中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
中考数学几何图形旋转典型试题
一、填空题
1. （日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于 ．
2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm ，∠B＝60°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB 向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm ．
3. （连云港市）正△ABC的边长为3cm ，边长为1cm 的正△RPQ的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将△RPQ沿着边AB ，BC ，CA 顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为 cm ．
4. （泰州市）如图4，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD ＝2，BC ＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE ，CE ，则△ADE的面积是 ．
二、解答题
5. （资阳市）如图5-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合) ，PE⊥BC于点E ，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图5-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6. （武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA ，将线段OA 平移至CB 处，得到风车的第一个叶片F 1，然后将第一个叶片OABC 绕点O 逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2，再将F 1、F 2同时绕点O 逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4. 根据以上过程，解答下列问题：
(1)若点A 的坐标为(4，0) ，点C 的坐标为(2，1) ，写出此时点B 的坐标；
(2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2；
(3)在(1)的条件下，连接OB ，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB 扫过的图形面积是多少？
7. 如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，„，OP n （n 为正整数）.
（1）求点P 6的坐标；（2）求△P5OP 6的面积；
（3）我们规定：把点P n (xn ,y n ) （n=0,1,2,3,„）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|xn |,|yn |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来．
8. （台州市）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图8）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
9. （浙江省）如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图9－2）， 量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图9－3至图9－6中统一用F 表示）
图9－1 图9－2 图9－3
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图9－3中的△ABF沿BD 向右平移到图9－4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图9－3中的△ABF绕点F 顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；
（3）将图9－3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图9－6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦
DH.
图9－4 图9－5 图9－6
参考答案
一、1.
二、 2. 6－2 3.2π 4.1
5. 解：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
（2）不是总成立 .
当四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，点P 旋转到BC 边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立.
（3）连接BE 、DF ，则BE 与DF 始终相等.
在图1-1中，可证四边形PECF 为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .
从而有 BE=DF .
6. 解：（1）B （6,1）
（2）图略
（3）线段OB 扫过的图形是一个半圆. 过B 作BD⊥x轴于D. 由（1）知B 点坐标为（6,1），∴OB＝OD ＋BD ＝6＋1＝37.∴线段OB 扫过的图形面积是22222.
7. 解：（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终
6等于前一个点到原点距离的 倍，故其坐标为P 6(0,2) ，即P 6(0,64)．
（2）由已知可得，
△P0OP 1∽△P1OP 2∽„∽△Pn-1OP n ，
设P 1(x1,y 1) ，则y 1=2sin45°=,∴.
又∵
,
∴.
（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n.
①当n=8k或n=8k+4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐
n 标为(2,0) ；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，
此时，点P n 的绝对坐标为，即.
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对
n 坐标为(0,2) ．
8. 解：HG ＝HB ．
证法1：连结AH （如图10）.
∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形，
∴∠B＝∠G＝90°．
由题意，知AG ＝AB ，又AH ＝AH ，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL ）.
∴HG=HB．
证法2：连结GB （如图11）．
∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形，
∴∠ABC＝∠AGF＝90°．
由题意知AB ＝AG ．
∴∠AGB＝∠ABG．
∴∠HGB＝∠HBG．
∴HG＝HB ．
9. 解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长.
∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm ，∠BAC=30°，∴BC=5cm. ∴平移的距离为5cm ．（2分）
（2）∵∠A1FA ＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°， ∴∠FGD＝90°．
在Rt△EFD中，ED=10 cm，∴ .
∵FG＝cm ．
（3）在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°. ∵FD＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，
∴FD－FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1．
又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS ）． ∴AH＝DH.