高中解析几何---圆与直线一题多解专题
坚信知识只有经过转化为实践应用才会有真正的价值!与各界朋友共同探讨。 ---------郭永超
解析几何一题多解专题讲座
1、数学的本质在于研究量、数、形的结合,此专题旨在通过解决直线与圆相交、相切的情况,求解圆的方程问题。
例1、求过直线L:2x+y+4=0和圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的交点,且满足过原点的圆M 的方程。
则线圆
x^2+y^2+3/2x-17/4y=0。
方法三、设圆M 的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,过原点可知:a^2+b^2=r^2①, 过圆M 和圆C 两圆交点所在的直线垂直于直线L, 过圆C 和圆M 所在直线斜率K=(b-2)/(a+1)=1/2②, 圆心点C 到直线L 的距
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离为4/√5
在直角三角形CAD 中,有(AB/2)^2=2^2-16/5,所以AB/2=2/√5, 而在直角三角形MAD 中,r^2=4/5+I2a+b+4I^2/5③, 联立①②③,可得:b=17/8,a=-3/4,r^2=325/64 所以所求圆M 的方程为:
(x+3/4)^2+(y-17/8)^2=325/64
方法四、
设所求圆的一般方程M 为:则F=0,圆M 方程为:y=x^2+y^2+Dx+Ey=0①。,k2=(-E/2-2)/(-D/2+1)=1/2,E=D/2-5
根据弦长公式:IABI^2=(圆心点C 到直线L 的距离为4/√5, (AB/2)^2=2^2-16/5,所以AB=4/√5, M 的方程,可得::
D=3/2,E=-17/4
则圆。
联立直线和圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0,可求得交点A 、B y 得: 5x^2+26x+33=0, A(-3,2),B(-11/5, 2/5) 设所求圆的一般方程M 为:y=x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,又已知其过原点,则F=0,圆M 方程为:x^2+y^2+Dx+Ey=0。将点A 、B 坐标代入可得:13-3D+2E=0①,125-55D+10E=0② 所以可得:
D=3/2,E=-17/4,圆M 方程为:x^2+y^2+3/2x-17/4y=0