诠释共点.共线.共面问题的求解思维策略

诠释共点、共线、共面问题的求解思维策略

点共线、线共点、点共面及线共面是立体几何中一类不可忽视的问题，本文略举数例，就这类问题的转化方法和求解思维策略作一导析，希望能给备考中的广大一线师生些许启发．

一、点共线问题

例１．已知Ａ、Ｂ、Ｃ是平面α外三点，且ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与α交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ，求证：Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．

分析：证明点共线问题，一般可以转化为证明这些点既在第一个平面内，又在第二个平面内，再根据公理2导出这些点就在这两个平面的交线上，即证得了点共线．

证明：如图1，过Ａ、Ｂ、Ｃ作一平面β，则ＡＢ⊂β，ＡＣ⊂β，ＢＣ⊂β． ∴Ｅ∈β，Ｆ∈β，Ｇ∈β．

设α β＝l

∵ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与α相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ， ∴Ｅ∈α，Ｆ∈α，Ｇ∈α． ∴Ｅ、Ｆ、Ｇ必在α与β的交线l 上． ∴ Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．

二、线共点问题

证明多线共点的基本思路是：先确定其中一条直线为分别含有另两条直线的两个平面的交线，再证明分别在两个平面内的两条直线相交，由公理2可知交点必在两个平面的交线上.

例２．已知：如图2，△ABC 与△A 1B 1C 1 不全等，且A 1B 1∥AB ，B 1C 1∥BC ，C 1A 1∥CA . 求证：AA 1、BB 1、CC 1交于一点.

证明：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1与AB 确定一平面A ，

B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1与BC 确定一平面B .

∵C 1A 1∥CA ，∴C 1A 1与CA 确定一平面γ. 易知B ∩γ=C 1C .

又∵△ABC 与△ABC 不全等，∴A 1A 1与BB 1相交，设交点为P ， ∴P ∈AA 1，P ∈BB 1，而AA 1⊂γ，BB 1⊂B ，∴P ∈γ，P ∈B ， ∴P 在平面B 与平面γ的交线上，又B ∩γ=C 1C ，

图2 根据公理2知，P ∈C 1C ，∴AA 1、BB 1、CC 1交于一点.

例３．如图３，已知空间四边形ABCD 中，（即四个点不在同一平面内的四边形），Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，且

求证：直线ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ相交于一点． 证明：Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点， ∴ＥＨ∥

B

图１

CF CG 2

==， CB CD 3

11

ＢＤ且ＥＨ＝ＢＤ 22

P

B

Ｈ图３

∵Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，

且

CF CG 2==， CB CD 3

∴ＦＧ∥ＢＤ，且ＦＧ＝

2

ＢＤ． 3

故知ＥＨ∥ＦＧ且ＥＨ≠ＦＧ，即四边形EFGH 为梯形，从而ＥＦ与ＧＨ必相交， 设交点为Ｐ．

∵Ｐ∈ＥＦ，ＥＦ⊂平面ABC ， ∴Ｐ∈平面ABC ． 同理Ｐ∈平面ADC ．

∵平面ADC 平面ABC ＝ＡＣ， ∴Ｐ∈ＡＣ．即ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ交于一点Ｐ． 点评：证明多线共点问题，方法一：先证某两条直线交于一点，再证这一交点在第三条直线上即可．方法二：先证某一条直线与另外两条分别交于一点，然后证两交点重合即可．

三、点共面问题

证明若干个点共面，证明的主要理论根据是公理1和公理3及三个推论：公理1是判断直线在平面内的依据，公理3及三个推论是确定平面的基本方法，同时它也是判断几个平面是否重合的重要依据.

例４．(2007年江苏) 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1

上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1. 求证：E 、B 、F 、D 1四点共面.

证明：如图，在DD 1上取点N ，使DN ＝1，连结EN ，CN ，则

AE ＝DN ＝1，CF ＝ND 1＝2．

因为AE ∥DN ，ND 1∥CF ，所以四边形ADNE ，CFD 1N 都为平行四边形． 从而EN ∥＝AD ，FD 1∥CN ．

∥又因为AD ∥＝BC ，所以EN ＝BC ，故四边形BCNE 是平行四边形，

由此推知CN ∥BE ，从而FD 1∥BE ． 因此，E 、B 、F 、D 1四点共面．

点评：证明点共面的方法：先由条件中部分元素确定一个平面，再证其它各点均在此平面内；对于点共线问题，只需证明各点同时在两相交平面，从而即可得证，各点同时在两平面的交线上. 或者先确定其中两点所在直线为某二平面的交线，再证明点同时在两个平面上，由公理2知该点在这两个平面的交线上，从而使问题得证.

四、线共面问题

证明空间几条直线共面的问题，常可采用下面两种策略：（1）“同舟共济”策略：首先可根据公理2或其他的三个推论确定一个平面，然后证明其他的直线也在这个平面内；（2）“分舟过渡”策略：若确定一个平面后，不能证明其他直线也在这个平面内，则可再确定一个平面，最后证明这两个平面重合即可．

例５．如图３，直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ两两平行，且分别与直线l 相交于点Ａ、Ｃ、Ｅ， 求证：ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三条直线共面． 证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，

∴ＡＢ、ＣＤ确定一个平面α．

∵Ａ、Ｃ分别为ＡＢ、ＣＤ上的点， ∴Ａ，Ｃ∈α．

∴l ⊂α．

图３

又ＥＦ∥ＣＤ， ∴ＣＤ、ＥＦ确定一个平面β．

∵Ｅ、Ｃ分别为ＥＦ、ＣＤ上的点，∴Ｅ，Ｃ∈β ∴l ∈β．

这样直线l 和ＣＤ即在α内，又在β内，但l 和ＣＤ是相交直线，经过它们的平面只有一个，故α、β重合．∴ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三条直线共面．

例６．已知空间四条直线a , b , c , d 不共点，但两两相交，证明：这四条直线a , b , c , d 共面.

分析：四条直线a , b , c , d 两两相交但不共点，有两种情况：一种是任意三条直线都不共点，有一种是有三条直线共点，须分类讨论.

证明：（1）若其中任意三条直线都不共点，如图1，不防设相交直线a , b 确定平面α，且直线c 与a , b 分别交于点M 、N ，则有M ∈α，N ∈α，

所以c ⊂α，同理可证d ⊂α，即a , b , c , d 四条直线在同一平面α内；

d b =N ，（2）若其中有三条直线共点，如图2，不妨设a b c =Q ，且d a =M ，

d c =P ，

又∵Q ∉d ，∴点Q 与直线d 确定一个平面α， ∵Q ∈a ，M ∈a ，∴a ⊂α，

同理可证b ⊂α，c ⊂α，即a , b , c , d 四条直线在同一平面α内.

点评：四条直线两两相交且不交于一点，与三条直线两两相交且不交于一点不同，后者只是一种情况，前者却有两种情况．在进行分类讨论时，需要做到“不重不漏”.理解题意，依据公理，合理分类，分清各种位置的可能性，然后分别予以解决．