[论文]直线的点法式方程
直线的“点法式”方程
及其应用举例
陕西省三原县南郊中学 李晓燕 郑克强
(邮编:713800)
先看看以下一段文字[1]:
在本章讨论直线的一些问题中,我们已经应用了向量的有关知识.实际上,可以更多地应用向量解决有关直线的问题.下面作初步的
介绍.
1、向量与直线方程
……
如果向量n 与直线l 垂直,则称向量n 为直线l 的法向
量.如图2,设直线l 有法向量n =(A , B ) ,且经过点
P 0(x 0, y 0) ,则点P (x , y ) 在直线l 上的充要条件是
因为P n =(A , B ) 且P P 0P ⊥n .0P =(x -x 0, y -y 0) ,0P ⊥n 的充要条件是P 0P 与n 的数量积为0,于是,得到直线l 的方程A (x -x 0) +B (y -y 0) =0.这个方程由直线l
上一点P 0(x 0, y 0) 及直线l 的法向量n 确定,称为直线l 的点法式方程.
如果直线有一般式方程Ax +By +C =0且A ≠0,则可得此直线的点法式方程:
C C A (x +) +B (y -0) =0.这是经过点(-, 0) ,且法向量n =(A , B ) 的直线方A A
程.所以n =(A , B ) 是直线Ax +By +C =0的法向量.由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到,应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。
设v =(-B , A ) ,则v 与n 的数量积v ⋅n =(-B ) ⨯A +A ⨯B =0,所以v ⊥n .从
而v =(-B , A ) 是直线Ax +By +C =0的方向向量.
2、向量与直线间的位置关系
设直线l 1和l 2的方程分别是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,那么, n 1=(A 1, B 1) 和n 2=(A 2, B 2) 分别是直线l 1和l 2的法向量.
如果l 1∥l 2,则n 1∥n 2,所以A 1B 2-A 2B 1=0.由此可知,A 1B 2-A 2B 1=0是
直线
l 1∥l 2的必要条件.
如果l 1⊥l 2,则n 1⊥n 2,反过来也对.而n 1⊥n 2的充要条件是n 1⋅n 2=0,即
A 1A 2+B 1B 2=0.所以,直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0
下面考虑两条直线的夹角.
设直线l 1和l 2的夹角为α,两条直线的法向量的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ.所以cos α=cos θ
cos θ= ∴
cos α=
由此式可以求得两条直线的夹角.
从上述文字叙述中,我们至少获取了以下信息:
1. 什么是直线的点法式方程?直线一般式方程Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0, 下同) 的几何意义是什么.
2. 直线点法式方程在研究两条直线的位置关系,例如两条直线的平行的必要条件、两条直线垂直的充要条件以及两相交直线的夹角公式等等有重要应用.
实际上,采用向量方法研究有关直线及其方程问题时,还有一个优点,就是避免了采用斜率研究直线及其方程,所引起的比较复杂的讨论问题。本文试图通过以下数例予以说明。
应用之一——求直线的方程
【例1】 设点P (x 0, y 0) 在直线Ax +By +C =0上,求证这条直线的方程可以写
成A (x -x 0) +B (y -y 0) =0
注:由直线点法式方程,即可得到结论。
【例2】求过点A (2,3)且分别适合下列条件的直线的方程:
(1)平行于直线2x +y -5=0
(2)垂直于直线x -y -2=0[3][2]
解:(1)由于直线2x +y -5=0的法向量为a =(2,1),而由于所求直线与直线
2x +y -5=0平行,故a 也是所求直线的法向量,由直线点法式方程得:
2(x -2) +1⋅(y -3) =0
故所求直线方程为:2x +y -7=0
(2)由于直线x -y -2=0的法向量为m =(1, -1) ,设所求直线的法向量n =(x 0, y 0) ,
由题设m ⊥n ,所以m ⋅n =0即x 0-y 0=0,即x 0=y 0,所以所求直线的法向量为 n =(x 0, x 0) ,由直线点法式方程得:x 0(x -2) +x 0(y -3) =0(x 0≠0)
故所求直线方程为:x +y -5=0
说明:应用直线点法式方程解决此类问题时,关键在于确定点与法向量。
应用之二——对称问题中的应用
【例3】求点P (5,3)关于直线3x -y +3=0的对称点Q 的坐标
解:直线3x -y +3=0的法向量m =(3,-1) ,方向向量n =(1,3) ,由对称性知,直线
PQ 的法向量也是n ,由直线点法式方程得直线PQ 的方程为
1⋅(x -5) +3(y -3) =0 即x +3y -14=0
1⎧x =⎪⎧3x -y +3=0⎪2联立得 ⎨ ∴ ⎨ 9x +3y -14=0⎩⎪y =⎪⎩2
即线段PQ 的中点为M (, ) , 19
22
⎧1x P +x Q 5+x Q ==⎪⎪222 由中点坐标公式得 ⎨⎪9=y P +y Q =3+y Q
⎪⎩222
⎧⎪x Q =-4 故Q (-4,6) ∴ ⎨y =6⎪⎩Q
说明:解题思路是通过直线的点法式方程的建立,将点关于直线的对称问题转化为点关于点的对称问题,从而使问题简化。
类似地,还可以采用此方法解答下列题目:
【例4】若抛物线y =x 上存在关于直线l :y -1=k (x -1) 的对称两点,求实数k 的取2
值范围
解:略 (答案k ∈(-2,0) )
应用之三——求切线方程
【例5】已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M (x 0, y 0) 的切线方程[4]
M O 解:由题设圆心为点,根据圆的切线性质,过点的切线与向量OM 垂直,而
OM =(x 0, y 0) 是切线l 的法向量,由直线点法式方程得:
x 0(x -x 0) +y 0(y -y 0) =0
又因为M 点在圆上,所以x 02+y 02=r 2
故切线方程为x 0x +y 0y =r 2
说明:应用直线点法式方程来解答,避免了对切线斜率k 的存在与否的讨论,显得更加简捷。
仿此,亦可采用此法解决以下数目:
【例6】已知P (x 0, y 0) 为圆C :(x -a ) +(y -b ) =r (r >0) 上一点,求证:经过P 点的圆的切线方程为(x 0-a )(x -x 0) +(y 0-b )(y -y 0) =r 2 222
应用之四——求夹角
【例7】一条直线经过点P (1,2) ,且与直线x +y +6=0的夹角为
方程 π,求这条直线的4
解:设所求直线的法向量为n =(A , B ) ,则直线的点法式方程为A (x -1) +B (y -2) =0
而已知直线的法向量为m =(1,1)
由夹角公式得cos π
4=
∴
=A +B ∴ 2A ⋅B =0
∴ A =0或B =0
故所求直线方程为:x -1=0或y -2=0
【例8】若两条直线x +3y +2=0和mx +y -m +1=0的夹角为45°则m 的值为
A .2 B .-1 2 C .2或-1 2 D .4或-1 4
解:由夹角公式
cos π
4=
∴
=m +
平方得 5(m 2+1) =m 2+6m +9
m -4= 0 即2m 2-3m -2=0 ∴ 4m 2-6
解得 m =2或m =-1 故选C 2
说明:夹角公式直接运用,思路单一,解答流畅。
直线的点法式方程的应用比较广泛,在此不一一列举了。
通过对直线点法式方种的应用探究,我们知道:
第一,直线的点法式方程的建立,把向量知识与直线的一般式方程有机地联系在一起,使得我们的知识视野更加开阔,思路更为灵活。
第二,直线的点法式方程中,表述简洁,条件单一,并且在解决相关问题时,无须复杂、冗长的讨论,不失为一种快捷、有用的方法。
第三,直线的点法式方程,除了在研究两条直线位置关系方面,有独到的作用外,在求两相交直线的夹角、切线问题、对称问题等方面,也有其独特的处理方式和方法。因此,只要我们深入展开研讨、探究,相信会有更惊人的发现的。
附注:
[1](人教版)高中数学第二册(上) P60《阅读材料》“平面向量与直线的方程”
(人教版)高中数学第二册(上) P48习题7.2第12题
(人教版)高中数学第二册(上) P50练习 第2题
(人教版)高中数学第二册(上) P83 例2 [2][3][4]