函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 增量:变量x从初值x1变到终值x2,终值与初值的差叫变量x的增量,记作x,即x=x1-x2。(增量可正可负)。 例1 分析函数yx2当x由x02变到x0x2.05时,函数值的改变量。
2.函数在点连续的定义
定义1:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果自变量x的增量x=xx0趋向于零时,对应的函数增y=f(x)f(x0)也趋向于零,则称函数y=f(x)在点x0处连续。
定义2:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果函数f(x)当
xx0时的极限存在,即limf(x)f(x0),则称函数y=f(x)在点x0处连续。xx0
定义3:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果对任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式xx0的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式:f(x)f(x0),则称函数y=f(x)在点x0连续。 注:1、上述的三个定义在本质上是一致的,即函数f(x)在点x0连续,必须同时满足下列三个条件:(1) 函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义(函数y=
,(2) limf(x)存在;(3)limf(x)f(x0)。 f(x)在点x0有定义)xx0xx0
3.函数y=f(x)在点x0处左连续、右连续的定义:
(1)函数y=f(x)在点x0处左连续f(x)在x0,x0内有定义,且0xx0limf(x)f(x0)(即f(x00)f(x0))。
(2)函数y=f(x)在点x0处右连续f(x)在x0,x0内有定义,且0xx0limf(x)f(x0)(即f(x00)f(x0))。
显然,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处既左连续又右连
续。
(3)、函数y=f(x)在点x0处连续是limf(x)存在的充分条件,而非必要条件。 xx0
3、函数在区间上连续的定义
定义4:如果函数y=f(x)在某一区间上每一点都是连续的(如果此区间包含端点,且在左端点处右连续,在右端点处左连续),则称函数y=f(x)在该区间上是连续的。
例1:讨论下列函数在区间(,)内的连续性
(1)f(x)x2
(2)f(x)cosx
(3)f(x)ex
sin2x例2:设f(x)x2xax0x0,试确定b的值,使函数f(x)在x0处连续。
二、函数的间断点
(一).间断点概念:设函数f(x)在U(x0,)内有定义(在点x0处可以无定义),如果函数f(x)在点x0处不连续,则称点x0为函数f(x)的一个间断点(或不连续点)。
函数f(x)在点x0连续: 函数f(x)在点x0不连续:
(1)函数f(x)在点x0有定义, (1*) 函数y=f(x)在点x0没有定义
(2) limf(x)存在; (2*)limf(x)不存在 xx0xx0
(3)limf(x)f(x0) (3*)limf(x)存在,但f(x)在点x0 没有定xx0xx0
义, 或limf(x)f(x0) xx0
(二).间断点的分类
设x0为函数f(x)的一个间断点,
1、第一类间断点
f(x00),f(x00)都存在,
(1)若f(x00)=f(x00),即limf(x)存在,此类间断点称为可去间断点。 xx0
函数f(x)在点x0无定义,函数f(x)在点x0有定义,但limf(x)f(x0)。 xx0
imf(x)不存在,(2)若f(x00)f(x00),即l此类间断点称为跳跃间断点。 xx0
2. 第二类间断点
f(x00)与f(x00)中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点:无穷 间断点和振荡间断点。
例3:讨论下列函数的连续性,若有间断点,指出其类型
sin2x(1)f(x) x
1(2)f(x)arctan x
x21(3)f(x)2 x3x2
1(4)f(x)sin x