漆安慎力学第二版课后习题解答02

第二章基本知识小结

d v ⒈基本概念 r =r (t ) v =

d r

d 2 dt a =dt =r dt 2

r (t ) ⇔v (t ) ⇔a

(t )

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t =t 0, r =r 0, v =v

0）

⒉直角坐标系 r =x i

ˆ+y ˆj +z k ˆ, r =x 2+y 2+z 2, r

与x,y,z

轴夹角的余弦分别为 x /r ,

y /r , z /r .

v =v x i ˆ+v y ˆj +v z k ˆ, v =v 2 x +v 2y +v 2z

, v 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v x /v ,

v y /v , v z /v .

a =a x i ˆ+a y ˆj +a z k ˆ, a =a 2x +a 2y +a 2z

, a 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 a x /a ,

a y /a , a z /a .

v x =

dx dt , v dy dz

y =dt , v z =dt

a dv d 2x dv d 2y dv d 2

z dt =y

x =x dt 2, a y =dt =dt 2, a z =z dt =dt

2

(x , y , z ) ⇔(v x , v y , v z ) ⇔(a x , a y , a z )

⒊自然坐标系 r =r

(s );

v

=v ττ

ˆ, v ds τ=dt

, v =|v τ| a =a ττˆ+a n ˆ, a =a 22

dv τd 2s v 2n τ+a n , a τ=dt =dt

2, a n =

ρ s (t ) ⇔v τ(t ) ⇔a τ(t )

⒋极坐标系 r

=r r ˆ, v =v r r ˆ+v θθˆ, v =v 2r +v 2θ

v dr r =

dt , v d θ

θ=r dt

⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

r =r ' +r

0, t =t ' （时空变换） v =v ' +v

0 （速度变换）

a =a ' +a

0 （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： y y'

x ' =x -Vt , y ' =y , z ' =z , t ' =t

v x ' =v x -V , v y ' =v y , v z ' =v z

a x ' =a x , a y ' =a y , a z ' =a z

o x o' x' z z'

2.1.1质点运动学方程为：⑴r

=(3+2t ) i ˆ+5ˆj ⑵r =(2-3t ) i ˆ+(4t -1) ˆj , 求质点轨迹并用图表示.

解：⑴x =3+2t , y =5, 轨迹方程为y =5的直线.

⑵x =2-3t , y =4t -1，消去参数t 得轨迹方程4x +3y -5=0

x

x

2.1.2 质点运动学方程为r

=e -2t i ˆ+e 2t ˆj +2k

ˆ. ⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：x =e -2t , y =e 2t , z =2, xy =1，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵∆r =r (1) -r (-1) =(e -2-e 2) i ˆ+(e 2-e -2) ˆj =-7. 2537i ˆ+7. 2537ˆj 。所以，位移大小：

|∆r

|=(∆x ) 2+(∆y ) 2=(-7. 2537) 2+7. 25372=7. 2, 与x 轴夹角α=∆x 2

|∆r |=arccos(-2) =135︒

∆y

与y 轴夹角β=|∆r |=2

2) =45︒

与z 轴夹角γ=∆z

|∆r |

=arccos 0=90︒

2.1.3质点运动学方程为r

=4t 2i ˆ+(2t +3) ˆj . ⑴求质点轨迹；

⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴x =4t 2, y =2t +3，消去参数t 得：x =(y -3) 2

⑵∆r =r (1) -r

(0) =4i ˆ+5ˆj -3ˆj =4i ˆ+2ˆj

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R 1=4100m , θ1=33. 7︒

0.75s 后测得R 2=4240m , θ2=29. 3︒，R 1,R 2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方

向（α角）

解：v ≈v =R

2-R 1∆t =∆R

∆t

，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：

∆R =R 21+R 2

2-2R 1R 2cos(θ1-θ2) 1

=41002+42402-2⨯4100⨯4200cos 4. 4︒ =349. 58m

v ≈=∆R /∆t =349. 58/0. 75≈465. 8m /s

据正弦定理：∆R /sin(θ1-θ2) =R 2/sin(180︒-θ1-α)

sin(180︒-θ1-α) =R 2sin(θ1-θ2) /∆R =4240sin 4. 4︒/349. 58≈0. 931, 180︒-θ1-α≈111. 41︒, ∴α=34. 89︒

2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200(长度：毫米) 。第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms 后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

x

解：由于Δt 很小，所以，v ≈v =∆r

1

2 ∆t

，

其中，∆t =2ms , ∆r

=∆x i ˆ+∆y ˆj , ∆x =x 2-x 1=234-249=-15 ∆y =y 2

2

2

2

2-y 1=(x 2-x 1) /200=(234-249) /200=-36. 2

∴v ≈(∆x /∆t ) i ˆ+(∆y /∆t ) ˆj =-7. 5i ˆ-18. 1ˆj 。其大小

|v

|=(-7. 5) 2+(18. 1) 2=19. 6mm /ms ；与x 轴夹角

α=v x -7. 5

v =19. 6

=arccos(-0. 38265) =-112. 5︒

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m ；另一人在广

州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.

解：声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

t 05s

1=17/340=0. 广州人听到演奏声音所需时间：

2320km,3×108m/s 2320⨯103t 2

2=3. 0⨯10

8

+340≈0. 0136s

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，

3min 后以70km/h速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。

解：a =v v 2-1∆t =∆v

∆t

v 1=对矢量三角形应用余弦定理：

西

∆v =v 2

2

21+v 2-2v 1v 2cos 30︒=902+70-90⨯3=45. 69km /h =12. 69m /s

=

∆v =12. 69=0. 07m /s 2，由正弦定理：v 2∆v

∆t 3⨯60sin α=sin 30︒

sin α=v 2sin 30︒/∆v =70⨯0. 5/45. 69≈0. 766, α≈50︒

2.2.6 ⑴r

=R cos t i ˆ+R sin t ˆj +2t k ˆ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵r

=3t i ˆ-4. 5t 2ˆj +6t 3k

ˆ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴v =d r

/dt =-R sin t i ˆ+R cos t ˆj +2k

ˆ a =d v /dt =-R cos t i ˆ-R sin t ˆj . ∴v |t =0=R ˆj +2k ˆ, a |t =0=-R i

ˆ, v |t =π/2=-R i ˆ+2k ˆ, a |t =π/2=-R ˆj

⑵v =d r

/dt =3i ˆ-9t ˆj +18t 2k

ˆ, a =d v /dt =-9ˆj +36t k

ˆ； v | t =0=3i ˆ, a |t =0=-9ˆj , v |t =1=3i ˆ-9ˆj +18k ˆ, a |t =1=-9ˆj +36k

ˆ

2.3.1图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下

的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质

点的位置坐标，质点位于坐标t(s) 原点的时刻） 解：质点直线运动的速度 v =dx /dt ，在x-t 图像中为曲

线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x 轴正向夹角为α，则速度v =tg α=∆x /∆t

对于a 种运动：

v =tg 120︒=-m /s , x |t =0=20m , t |x =0=20tg 30︒=11. 55s

对于b 种运动：

v =tg 30︒=/3ms -1, x |t =0=10m , t |x =0=-10/tg 30︒≈-17. 32s

对于c 种运动：

v =tg 45︒=1ms -1, t |x =0=25s , x |t =0=-25tg 45︒=-25m

2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点

速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：x =a cos t , v x =dx /dt =-a sin t , a x =dv x /dt =-a cos t 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

-a ≤x ≤a , -a ≤v x ≤a , -a ≤a x ≤a

跳伞运动员的速度为v =β1-e -qt

2.3.31+e

-qt

，v 铅直向下，β,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t →∞）速度、加速度的变化趋势。

解：

dv d 1-e -qt a =dt =βdt (1+e

-qt

) -qt -qt -qtt -qt

=β(1+e ) qe -(1-e )(-qe )

2βqe -qt (1+e -qt ) 2=

(1+e -qt ) 2

因为v>0，a >0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t →∞时，

v →β，a →0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。

2.3.4 直线运行的高速列车在电

子计算机控制下减速进站。列车原运v

行速率为v 0=180km/h，其速率变化规

律如图所示。求列车行至x=1.5km时

x(km)

的加速度。

解：v =v 0cos(πx /5), dv /dx =-5v 0sin 5x .

a =

⋅12

2

dx dt =v dx =-πv 0sin πx

，将v 0=180km/h,x=1.5km代入 a =-1

2⨯3. 14⨯1802⋅sin 108︒=-9676km /h =-0. 75m /s 2

2.3.5在水平桌面上放置A 、B 两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C

点与桌面

固定，已知物体A 的加速度a A =0.5g，求物体B 的加速度。

解：设整个绳长为L ，取图示坐标o-x ，则3x A +(-4xB ) = L

对时间求两次导数，3a A =4a B ，所以a B = 3a A /4=3×0.5g/4 = 3g/8

2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. ⑴将坐标原点沿o-x 正方向移动2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s ，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？

解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a =dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x 轴正向移动2m ，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v

⑵将计时起点前移1s ，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a 不变。

2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a x = 2t (cms-2) ，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v 0=0；⑵初速度v 0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。

v x

t

解：dv x =a x dt =2tdt ,

t

2

v ⎰dv x =2⎰tdt , v x =v 0+0

0x

t

t

dx =v t 2) dt , ⎰dx =v 3x dt =(v 0+0⎰dt +⎰t 2dt , x =v 0t +1t 0

⑴v 2

0=0时，v x =t ,

x =3t 3; x (6) =23

⨯6=72cm ∆x =x (6) -x (0) =72m 路程S =∆x =72cm

⑵v 0=-9时，v x =t 2

-9,

x =13

t -9t

∆x =x (6) -x (0) =18cm

令v x =0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x 轴反向运动，3秒后质点沿x 轴正向运动，所以路程：

S =|x (3) -x (0) |+|x (6) -x (3) |=x (6) -2x (3)

=18-2(3

⨯33

-9⨯3) =18+36=54cm

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：v x = -3 sint，求t 1=3至t 2=5时间内的位移。

x 5

解：dx =v x dt =-3sin tdt ,

5

3x ⎰dx =-⎰sin tdt

3

3

∆x =x 5-x 3=3(cos5-cos 3) =3. 82m

2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

a x = -Aω2cos ωt. 在t=0时，v x =0,x=A，其中A, ω均为正常数。求此质点的运动学方程。

解：a x =dv x /dt =-A ω2cos ωt ,

dv x =-A ω2cos ωtdt ，

⎰

v x

t

t 0

dv x =-A ω2⎰0cos ωtdt =-A ω⎰0

cos ωtd (ωt )

v x =-A ωsin ωt =dx /dt , dx =-A ωsin ωtdt

⎰

x t

t

A

dx =-A ω⎰0

sin ωtdt =-A ⎰0

sin ωtd (ωt )

x -A =A cos ωt |t 0=A (cosωt -1), x =A cos ωt

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v 0，且坐标x=0，假设其加速度为 a x = - bvx 2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

v x

t

解：dv 2

x =a x dt =-bv x dt , v x dv x =-b ⎰

dt , -v

-1|v x

x v 0

=-bt

v ⎰

-2

11+v 0v -1=-bt , 1v =1

+bt , bt , v v 0x =

0v x x v 0v 01+v 0

bt dx =v v 0dt x t

v 0dt 1t d (1+v 0bt )

x dt =1+v , ⎰dx =⎰=⎰,

0bt 001+v 0bt

b 01+v 0bt x =1

b

ln(1+v 0bt )

2.4.5在195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x ，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：a 1=a 2=-0. 2m /s 2

初始条件：t =0时，x 1=x 10=0, x 2=x 20=195v 1=v 10=18km /h =5m /s , v 2=v 20=-5. 4km /h =-1. 5m /s

根据匀变速直线运动公式：

x

a 1

x =v 2. 1t 2

110t +2a 1t =5t -0x 195+v 22 2=20t +2a 2

t =195-1. 5t -0. 1t ⑴令x 1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v 1=5-0.2t，令v 1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s 前是在上坡，但25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：

S 1=|x 1(25) -x 1(0) |+|x 1(30) -x 1(25) |=2x 1(25) -x 1(30) =2(5⨯25-0. 1⨯252

) -(5⨯30-0. 1⨯302

) =65m

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s 内走过的路程：

S 2=|x 2(30) -x 2(0) |=x 2(0) -x 2(30) =195-60=135m

2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间? 火车做匀加速运动。

解：设每节车厢长为L ，

以地为参考系，以人所在点为

原点建立图示坐标o-x ，以第一

节车厢的前端点为研究对象，

t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：

x =12at

，令x=L，求得：a =2L (∆t ) 2=2L 22

24

2

，∴x =Lt /24 令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t 6：

6L =Lt 2/242, t 2=6⨯242, t =t 6=6

令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t 7：

7L =Lt 2/242, t 2=7⨯242, t =t 7=7

因此，第7节车厢通过人所需时间：

∆t =t 7-t 6=24(7-) =4. 71s

2.4.7 在同一铅直线上相隔h 的两点以同样速率v 0

上抛二石子，但在高处的石子早t 秒被抛出，求此二石0子何时何处相遇？

解：以地为参考系，建立图示坐标o-y 。据题意，

设t=0时，上面石子坐标y 1=h, 速度v 1=v0；t=t0时，下面石子坐标y 2=0，v 2=v0

解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知

y h +v t -2

1=02gt

⑴

y v -t 2

2=0(t 0) -2g (t -t 0) ⑵

令y 1

2

1=y 2, 有h +v 0t -gt =v 0(t -t 0) -1

g (t -t 2

0)

求得相遇时间t =h

gt +v 0+t 0，代入⑴或⑵中，可求得

0g 22

y =1v 2相遇时石子坐标0h 12

2[h +g -gt 2

-0

4gt 0]解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分

得到⑴、⑵，然后求解。

2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：h =

2

gt 2，可求得从最高出落到

地板所需时间：t =2g /h =2⨯9. 8/0. 5≈0. 32s ，所以小孩做

竖直上抛所需时间为0.64s ，在此时间内电梯对地下落距离：

L = 1.0×0.64 = 0.64 m

2.5.1质点在o-xy 平面内运动, 其加速度为a =-cos t i ˆ-sin t ˆj ，位置和速度的初始条件为：t=0时，v =ˆj , r =i

ˆ

，求质点的运动学方程并画出轨迹。

解：

d v =a dt =(-cos t i ˆv t t

-sin t ˆj ) dt , ⎰d v =-i ˆ⎰cos tdt -ˆj ⎰sin tdt

ˆj

v =ˆj -sin t i ˆ+(cost -1) ˆj =-sin t i ˆ+cos t ˆj

r

t

t

d r =v dt =(-sin t i ˆ+cos t ˆj ) dt , ⎰d r =-i ˆ⎰sin tdt +ˆj ˆi

⎰cos tdt 0

r =i ˆ+(cost -1) i ˆ+sin t ˆj =cos t i ˆ+sin t ˆj

∴x =cos t , y =sin t x 2

+y 2

=1

x

2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A 、B 两点分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A 、B 两点间的距离。已知小球在A 点的发射速度v A =9.8米/秒。

解：以A 点为原点建立

图示坐标系，取发射时刻为

计时起点，两点间距离为S ，

初始条件如图所示。

据斜抛规律有：

x A =v AO cos 30︒t

⑴

x B =v BO cos 60︒t +S ⑵v Ay =v AO sin 30︒-gt ⑶

v

By =v BO sin 60︒-gt

⑷

满足题中条件，在最高点相遇，必有v Ay =vBy =0,xA =xB

令⑶, ⑷=0, t =v AO sin 30︒/g ⑸, v BO =v AO sin 30︒/sin 60︒⑹令⑴=⑵，得S =(v AO cos 30︒-v BO cos 60︒) t ⑺

2

把⑸, ⑹代入⑺中得：S =v

AO 2g

(cos30︒-0. 5ctg 60︒) =2. 83m

2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.

解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x ，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：

y =xtg α-

g 2

x 2v cos 2

x

0α

本题，α=60°，v 0=150m/s，A 点坐标x A ,y A 应满足轨迹方程，所以： y g 2

A =x A tg 60︒-

2v 2

2

-

2g 2

0cos 60︒

x A =x A v 2

x A ①

另外，根据图中几何关系，可知：x OA cos 30︒=3

A =2

OA

y A =OA sin 30︒=1OA

，代入①中，有： OA =3g

2

2v 2

02⨯15021

322OA -2v 2

OA , OA ==0

3g 3⨯9. 8≈1531m 2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m 的高度投放

炸弹，炸弹在离开飞机5.0s 时击中目标，不计空气阻力：⑴轰炸机的速率是多少？⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？

解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,

设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v 0. 由于炸

弹在飞行过程中的加速度a

=g ˆj ，所以炸弹在

x 方向做匀速直线运动，在y 方向做竖直下抛运动，有

v x =v 0sin 53︒①v y =v 0cos 53︒+gt ②x =v

0sin 53︒t ③

y =v 0cos 53︒t +2

2

gt

④

⑴令t=5.0s，y=763m，由④可求得轰炸机的速率：

y -0. 5gt 2763-0. 5⨯9. 8⨯52

v 0=cos 53︒t =0. 6081⨯5

≈212. 86m /s

⑵将v 0代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：

v x =212. 86sin 53︒=170m /s

令t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：

v y =212. 86cos 53︒+9. 8⨯5=177. 1m /s

2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：⑴抛射体达到最大高度且正以速率v 沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是l ；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。问：⑴抛射体命中点到观测者的距离D 等于多少？⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？

解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy ，抛体以速度v 做平抛运动. 设命中时间为t 1，由自由落体公式：

l sin θ=gt 2

测中2

1, t 1=2l sin θ/g

者点

命中点x 坐标为：x 1=vt 1=v 2l sin θ/g ，由图中几何关系，观测者的x 坐标：x 2=l cos θ。所以，观测者与命中点间的距离：

D =|x 2-x 1|=|l cos θ-v 2l sin θ/g |

当x 1

2l sin θ

时，

则抛体在未达到观察员前即命中目标。

当x g

1>x2，即 v >l cos θ

2l sin θ

时，则抛体在飞越观察员后

才命中目标。

2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s ），t=0时，列车在图中O 点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O 点以后前进至1200m 处的速率及加速度。

解：S=80t-t2 ① v=dS/dt=80-2t ②

令S=1200，由①可求得对应时间： t 2-80t +1200=0, 求得t =60s , 20s

将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即列车前进到1200m 处的速率。

a τ=dv /dt =-2m /s 2, a 2n =v /r =402/1500=1. 067m /s 2a =a 2

2

2τ+a n =(-2) +1. 0672=2. 267m /s 2a 与v

所成夹角：α=arctg a n a =arctg (1. 0672

) ≈152︒

τ-

2.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g 。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？

解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s ，t=0时，s =0, v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意a τ= -2g ，v=v0+aτt=v0 -2g t ，a n =v2/R=(v0 –2gt) 2/R。∴a=(aτ2+an 2) 1/2=[4g2+(v0 –2gt) 4/R2]1/2，显然，t=0时，a 最大， a max =

4g 2+v 4

0/R 2=22. 1m /s 2

2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m ，斗车速率为50km/h，切向加速度a τ=0.4g，求斗车的加速度。

解：a 2

τ=0. 4g =0. 4⨯9. 8=3. 92m /s

a 2/ρ=(50⨯103

) 2

n =v /150=1. 286ms -23600

a

=a ττ

ˆ+a n n ˆ=3. 92τˆ+1. 286n ˆ a =a 2

2

2τ+a n =3. 92+1. 2862=4. 126m /s 2 加速度a

与切向单位矢量τˆ夹角：

θ=arctg

a n 1. 286τ

=arctg

=18. 16︒

2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15º角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45º角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。

解：v 机地=v 机风+v

风地，由矢量图

可知，v 机地sin 30︒=

v 机风sin 135︒=v

风地sin 15︒，其

中，v 风地=100km/h=27.78m/s，∴可求得：

v sin 135︒机风=

sin 15︒v 75. 89m /s , v sin 30︒

风地≈机地=sin 15︒

v 风地≈53. 67m /s

2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射

出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。

解：以卡车为参考系，设抛体初速为v 0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。

取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t ⑴ 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入⑴中，可求得 v 0 = 9.8 m/s.

2.8.4 河的两岸互相平行，一船由A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min 到达对岸C 点。若船从A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B 点，需要12.5min 。已知BC=120m. 求：

⑴河宽L ；⑵第二次渡河时船的速度u

；⑶水流速度v.

解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式

v v , v 船岸=v 船水+v 水岸，在这里，v 水岸=船水=u , 令v 船岸=ω

则上式可改写为：ω =u +v

第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图

由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t1=120/600=0.2m/s, ⑴ u = L / t1 ⑵, L = u t1 ⑶. 由第二次渡河矢量图可知：

ω2 = L / t2 ⑷， cos α= ω2/ u ⑸, v = u sin α ⑹. 把⑵、⑷代入⑸，求得 cos α=t1/t2=600/750=4/5, sin α=(1-cos2α) 1/2=3/5 ⑺

把⑴、⑺代入⑹，求得 u = 0.2×5/3 = 1/3 (m/s). 再把u 的数值代入⑶，求得L = 600/3 = 200(m).

答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos(4/5)=36º52’.

2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。

解：由相对运动公式：v

1=v 12+v 2，

v =v 121-v 2，显然矢量三角形为等边三角形，

所以，v 12=20km/h，方向向东偏南60°