浅谈二次函数在高中阶段的应用

浅谈二次函数在高中阶段的应用

姚李职高 胡延磊

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础

薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

二次函数是从一个集合A （定义域）到集合B （值域）上的映射ƒ:A

→B ，使得集合B 中的元素y=ax2+bx+c(a≠0) 与集合A 的元素X 对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X 在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I ：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为

x+1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2

－4x+1，求定义域中元素X 的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x 代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而

ƒ(x)= x2－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在

区间（－∞，－b b ]及[－ ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格2a 2a

的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x－1|－1

（2）y=|x2－1|

（3）= x2+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝

对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设ƒ(x)=x2－2x －1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：ƒ(x)=x2－2x －1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

当t ＞1时，g(t)=ƒ(t)=t2－2t －1

当t ＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2

－2, (t

，(0≤t≤1)

－2t －1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R 上或

是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值

的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些

练习。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根

1x1，x2满足0

(Ⅰ) 当X ∈(0,x1)时，证明X

x (Ⅱ) 设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0

解题思路：

x 本题要证明的是x

可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同

的交点；②方程ƒ(x)－x=0可变为ax2+(b－1)x+1=0，它的两根为x1,x2，

可得到x1,x2与a.b.c 之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法

②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之

以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：

(Ⅰ) 先证明x

根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)

因为0

（x －x2）>0,又a ＞0, 因此ƒ(x) ＞0, 即ƒ(x)-x＞0. 至此, 证得x

c 1根据韦达定理, 有 x1x2= ∵ 0＜x1＜x2

又c=ƒ(0),∴ƒ(0)ƒ(0)，所以当x ∈(0,x1)时ƒ(x)

即x

(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b ）2+(c

（a>0） 2a

b 且是唯一的一条对称轴，2a 函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=－

因此，依题意，得x0=－b ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b －1）x+c=02a

b-11 ，∵x2－

b 11x x ∴x0=－ = （x1+x2－ ）

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

二〇一五年五月

浅谈高中数学课堂教学设疑

姚李职高 陈心山

在数学教学中，教师根据课堂情况、学生的心理状态和教学内容的不同，适时地提出经过精心设计、目的明确的问题，这对启发学生的积极思维和学好数学有很大的作用。笔者在近几年的教育教学研究活动中，听过许多学科的课堂教学，经常会看到一些教师在课堂教学中能很快使学生带着一种高涨的、激动的和欣悦的心情从事学习，给我留下了深刻的印象。本文就高中数学教学设疑谈谈自己的浅见。

一、教学要从矛盾开始

教学从矛盾开始就是从问题开始。思维自疑问和惊奇开始，在教学中可设计一个学生不易回答的悬念或者一个有趣的故事，激发学生强烈的求知欲望，起到启示诱导的作用。如在教授等差数列求和公式时，有位教师先讲了一个数学小故事：德国的“数学王子”高斯，在小学读书时，老师出了一道算术题：1＋2＋3＋……＋100=?，老师刚读完题目，高斯就在他的小黑板上写出了答案：5050，其他同学还在一个数一个数的挨个相加呢。那么，高斯是用什么方法做得这么快呢? 这时学生出现惊疑，产生一种强烈的探究反响。这就是今天要讲的等差数列的求和方法--倒序相加法……。

二、设疑于重点和难点

教材中有些内容是枯燥乏味，艰涩难懂的。如对于0. 9=1

这一等式，

有些同学学完了数列的极限这一节后仍表怀疑。为此，一位教师在教学中插入了一段“关于分牛传说的析疑”的故事：传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子。老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分，先人的遗嘱更必须无条件遵从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，却计无所出，最后决定诉诸官府。官府一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之。邻村智叟知道了，说：“这好办! 我有一头牛借给你们。这样，总共就有20头牛。老大分1/2可得10头；老二分1/4可得5头；老三分1/5可得4头。你等三人共分去19头牛，剩下的一头牛再还我!”真是妙极了! 不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。老大似乎只该分9.5头，最后他怎么竟得了10头呢? 学生很感兴趣，……老师经过分析使问题转化为学生所学的无穷等比

S =

数列各项和公式a 11-q

(|q|

三、设疑于教材易出错之处

学生在学习数学的过程中最常见的错误是，不顾条件或研究范围的变化，丢三掉四，或解完一道题后不检查、不思考。故在学生易出错之处，让学生去尝试，去“碰壁”和“跌跤”，让学生充分“暴露问题”，然后顺其错误认真剖析，不断引导，使学生恍然大悟，留下深刻印象。

2f (x ) =ax +2ax +1图象都在X 轴上方，求实数a 的取值 如：若函数

范围。

2(2a ) -4a

四、设疑于结尾

一堂好课也应设“矛盾”而终，使其完而未完，意味无穷。在一堂课结束时，根据知识的系统，承上启下地提出新的问题，这样一方面可以使新旧知识有机地联系起来，同时可以激发起学生新的求知欲望，为下一节课的教学作好充分的心理准备。一堂好课不是讲完了就完了，而是词已尽意

x 2-3x +2

识解决这个问题，即采用解两个不等式组来解决，接着，又用如下的解法：

原不等式可化为：(x 2-3x +2)(x 2-2x -3)

当然，教师提出的问题必须转化为学生自己思维的矛盾。只有把客观矛盾转化为学生自身的思维矛盾，才能产生激疑效应。

二〇一五年五月