)求证：OM 为异面直线AA 和BD 的公垂线; (2)求二面角M-BC-B的大小;

(3)求三棱锥 M-OBC的体积。 解：以点D为坐标原点，建立如图所示的

A’

DB’

D

C’

C

A

B

空间直角坐标系 D-xyz则

由已知 D( 0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

A(1,0,1),B(1,1,1),D(0,0,1),M(1,0,21),O(21,21,21)；

(1)证明:(21,21,0),(0,0,1),(1,1,1).

0,212100,OMAA,OMBD.

又因为OM 与异面直线AA和BD都相交,所以 OM 为异面直线AA和BD的公垂线。

(2)取平面BBC的一个法向量为n1=(0,1,0),设平面 MBC的法向量为

n2,因为(0,1,21),(1,1,21),所以

2121001

(1,21,1)

n2,,

212111

1

1

cos,由图分析可知,二面角MBC为锐角,故二面

32

1

角MBCB的大小为arccos,

3

(3)因为(21,21,0),(21,21,21),(21,21,21),

1111212121 66424

02121

21

21

21

所以VMOBC

例 2 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知

AB4,AD3,AA12,E,F分别是线段 AB , BC 上的点，且 BE =BF=1，点M , N分别为线段D1C1,CC1的中点。 (1)求证点 M , N,F,Z共面；

(2)求点N 到直线ME 的距离；

(3)求异面直线EC1,FD1的距离。

D1

A1

B1

D

C1 N C

A

E

B

y

如图 6

解：如图 6 所示以 D 为坐标原点建立

空间坐标系 D-xyz，则 D (0,0,0)，C1 (0, 4, 2)

D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),M(0,2,2),N(0,4,1)； (1)ME(3,1,2),MF(2,2,2),MN(0,2,1) 这三个向量的混合积为

3

2

122682120221

显然有这三个向量,,张成的平行六面体体积为 0，故这三个 向量共面，所以四点 M , N,F,Z共面。

(2)，设点 N 到

直线ME 的距离为d ，所以d

211002

(3,3,6) 又,,

122331解得：d

321。 7

(3)设异面直线

EC1,FD1的距离为d1

，易知

EC1(3,1,2),FD1(2,4,2),(1,1,0),所以异面直线EC1,FD1的公垂122331

(10,2,14),异面直线线的方向向量为EC11,,

422224

EC1,FD1的距离为直线EC1上任意一点和直线FD1上任意一点连线在公垂

线的方向向量的投影，

即d



8222142



43

15

（二）行列式在平面几何中的应用

一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题[6]。 例 1 求证：三角形三条中线交于一点。 证明：（方法一：斜坐标法）

B

以 B 为原点，建立斜坐标如图所示，设点 B(0,0),C(2a,0),A(0,2b),由于D,E,F 分别是 BC,AB,AC 边上的中点，从而点 D 为(a,0),E(0,b),F(a,b),

直线 AD 的方程为直线 CE 的方程为(1)-(2)得：

xy

1a2bxy12ab

(3)

(1) (2)

xy02a2b

即 BG 直线所在方程。又由于 F 点坐标为(a,b),显然 F 点坐标满足方程

(3)，即 F点在直线 BG 上。故三角形三条中线交于一点。 证明：（方法二：统一法）

B

A

F

E

C

D

在ABC中，连结 DE,AD,BE,由三角形中位线定理得

DOE与 AOB相似,DOEODE1，

AOBOAB2

DE1

 AB2

DOFODF1

，从而点O与O重合，根据同理，连结 DF,CF,AD,得

AOCOAC2

统一法得，三角形三条中线交于一点。 证明：（方法三：向量法）

C

F

E

令ABa,ACb,连结 CD,BF 交于点 G，C,D,G共线，

(1),2

D

B

(1)(1)

又 B ,G,F共线,

(1)(1).

2

(2)



1,2

由(1),(2)得, 从而



1.22

3.有11. 2333

又

113

,,从而 A,G,E 三点共线，即三角形三条中线222

交于一点。

扩展：应用行列式还可以证明三角形三条高线交于一点，三条角平分线交于一点。

例 2 求证：三角形三条高线交于一点。

A(a,0),B(b,0),(b,c),(a,c)

直线 AD 法向量为 (-b ,c)，且过点 A( a,0),直线 AD 为

-bx+cy+ab=0。

同理，直线 BE 为-ax+cy+ab=0，直线 CF 为 x=0。

将三个直线方程看做是以 x,y,1 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为

cab

acababcabc0,

cab

100bcab

故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于 1 点。

（三）行列式在解析几何中的应用

利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式[7]。

4237

例1 求经过点1,3和4,且焦点在 x轴上的椭圆方程。



x2y2

解:设椭圆方程为211,若点x1,y1和x2,y2在椭圆上,则

ab

1212

xy1022ab2121

x12y110

ab

x21y211022a2b

将其看成关于

11

和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆 a2b2

x2y21y232

10 y120，代值1

92

y2639

1

164

x2

方程可写成x12

2x2

3232

1190 即9x263y2

6399

16

1644

x2y2

1 解得

94

153

例 2 求经过点 (9 ,42)和 ,,且焦点在 x 轴上的双曲线方程。

42x2y2

解:设双曲线方程为211,若点x1,y1和x2,y2在双曲线上,则

ab

1212

xy10a2b22121

x12y110

ab

x21y211022a2b

将其看成关于和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆

x2

方程可写成x12

2x2

x2y21y2y120，代值813210

22592

y21

164

813232122

即9x225y22590

161644

x2y2

1 解得

94

扩展：类比可以给出直线方程，圆的方程，一元二次函数等的行列式形式。

x2y2

1内接三角形 ABC 面积的最大值。 例 3 求椭圆

54

解：不妨设三角形 ABC 的坐标分别为x1,y1,x2,y2,x3,y3，则有

yixi2yi25yi

5,点xi,为圆x2y25上 1i1,2,3，易知：xi22542

2

三点，不妨依次设为A，B，C。

因为S

ABC

x2x1

x3x1

y2y1

y3y1

SABC

x2x1x3x1

y2y12SABC

2y3y12

3SABC所以

24

又在圆里正三角形面积最大，故SABC

x2y231内接三角形 ABC 面积的最大值为即椭圆。

254

五、行列式在中学代数领域中的应用

（一）应用行列式分解因式

应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公因式。

例 1 分解因式x3x2

x2

解：x3x2

x2=x2x1x2

x2

=x2

1x1（第一列乘以 1 加到第二列） x2=x2x2

1x2

=x2x2x11

x2

（提取公因式）

=(x+2)

x2

x1

1

1

=(x+2)(x2x1)

例 2 分解因式x34x2x6 解：原式=x2x41x6

x2x6x2=x121x4=12x2

1x4

=(x-1)1x4=(x-1)(x+2)(x+3)

例 3分解因式x2xy2y22x7y3

解：原式=

x2y2x7y3x1xy

2y13x6y31xy

=(x+2y-1)113

xy

=(x+2y-1)(x-y+3)

例 4 分解因式5x424x315x2118x24 解：原式=x25x224x15259x12

5x224x1559x12

2x22

2x

2





5x224x1510x211x2x2

x24

5x224x155x214x24

2

x4

5x224x1510x9

x2

x2x4

5x224x155x6

1

x2x45x1x3

（二）应用行列式解决代数不等式问题

a3b3c3

abc,其中 a , b, c R 例 1 求证不等式

3a3b3c3

abc，只需证明a3b3c33abc0 证明：要证明

3

abc

a3b3c33abccab（将第二行和第三行分别加到第一行）

bcaabcabcabc

=

cbacba

111

=abccab

bca

abca2b2c2abbcac 1222abcabacbc2





333abc

abc得证。 因为a , b, c R所以abc3abc0,故

3



333

例 2 求证不等式a2b2c2d2acbd

2



证明：a2b2c2d2acbd

2



a2b2acbd=（根据行列式线性性质展开） 22acbdcd



a2

ac

acc2



a2

bd

acd2



b2

ac

bdc2



b2

bd

bdd2

0a2d2abcdb2c2abcd0adbc0

2

即证。

例 3 求证：当xabc时，不等式

xaxbxcabxcbcxa2abc恒成立。

证明:xaxbxcabxcbcxa2abc

xa=a

bc

ax=a

xbc（第二行乘以 1 加到第一行） bxcx

xbc（第三行乘以 1 加到第二行）

abxcx

x

=0

xx（分别从第一行和第二行提取公因式x） abxc1

1

=x20

11 abxc

=x2xabc

所以当xabc时，x2xabc0

故不等式xaxbxcabxcbcxa2abc恒成立。

Aaxbzcy1

例 4：已知Baycxcz2求:

Cazbycx3

a

2

b2c23abcx3y3z33xyz

ab

cxay

yxz

abcxycabz

xbcayz

yxz

zABC



yCAB

xBCA



解：

cb

abzc

A3B3C33ABC18

在上述的例子中所求证的不等式，分别是中学数学教材中介绍的三个正数的算术-几何平均不等式、二维形式的柯西不等式，在此我们给出了它们的行列式证明方法。此外，利用行列式恒等变形的性质也为解决不等式问题提供了新的证明方法和思路。

[8]

（三）应用行列式求解方程

在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题就可以取得事半功倍的效果。

x7x37x9x3



例1 解方程:x7x3x9x3

解：

x7

x37x9x3

7x9x33x7x30



3x7x33x7x32

3x7x3

7x9x3x7

2

7x9x3x7x3x90x3

x9

01

x97x9x3

即2x3

x71

2x33x77x90x30或x77x90

解得： x=3， x=4。 例 2 已知反比例函数y

6

和一元二次函数yx24x1，求在实数域内 x

它们的交点所构成的图形的面积。 解：由已知得

6

x24x1，即x34x2x60 x

x34x2x6x2x41x6 x2x6

（第一列乘以 1 加到第二列） 

1x4x2x2x6= 1x3x2=1

x3x2提取公因式)

x3x21

x21

x3

x3x2x1所以x11,x22,x31

在实数域内有三个交点且分别设为 A，B和 C。易知 A(-3,-2), B (-2,-3), C (1,6),即 AB=(1,-1), AC=(4,8)。所以这三个交点构成的三角形面积为

:

SABC

114

6218

（四）应用行列式分母有理化

将形如

1

a0a1ca2c

2

的分式有理化（其中a0，a1，a2，cQ），显然

直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前 N 项和的方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法[9]。一般地，不妨设Sa0a1ca2c2

1

即将有理化，分别用cc2去乘 S，得到：

s

sa0a1ca2c2

csa2ca0a1c2c2sa1a2ca0c2

2

a0sa1a2c0变形为：

ac

ac

1

2

csa0ca1c20c2sa2ca0c20





将其看成关于 1，c,c2的齐次线性方程组，有非0解，故系数行列式 等于0，即：

a0sa2cs

1a1a0

a2

a0a1ca2a1

a1a0

a2a1s

1cc2

a1a0a2

a2a10a0

a1a2ca1a0

a1cc2sa2ca0a2ca0

c

c21



a0s

a2c

a1c

a0a1a2

a2ca0

a2ca0a1Q

a1a2acaca120aa

1

a2ca0

例 1 将

1

分母有理化。 1224

11211

1解：代值求得1224=

2

441334732



[1**********]

六、结束语

本论文研究了行列式在不同方面的应用，主要结论如下： (1)行列式在线性方程组中的应用。 (2)行列式在中学几何领域中的应用。 (3)行列式在中学代数领域中的应用。

由行列式在线性方程组中的应用可知，行列式的定义和线性方程组的求解是分不开的。解线性方程组是行列式的一个主要的应用。在线性方程组理论中，涉及到许多问题，行列式是能够起到关键的作用的，若能够熟练有效的运用行列式，对于我们最终解决问题会有直接的帮助。

由行列式在中学数学中的应用可知，随着新课程的开展,高等数学的思想方法在高中数学中渗透越来越深。行列式作为高等代数中的一个重要理论与重要工具,从更高的角度研究高中数学中的问题,将使学生从中学的解题思维定势中解放出来,用更广阔的眼光看中学数学问题。行列式在中学代数与几何两个方面的应用,将高中数学知识融会贯通,同时发展学生发散思维,培养学生知识的迁移能力。

参考文献

[1]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D]:［硕士学位论文］.内蒙古：内蒙古师范大学，2008.

[2]刘金山,吴明芬.线性代数解题方法.广州:华南理工大学出版社,2000(6). [3]许仲.线性代数典型题分析解集.西安:西北工业大学出版社,2000.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社,2003.

[5]朱荣坤.高等代数观点下的中学数学问题研究[J.集美大学学报,2009,10(4).

[6]夏师.高等代数在中学数学的一些应用[J].广西右江民族师专学报,2002,15(3). [7]李云杰.“高观点”下的中学数学的实践与认识[D]:［硕士学位论文］.福建：福建师范大学，2005.

[9]Xu Junqin, Zhao Likuan.An Application of the Vandermonde Determinant[J]. International Journal of Mathematical Education in Science & Technology, v37 n2p229-231 Mar 2006. 3pp.

[10]Berliner,AdamH.Determinants,permanents,and the enumeration of forest-partitions[J].Dissertation Abstracts International.2009.