海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

２００５年１２月安阳工学院学报Ｄｅｅ．２００５第６期（总第１８期）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６（Ｇｅｎ．Ｎｏ．１８）

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽王军民耿向平

（河南财经学院河南郑州４５０００２）

摘要：本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法，并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了它的问题，并运用本文所列方法，给出了正确的解法。

关键词：海塞矩阵；多元函数；条件极值；稳定点

中图分类号：０１７５．２７文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—２９２８（２００５）０６—００７９—０３

《数学分析》是大多数高校的必开课程，有着十分重要的基础作用，多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分，而且在实践中应用非常广泛，对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论，然后分类讨论不同约束条件下的求解方法，这些方法具有一定的普遍性，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了其中一个例子解法中的错误，并采用本文的方法，给出正确的解题方法。

在《数学分析》…教材中，多元函数有如下定义：

设凡元函数Ｙ＝八菇）＝八石，，ｚ：，Ａ，戈。）定义于区域Ｄ中，且点Ｐ０（菇：，名！，Ａ，石：）是这区域内的一点。若在点Ｒ的某邻域内，恒有

尺戈）＜八Ｐ。）（或八戈）＞八Ｐ。））

则称函数，（石）在点Ｐ。处有极大值（或极小值）。

本文若无特殊说明，均假定函数八戈）在点Ｐ０（菇？，ｚ：，Ａ，戈：）的某邻域内连续，且二阶偏导数也连续。下面我们给出稳定点和海塞矩阵的定义。

定义１记珏元函数Ｙ＝火茁）＝苁菇。，戈：，Ａ，并。）的一阶偏导数为

八戈）＝ｆ罢，善，Ａ，罟ｌ（１）

＼Ｏ＇Ｘ１Ｏ＂Ｘ２唧。，

若点Ｐ０使得以Ｐ０）＝（著，差，Ａ，差）Ｉ，。为零向量，则称点Ｐ０为函数以并）的稳定点。

定义２称八菇）为函数以ｚ）的海塞（Ｈｅｓｓｅ）矩阵，若

警最以最Ｏｘ以：缸１砒２—１。Ｏｘ

尸’（戈）＝去砒ｏ＿５；以血ＯＸ２０Ｘｎ觑２觑ｌ砒；（２）以ＡＡ以

蠡最Ｏｘ以舞巩。缸１砒。２一缸：

易见，在本文的假设条件下，海塞矩阵是一个对称矩阵。

下面的两个定理是我们在计算多元函数的极值问题时经常用到的。

定理１设函数八戈）在点Ｐ０具有偏导数，且在点Ｐ０处有极值，则点Ｐｏ必为函数八戈）的稳定点。

定理２设函数八菇）在点Ｐｏ的某邻域内连续，且一阶及二阶偏导数也连续，则

（１）稳定点Ｐ０是极小值点的充分条件是海塞矩降尸’（Ｐ０）为正定矩阵；

（２）稳定点Ｐ０是极大值点的充分条件是海塞矩阵．尸’（Ｐ。）为负定矩阵；

（３）稳定点Ｐｏ不是极值点的充分条件是海塞矩阵厂’（Ｐ。）为不定矩阵。

接下来，我们根据约束条件的不同，分两种情况来计算多元函数的极值。

１无约束情况

十收稿日期：２００５一１２—２０

作者简介：张丽丽（１９７８一），女，河南偃师人，河南财经学院讲师，主要从事数值计算方向的研究。

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万　方数据

例１求以石，Ｙ，ｚ）＝戈２—２ｘｙ＋２ｙ２＋Ｚ２一ｙｚ＋菇＋３ｙ—ｚ的极值。

解直接计算得到它的稳定点为（一百１７，了７，丁２）。

经计算知道函数在稳定点（一百１７，了７，丁２）处的海塞矩阵为立立立．．．．．‘．－－－－－－－Ｊ－Ｌ．．．．．．．．ＩＬ

缸２

立盥立

立立立砚抵０３，２ｍａｚ觑砂巩出ｒ２—２４＝ｆ一２

１＿０．．１

这是一个正定矩阵，根据定理２，稳定点（一百１７，了７，了２）是函数的极小值点，相应的极小值为八一百１７，了７，２、５５

了，２一西。

２约束条件为等式的条件极值

求多元函数的条件极值时，通过构造拉格朗日函数可求得稳定点，但如何判断稳定点是否为极值点，在参考文献［１］中没有给出具体的方法，往往是根据问题的实际情况直接推断稳定点即为极值点。本文通过目标函数和约束条件构成的复合函数求得海塞矩阵，根据海塞矩阵的正负定性应用定理２来判断稳定点是否为极值点。这种方法适用于三元及三元以上函数的条件极值。

例２求ｕ＝戈＋Ｙ＋ｚ＋ｔ在条件ｘｙｚｔ＝ａ４（髫，ｙ，ｚ，ｔ，ａ＞０）下的极值。

解构造拉格朗１３函数

八菇，Ｙ，ｚ，ｔ）＝石＋Ｙ＋ｚ＋ｔ＋Ａ（ｘｙｚｔ—ａ４）

经计算知道它的稳定点为（ｏ，口，ｏ，ａ），且Ａ＝一去。

为了判断稳定点是否为极值点，把条件ｘｙｚｔ＝０４看作隐函数ｔ＝ｔ（ｘ，），，ｚ），且把目标函数“＝ｚ＋Ｙ＋ｚ＋ｔ（菇，），，ｚ）＝Ｆ（茗，ｙ，ｚ）看作Ｍ＝并＋Ｙ＋ｚ＋ｔ与ｔ＝ｔ（ｘ，ｙ，ｚ）的复合函数。

将ｘｙｚｔ（ｘ，Ｙ，孑）＝口４两边同时对舅求导，得

ｙｚｔ＋ｘｙｚｉＯｔ：０，即罢＝一上。

同理可求得譬：一一ｔ，譬：一一ｔ。ａｙＹ吁ｏ

一

驭瓦＿１＋夏－１一ｉ，万２７一ｉ。磊２一ｘ２，丽２一ｉ。万２石’一０ｘｏｚ２一ｉ。瓦２西。１１“ａＦ０ｔｔ荸Ｆｔ１ａｔ２ｔ孑Ｆ１０ｔｔ０２Ｆ１０ｔｔ

同理可求得其余的二阶偏导数。从而在稳定点（ａ，口，口，口）处，海塞矩阵为

矿Ｆａ２Ｆａ２Ｆ１１

口砒２觑砂０ｘｏｚ

矿Ｆ矿Ｆａ２Ｆ

铆融时

ａ２Ｆ矿Ｆ动ａｚ矿Ｆ

０２０ｘ蜘，，０２２

这是一个正定矩阵，所以稳定点（ａ，ａ，ａ，ａ）是函数的极小值点，相应的极小值为配（ａ，口，ａ，ａ）＝４ａ。＝匡

‘，口２口１ｏ１口２口例３Ⅲ求曲线ｙ２一髫３＝ｏ（菇＞ｏ，Ｙ＞ｏ）与直线髫一Ｙ一署＝ｏ之间距离最短的两点位置。在参考文献［２］中，作者直接对拉格朗１３函数应用定理２来判断稳定点是否是极值点，我们发现这样做是错误的，应该对目标函数和约束条件构成的复合函数应用定理２来判断稳定点是否为极值点。下面是我们提供的正确解法：解设曲线ｙ２一髫３＝ｏ上的点为（算，Ｙ），直线戈一Ｙ一署＝０上的点为（ｕ，秽），则两点问的距离为ｄ＝

√（菇一ｕ）２＋（Ｙ一秽）２，即求ｄ２＝（菇一配）２＋（Ｙ～秽）２（ｄ＞ｏ）的最／Ｊ、值。

构造拉格朗１３函数

八ｚ，Ｙ，Ｍ，秽）＝（戈一ｕ）２＋（Ｙ一秽）２＋Ａ（Ｙ２一石３）＋丁（茗一Ｙ一署）．８０・

万方数据　

容易计算出它的稳定点为：（軎，万８，丙１３，击），且Ａ＝一而１５，ｒ＝一可５。

为了判断稳定点是否为极值点，把条件），２＿Ｘ３＝０和菇一ｙ一万１９＝ｏ分别看作隐函数，，＝ｙ（戈）和口＝移（Ｍ），且把目标函数ｄ：：（ｘ—Ｍ）：＋（ｙ（戈）一秽（配））ｚ全Ｆ（石，ｕ）看作ｄｚ：（戈一配）ｚ＋（，，（石）一秽（“））ｚ与ｙ：ｙ（菇）、＂＝移（Ｕ）的复合函数。

将广一ｚ３＝ｏ两边同时对戈求导，得

，，

２ｙ老屯２＝ｏ，即笔＝券・１。

将２ｙ耋一３戈２＝ｏ两边同时对菇求导，得

２ｃ塞）２＋２ｙ磐七一ｏ，即辔ｄｘ：６１Ｘ－产２＠２：詈。

将Ｍ一口一暑＝ｏ两边同时对配求导，得１０

一，即譬，从而等。ｕａｕｄｕ。

故警＝２（戈一Ｍ）＋２（），一秽）塞，面ＯＦ＝一２（ｘ二“）一２（ｙ一秽）毫，

万０２Ｆ＝２＋２（笔）２＋２（ｙ一秽）磐＝３ｉ７，赢ｇ五Ｆ＝一２—２老・象＝一４，

孑０２Ｆ＝２＋２（老）２一，（ｙ－ｖ）ｄｄ“２－－ｖ一－ｖ＝４，塞＝一２—２窆・瓦ｄｖ＝一４。

从而在稳定点‘歹４，芴８，丙１３，刍）处，海塞矩阵为

押一舻打蕊：｜－詈押蕊押一抒ｌ一４一４］４ｊ

这是一个正定矩阵，根据定理２，稳定点‘歹４，芴８，西１３，击）是函数的极小值点。又因为极小值点唯一，故此极小值点就是所求的最小值点，从而曲线上的点（鲁，隽）和直线上的点‘西１３，面１）即为所求。

多元函数的极值的计算，由于约束条件的不同，呈现的结果比较丰富，本文只是研究了其中的一部分，而对于约束条件为不等式或者为方程组的情形，限于篇幅，另文祥述。

参考文献：

［１］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

［２］杨文杰，孙静．多元函数的极值问题［Ｊ］．辽宁工学院学报Ｖ２４（１），２００４，２７—３０．

ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＨｅｓｓｅＭａｔｒｉｃｅｓｉｎＣｏｎｄｉｔｉｏｎＥｘｔｒｅｍｅＶａｌｕｅ

ｆｏｒＭｕｈｉｖａｒｉａｔｅＦｕｎｃｔｉｏｎ

ＺＨＡＮＧＬｉ一１ｉＷＡＮＧＪｕｎ—ｍｉｎＧＥＮＧＸｉａｎｇ—ｐｉｎｇ

（ＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ。Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００２，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｔｒｅｍｕｍｆｏｒｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＨｅｓｓｅＭａｔｒｉｃｅｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｇｉｖｅｎｔｏｐｒｏｂｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒａｃｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ．ａｇａｉｎｓｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｎａｐｕｂｌｉｓｈｅｄａｒｔｉｃｌｅ，ａｃｏｒｒｅｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｓｈｏｗｅｄｂｙｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｌｉｓｔｅｄｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．

ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｈｅｓｓｅｍａｔｒｉｃｅｓ；ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅ；ｓｔａｂｌｅｐｏｉｎｔ

（责任编辑郝安林）

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海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

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被引用次数：张丽丽， 王军民， 耿向平， ZHANG Li-li， WANG Jun-min， GENG Xiang-ping河南财经学院,河南,郑州,450002安阳工学院学报JOURNAL OF ANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY2005，""(6)1次

参考文献(2条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 2004

2. 杨文杰. 孙静 多元函数的极值问题[期刊论文]-辽宁工学院学报（自然科学版） 2004(01)

引证文献(1条)

1. 罗朝晖 条件极值充分条件的Hissian矩阵判断[期刊论文]-百色学院学报 2007(6)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_aydxxb200506024.aspx

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下载时间：2010年8月8日