曲线运动中的"化曲为直"法及其应用条件

　　中学物理2013年3月第31卷第05期上的论文：“化曲为直”在解决曲线运动问题时的应用，介绍了如何利用“化曲为直”的思想方法，解决曲线运动问题，读后深受启法，但对文中的有些说法，有不同看法，借此机会，谈谈自己的一孔之见，以期达到抛砖引玉之效. 　　1何谓“化曲为直”法？ 　　小学数学中，介绍了用绕线的方法测量圆柱周长，等效于把圆柱周长展开拉直，进行长度测量的方法.从物理学的角度看，就是运用直线运动的知识，处理曲线运动问题.目前，部分人认为，运用运动的合成与分解的方法来研究曲线运动，把曲线运动看成两个方向上的直线运动的合成，就是“化曲为直”法，笔者认为这种看法比较牵强附会.“化曲为直”法，更多体现在微元思想中，它是将曲线运动过程进行无限细分（化曲为直），从其中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究过程变化规律的一种思想方法.例如：研究物体在水平力作用下，绕水平圆周运动一周的过程中，滑动摩擦力对物体做功问题.我们可以在圆周上取一微小圆弧，由于过程足够短，该圆弧可以看成直线（类似于在地球表面取一足够小范围，球面变为平面），在发生这一微小位移的过程中，物体所受滑动摩擦力的方向与该位移方向相反，先求出滑动摩擦力在这微小位移的过程中所做的功，再求各小段做功的代数和，即为全过程的总功，很容易得出W=-2πRf动. 　　2在解决曲线运动问题时，是否一切曲线运动问题都可以用“化曲为直”的方法去解决？ 　　2.1物体做直线运动和曲线运动的条件不同 　　本文把物体运动速度方向设为x方向，与运动速度垂直的方向设为y方向.我们知道，物体做曲线运动的条件是：运动物体所受合力与运动方向不在同一直线上.对于一般曲线运动，可以分为很多小段，每一小段都可以看成圆周运动的一部分.因此，我们可以说：曲线运动需要向心力，物体做曲线运动的条件还能理解为：x方向可以不受力（速率不变时），y方向一定受力作用，提供向心力！例如：平抛运动中，物体在某位置的向心力可由重力在y方向上的分力提供，如图1所示.当物体做直线运动时，不管它有没有加速度，在y方向上，它没有发生位移，必然受力平衡，即y方向上合力为零.也就是说，物体做直线运动的条件是：与物体运动垂直的方向上合力为零. 　　2.2“化曲为直”影响了y方向上力的分析 　　如图2所示，物块沿竖直放置的圆弧轨道运动，从圆周运动的角度考虑，物块经过某位置时，轨道对它的支持力FN与重力在y方向上的分力Gy合力提供向心力，显然，FN大于Gy.如果把该位置附近的一小段圆弧处理成直线（一小段斜面），显然得到FN等于Gy！ 　　2.3处理曲线运动问题时，y方向上的力，不影响所研究的问题，“化曲为直”的方法才可用！ 　　例1如图3所示，用一根长L光滑铁丝，绕成一个形状规则、高为h的弹簧，弹簧的中心轴线保持竖直.在铁丝上套一个小球，无初速释放，求小球运动到弹簧底部的时间t？（不考虑弹簧形变） 　　分析与解由于弹簧的形状规则，任取弹簧上的一小段，都可视为倾角为θ的光滑斜面，小球在每一小段上的加速度只由重力沿斜面向下的分力提供，都是a=gsinθ，对小球运动的全过程，相当于小球沿图4所示的光滑斜面运动（化曲为直），直接用匀变速运动的规律即可求出小球运动到弹簧底部的时间.本题中，若铁丝不光滑，它与小球间的动摩擦因数为μ，则不可用上述方法求解，因为小球沿弹簧运动时，做的是曲线运动，在每一小段圆弧上，轨道对它的弹力随其速度大小的增大而增大（需要的向心力变大），故而引起小球受到的滑动摩擦力不断变大，小球运动的加速度不断变小. 　　例2如图5所示，在滑雪场有两个不同的滑道AB和AB′分别与水平滑道相连，AB为斜面，AB′为曲面，它们与水平滑道之间均可视为平滑相连.甲、乙两名质量相同的滑雪者分别乘两个完全相同的雪橇从A点由静止出发沿AB和AB′滑下，最后都能停在水平滑道上.设雪橇和滑道间的动摩擦因数处处相同，滑雪者保持一定姿势坐在雪橇上不动，下列说法中正确的是 　　A.甲在B′点的速率等于乙在B′点的速率 　　B.甲在B′点的速率大于乙在B′点的速率 　　C.甲全部滑行过程的水平位移等于乙全部滑行过程的水平位移 　　D.甲全部滑行过程的水平位移一定比乙全部滑行过程的水平位移小 　　分析与解物体沿倾角为θ的斜面向下滑动，在发生L位移的过程中，滑动摩擦力对它做的功Wf=-μmgLcosθ.显然，甲沿斜面从A运动到B，再由B运动到B′点，滑动摩擦力对它做的功，等效于物体沿同材料的水平面从O运动到B′点，滑动摩擦力对它做的功.若将曲面A B′分割成若干小段，忽视其曲线运动的特点，错误地处理成一个个折线（斜面），也会得到上述结论，甲乙都运动到B′点，重力做功相同，从而错选A、C.如果我们注意到“化曲为直”的条件，物体沿曲面A B′运动，经过某位置时（设切线倾角为θ），由于需要向心力，实际受到的弹力大于mgcosθ，故物体在该处受到的滑动摩擦力比处理成斜面时大，与之相应的过程，滑动摩擦力对物体做的负功多，本题正确答案为B.