第一章 晶体结构和倒格子
第一章 晶体结构和倒格子
1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅
（6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂
2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为
→→→a →a →a 1=(i +j a 2=(-i +j 22→
求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。
b 、c 构成简单正交系，证明。晶面族（h 、k 、l ）的面间距为 4. 若轴矢a 、
d hkl =2→→→1 h 2k 2l 2() +() +()
5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为θ=19.20 求面间距d 111。
6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的；
2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；
7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。
8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。
10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m, 求最小的布拉格衍射角。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s
第二章 晶体结合
1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成
U (r ) =-a b + r m r n
(1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；
(2) 平衡时的二原子间的互作用能；
(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å, 仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；
（4） 若把互作用势中排斥项b/rn 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作
用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。
⎡B αe 2⎤2. N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 U (R ) =N ⎢n -⎥ 4πε0R ⎦⎣R
(1) 证明平衡原子间距为 R 0n -1=4πε0B n αe 2
αNe 21(2) 证明平衡时的互作用势能为 U (R 0) =-(1-) 4πε0R 0n
(3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75
3．如果把晶体的体积写成 V ＝N βR 3式中N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；
β是结构因子，试求下列结构的β值
(1) fcc (2) bcc (3) Nacl (4) 金刚石
4．证明：由两种离子组成的，间矩为R 0的一维晶格的马德隆常数α＝ ln 2 .
第三章 晶格振动
1. 设有一双子链最近邻原子间的力常数为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，
求在q=0,q=π处的ω(q).并定性画出色散曲线。 a
m β m 10β m β m
2. 设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有ωi (q)=ω0－Aq 2（A >0），求证光学波频
3(s -1)
率分布函数(格波密度函数) 为：g(ω)=∑i =1(ω0-ωi ) V 4π2A ωi ≤ω0
ωi >ω0 g(ω)=0
3．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
4． 试用平均声子数n ＝（e ω-1) -1证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为
T 3) 。 Q D KT ；当T
5．对于金刚石、Zns 、单晶硅、金属Cu 、一维三原子晶格，分别写出
(1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数
(3).格波支数; (4). 声学波支数
(5).光学波支数
6．证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T .
7．NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K 和230K 。KCl 在5K 时的
定容热容量为3.8×10-2J . mol -1.K -1，试计算NaCl 在5K 和KCl 在2K 时的定容热容量。 8. 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M ，若在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第n 个原子与第n+m和第n －m 个原子间的恢复力系数为βm , 试求格波的色散关系。
9. 求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。
提示：仍作近邻近似和简谐近似。
设原子编号为：0，1，2，3，4, ······(表面原子为n=0)
第四章 晶体缺陷
1. 设U f 为费仑克尔缺陷形成能证明在温度T 时，达到热平衡的晶体中费仑克尔缺陷的数目为：
n f ＝NN e 1-u f k b t 式中N 和N 分别为晶体的原子格点总数和间隙位置数。 ‘
2. 已知某晶体肖特基缺陷的形成能是1ev ，问温度从T ＝290K 到T ＝1000K 时，肖特基缺 陷
增大多少倍？
3. 已知铜金属的密度为8.93g/cm3，原子量为63.54，它在1000K 及700K 时自扩散系数分
－别为1.65×10-11及3.43×1015 cm 2/s，又知空位邻近的原子跳入空位必须克服的势垒高
度为0.8ev 。
试求 (1) 1000K及700K 的铜金属中的空位浓度，(设自扩散完全由空位机制所引起) 。
(2) 已知形成一个填隙原子所需要的能量约为4ev ，结算接近熔点1300K 时填隙原子的浓度及空位的浓度。
4. 求体心立方、面心立方 六角密集三种晶体的伯格斯矢量的浓度和方向。
5. 已知余误差函数erf(Z)在Z 很小时，（Z
1300 ℃的铝蒸汽中，使铝扩散进入硅片。如果要求硅片距表面的0.01cm 深处的浓度是表面浓度的35%,问扩散需多长的时间？铝在硅中的扩散系数由题图4－1给出。
第五章 金属自由电子论
1．电子在每边长为L 的方盒子中运动，试用索末菲量子自由电子模型和周期性边界条件求出它的最低的四个能级的所有波函数，绘出这四个能级的能量和简并度
2．限制在边长为二维正方行势阱中的N 个自由电子，电子能量为（与第六章16题相同）
试求：（1）能量从E ＋dE 之间的状态数;
（2）T ＝0时费米能量的表示式.
3. 试证元胞是正方形的二维晶格第一布里渊区顶角上的自由电子动能比区边中点处大一倍，对于简立方晶体，相应的倍数是多少？
4. 试估算在温度T 时，金属中被热激发到达高能态的电子数目所占全部电子数的比例，
5．证明费米能级E f 处的电子态密度可以写为 D （E ）＝3N 0/2Ef , 其中N 0为价电子数。
6．已知银是单价金属，费米面近似为球形，银的密度ρm ＝10.5×103kg .m-3原子量A ＝107.87,
电阻率在295K 时为1.61×10-8Ω·m ，在20K 时为0.0038×10-8Ω·m., 试计算
（1）费米能，费米温度和费米速度；
（2）费米球的半径和费米球的最大截面积；
（3）室温下和绝对零度附近电子平均自由时间和平均自由程.
-37. 已知锂的密度为0.534×103kg ·m , 德拜温度为344k ，试求
（1）室温下电子比热
（2）在什么温度下电子比热和晶格比热有相同值？
8. 在低温下金属钾的摩尔比热的实验结果可写为
3 Cv ＝2.08T ＋2.57T mJ/mol·K
23若有一个摩尔钾有N v ＝6×10个电子，试求钾的费米温度和德拜温度θD
9．试用里查逊公式证明：两种金属的接触电势差V 1-V 2＝1/e（ΦⅠ－ΦⅡ）其中ΦⅠ、ΦⅡ分
别为两种金属的功函数。
第六章 固体能带论
1． 在最近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S 能带
（1） . 计算E s ～k 关系；
（2） . 求能带宽度；
（3） . 讨论在第一B ·Z 中心附近等能面的形状。
注：CosX=1－X 2/(2！) + X4/(4！) －……
2． 在最近邻近似下，用紧束缚近似导出面心立方晶体S 能带的E s (k ) ，并计算能带宽度。
3．利用一维Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量取极值。
4．利用布洛赫定理，ψK (x+nα)=ψK (x)eikna 的形式，针对一维周期势场中的电子波函数。 →→
π(1) ψK (x)=sinx a
8(2) ψK (x)＝icos πx a
(3) ψK (x)=
l =-∞∑∞f(x-la) (f为某一确定函数)
求电子在这些状态的波矢k(a为晶格常数)
1 275．已知一维晶体的电子能带可写成 E(k)=(－coska+cos2ka) 288m a
其中a 为晶格常数，求（1）能带宽度；
（2）电子在波矢k 状态的速度；
（3）带顶和带底的电子有效质量。
6. 证明面心立方晶体S 电子能带E （k ）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为：
(1) 沿ΓX （k y =kz =0, kx =2πδ／a ，０≤δ≤1）
E=Es a －A －4B （1＋2cos δπ）
(2) 沿ΓL （k x =ky =kz = 2πδ／a ，０≤δ≤1/2）
E=Es a －A －12Bcos 2δπ
(2) 沿ΓK （k z =0, kx = ky =2πδ／a ，０≤δ≤3/4）
E=Es a －A －4B （cos 2δπ＋2cos δπ）
(4) 沿ΓW （k z =0, kx =2πδ／a ，k y =πδ／a ，０≤δ≤1）
E=Es a －A －4B （cos δπ× cos δπ/2－cos δπ－cos δπ/2）
7． 一维晶格中波矢取值为n ·2 π/L，证明单位长度的晶体中电子态密度为
D(E)=2
π dk dE
→8． 由索未菲自由电子模型，证明在k 空间费米球半径为：k f =(3π2n) 1/3，其中n 为电子浓度。
9． 据上题，当电子浓度n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度n 与原子浓度n a 之比
n =1.36时，费米球与fcc 第一布里渊区的边界接触。 n a
10． 绝对温度T ≠0时，求含N 个电子的自由电子费米气系统的动能。
11．一个晶格常数为a 的二维正方晶格，求：
（1）用紧束缚近似求S 能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带宽度；
（2）带底电子和带顶空穴的有效质量；
（3）S 带电子的速度表示式。
12．Cu 的费米能级E f =7.0eV，试求电子的费米速度V f 。在273K 时，Cu 的电阻率为ρ＝1.56
×10Ω·m, 试求电子的平均自由时间τ和平均自由程λ。
13．说明外电场对费米分布函数f 0(E)的影响；证明 -8
⎡d E f ∂f 0E ⎤∂f ＝-⎢T () ＋⎥0 (略去E 与T 的关系) ∂T T ⎦∂E ⎣dt T
14．属中传导电子的碰撞阻力可写成－p
τ, 其中是电子的动量，试从运动方程出发
求金属在变电场ε0cos ωt 中的电导率。
15. 若一维晶体的电子势能
0 na
＋
V （x ）=
V 0 na －d d ≤ x ≤ (n+1)a－ 22d d ≤ x ≤ na＋ · － a 2a x 22
用近自由电子模型，求第一个带隙的宽度。