论文----我对混沌的认识

我对混沌的认识

摘要：蝴蝶效应（Butterfly Effect ）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。混沌一个看似荒谬的现象，却是存在的真实的普遍的现象，给科学发展注入新的活力。那混沌是什么？

关键词：混沌理论 控制 发展及应用

一、引言

湍流现象——无序中的有序在雷诺的管流实验中，湍流是指流体中质点的运动杂乱无章，其中含有大量的无规则的三维旋涡，流体质点的动量和能量高效率的相互混合，使其平均速度在剖面中心部分平坦而边缘陡峭，造成壁面剪应力增大，从而使管流阻力增大的流体的一种流动状态。 湍流的特点之一是它的物理量无论对时间还是对空间都是随机涨落的。湍流的实验特点在于湍流中物理量是随机脉动的。然而湍流的实验发现：湍流并非是流体完全随机的无序运动，而是在紊乱中存在着相当有组织的有序运动。湍流也是混沌现象之一。 混沌运动是 1963 年由美国气象学家洛伦兹（ E.Yorke ）在研究区域小气候求解他所提出的模型方程首先发现的。因此，洛伦兹方程在混沌学历史上也有重要地位，特别是对它的分析在了解非线性方程如何出现混沌解方面很有意义。现代非线性理论中的混沌的概念是 1975 年李天岩和约克（J.Yorke ）在题为《周期 3 蕴涵着混沌》的论文中首先提出，即混沌是非线性系统中的一种特殊的运动状

态。但是，论文中关于混沌的概念与通常人们（特别是过去）对混沌（chaos ）一词的理解完全不一样（在古代，无论是中国还是西方，混沌都表示宇宙形成之前的元气）。开始时（主要是 20 世纪 70 年代）为了把它与传统的表示无序概念加以区别，有时人们把这种具有专门含义的混沌称为“确定性混沌”（deterministic chaos ）。现在科技界已普遍接受并习惯使用“混沌”一词的专门含义了，于是一般便去掉了“确定 性”这一定语。人们已普遍认为“混沌”就是“确定性系统中出现的随机状态”（1986 年英国皇家学会举办的一次国际性专题学术会上与会者达成的共识）。

二、混沌理论

1、混沌概念

混沌是服从确定性规律但是具有随机性的运动。所谓服从确定性规律，是指系统的运动可以用确定的动力学方程表述，而不是像噪声那样不服从任何动力学方程。所谓运动的随机性，是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以预言以后任何时刻的运动状态，混沌运动到是像其他随机运动或噪声那样，其运动状态是不可预言的，换言之，混沌运动在相空间中没有确定的轨道。洛伦茨把混沌运动这种在确定性系统中出现的随机性称为“貌似随机”。

2、混沌特点

①混沌运动是确定性和随机性的对立统一，即它具有随机性，但是又不是真正的或完全的随机性。我们知道，通常我们所说的随机性不仅是非周期运动的，而且不服从确定的

动力学规律，从而其随时间的演化是完全不可预言的。也就是说，它不服从因果律。因此过去一直认为随机性与确定性或因果性是截然对立的。但混沌运动是在确定性系统中发生的，这与完全随机运动有着本质区别：

(i)混沌运动服从确定的力学规律；（ii ）混沌振荡虽具有随机性且不是规则的，但其运动也不是完全杂乱无规的；（iii ）虽然混沌运动在整个时间进程中具有随机性，即在较长时间上不能对其运动作出预言，或者说它不服从因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是可能的，或者说，因果律并不完全否定。因此才可以说，混沌运动是确定性和随机性的对立统一。

②对出始状态的敏感依赖。与随机性密切相关的是混沌运动对初始状态的敏感依赖。系统作通常规则运动时，无法避免的涨落或噪声干扰引起的处始条件的微小变化一般只引起运动状态的微小差别。即初始状态很接近的轨道总是很接近，甚至可能趋于一致。这样才能使人们对系统的运动作出预言，也才有所谓的机械决定论（拉普拉斯决定论）。混沌运动则不然，由于系统无法避免的涨落，初始条件的微小差别往往会使相邻轨道按指数形式分开。洛伦茨戏称混沌运动这种对初始条件的敏

感依赖性为蝴蝶效应（butterfly effect）:如果全球气象处于混沌状态，那么有一只蝴蝶在巴西拍动翅膀，就可能在美国得克萨州引起龙卷风。同时蝴蝶效应也是区别混沌同其他确定性系统的重要标志。

③只有非线性系统才有可能作混沌运动。对于线性微分方程，初始条件给定了，它就有确定的解。也就是说，线性系统不可能作带有随机性的混沌运动。因此，混沌运动只可能出现在非线性系统中。当然，系统的非线性只是混沌出现的必要条件。即非线性系统不一定能作混沌运动，作混沌运动还得满足一定的适当条件：（i ）只有 3 个或 3 个以上变量的自治系统才有可能作混沌运动，只有 2 个变量的自治系统不可能作混沌运动。(ii)同一系统的运动性质（是否作混沌运动）还与其所

处条件（运动方程的参量取值）密切有关。同一系统，当其所处内在或外在条件不同时，它既可作混沌运动，也可能作其他形式的运动。

2、吸引子与奇怪吸引子

吸引子是由所有不同初始状态的轨道最后所构成的不随时间变化的集合或流行。对于规则运动，吸引子很简单，如稳定态就是一个点（比如单摆有阻尼荡振荡最终将趋于最底点并保持稳定，这种运动趋向的平衡位臵叫做吸引子）周期运动的是闭曲线，准周期运动的吸引子则是封闭的带或环。通常将规则运动的吸引子称为简单吸引子或平庸吸引子。 奇怪吸引子混沌运动的轨线在捕捉区所形成的吸引子不同于常规运动的吸引子。由于蝴蝶效应及其固有的随机性，使得单一轨道难于刻画系统的运动特征。相反，所有轨道的集合——吸引子，具有一些独特的性质。我们将这些具有独特性质的吸引子称为奇怪吸引子。

3、奇怪吸引子的特点

（1）从整体说，系统是稳定的：吸引子外的一切轨道线最后都要收缩进吸引子中。但是，从局部来说，吸引子的运动又是不稳定的：相邻轨道要相互排斥而按指数形式分离。所以奇怪吸引子是这种整体稳定性和局部不稳定性一对矛盾的结合体。

（2）混沌运动的吸引子是由轨道经大量分离和折叠才形成的。

（3）混沌运动的奇怪吸引子有无穷层次的自相似结构。同时，自相似结构也是混沌运动的奇怪吸引子区别与规则运动的平庸吸引子的一个重要标志。

（4）奇怪吸引子的维数常常是非整数。

（5）奇怪吸引子也具有遍历性，即时间足够长时，吸引子中轨道可遍及吸引子中各处。

三、混沌控制

自 20 世纪 60 年代以来，计算机技术的飞速发展极大地促进了非线性科学的蓬勃发展，人们对混沌在自然科学各个领域的表现及其运动规律已经有了较全面的认识，混沌现象是非线性系统的一种重要运动形式这一事实已被人们普遍接受。20 世纪 90 年代之前，人们虽然认识到的混沌存在的客观性，但由于它的不稳定性和长时间发展趋势的不可预报性，又认为它是一种“有害”现象，在许多与实际应用相关的工程技术领域内，人们想尽办法尽量回避这类“有害”的现象。 混沌有什么可利用之处和怎样用它为人类服务，

这是人们普遍关注的问题，也是科学工作者需要探索和深入研究的新问题。也就是是说，如何利用混沌研究成果服务于人类已成为非线性科学发展提出的新的重要课题之一。利用混沌的前提是驾驭它，也就是控制混沌。1989 年胡伯勒

（A.Hubler ）在他发表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的现象。次年，奥特（E.Ott ）、格里波基（G.Grebogi ）和约克（J.Yorke ）提出控制混沌的思想，并基于混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道的构成的基本性质，提出了一种参数微扰法控制混沌运动的具体实施办法，即现在称之为的 OGY 方法（Ott ，Grebogi and Yorke）。很快他们提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditto ）等人在一个力学实验中证实，稍后也被罗意(R.Roy)等人在一个激光系统中加以利用和拓展，随后的 10 多年中，有关混沌控制的研究得到蓬勃发展。这期间人们提出各式各样控制混沌的方法及其理论，并在自然科学的众多实际领域内的实验和应用中得到证实。近年来，这一研究方向的理论和实验以及应用上的工作进展异常迅猛。 目前，人们对混沌控制的理解集中于：自动有效地影响混沌系统，使之转化为应用需要的状态。如：混沌运动对实际系统有碍时，将其抑制住；而需要产生实际需要的具体有某种特定性质的混沌运动时使用控制，从系统的混沌状态中产生出实际需要的各种输出。到目前为止，人们对混沌控制的研究大都集中与控制时间混沌和时空混沌。按控制目的可将混沌控制分两类。一类是更具实际需要，将混沌吸引子中的某些不稳定周期轨

道进行控制，即对给定的一个混沌吸引子，只对系统作小的扰动就能得到某个预期的周期运动行为。这种控制不改变原有的周期轨道。另一类则是通过控制或驱动，只求得到所需的周期轨道（这条轨道不一定是系统原有的轨道），或将混沌抑制掉，这类控制将改变系统动力学行为。

四、混沌的发展及应用

混沌是一种普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制）。 如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的“蝴蝶效应”，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报...... 可谓大千世界皆混沌。混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。 同时，混

沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。 符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种从一维向 空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。 另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。 在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。

五、展望

混沌理论的研究正在随时间而不断深入，发展速度越来越快。其影响已涉及社会自然科学的各个领域，并且混沌蝴蝶效应的应用价值不可估量，特别是混沌控制理论和实验的研究将有巨大的实际应用空间。然而，有喜必有忧，混沌的发展受到数学的限制。因此，今后混沌与数学发展将同步并相互促进，两个学科的交叉点上诞生新的学科分支。

六、参考文献

[1]、刘秉正、彭建华，非线性动力学，北京：高等教育出版社

[2]、周光垌等编，流体力学 下册，北京：高等教育出

版社