初三 数学 反函数

反比例函数

考点1：反从例函数的意义及其图象和性质

一、考点讲解：

k

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y= (k为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．

x k

2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k ≠0；（2中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；

x

（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质．

k

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质（见下表）①当k

x

＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．

4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围

是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 二、经典例题剖析：

k

【例题1－1】函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l 中的（ ）

x

111k

【例题1－2】若M （－ ，y 1），N （－，y 2），P （，y 3）三点都在函数y= （k

242x 为（）

A ．y 2 ＞y 3＞y 1 B 、y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3 ＞y 1＞y 2 D 、y 3＞y 2＞y 1

3

【例题1－3】点P 既在反比例函 数y=－ （x ＞0）的图象上，又在一次函数y =－x —2的图象上，则P 点的坐标是（

x 三、针对性训练：

1．若反比例函数y=-2/x的图象经过（a ，－a ），则a 的值为（ ） A 2 B 2 C ．±2 D ．±2

2．已知一次函数y= kx+b的图象经过第一、二、四象限，则y= A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 4

3．函数y=－的图象与x 轴交点的个数是（ ）

x A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．不能确定

4．三角形的面积为1时，底y 与高x 之间满足的的数系的图象是图1－5－5中的（ ）

kb

反比函数的图象在（ ） x

5．已知力F ，物体在力的方向上通过的距离s ，力F 所做的功W ，三者之间有以下关系式成立：W=Fs，则当W 为定值时，F 与s 的

图象大致是图1－5－6中的（ ）

6 若函数y=(k

-2) x k

2

-5

是反比例函数，则k=___．

8

7 点A(a，4) 在函数y= 的图象上，则a 的值为___

x

3

8 函数y= 的自变量x 的取值范围是___________；当x ＜0时，y 随x 的增大而___．

x k

9如图1－5－7所示为反比例函数y= 的图象，那么k ____

x 10 已知函数 y=（m －1）x

2

m 2-m -1

，当m=_____时，它的图象是双曲线．

11 如图l －5－10所示，正比例函数y =kx(k＞0）与反比例函数y= 2/X的图象交于A 、C 两点，过A 点作 为x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．

考点2：反比例函数的解析式求法

一、考点讲解：

k

1．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式 y= 中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因

x k

此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y= 中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式．

x 2．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

k

①设所求的反比例函数为：y= (k≠0) ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代人法解待定系数k 的

x k

值；④把k 值代人函数关系式y= 中

x 二、经典例题剖析：

【例题2－1】写出一个图象位于一、三象限的反比例函数的表达式y=_________

【例题2－2】老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 k

【例题2－3】如图1－5－11所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k≠0）的图象交于M 、N 两点．

x ⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．

三、针对性训练：

1．如图1－5－l2所示，函数图象①②③的关系式应为（ ）

56

56A . y =-, y =x +2, y =-

2x C . y =-2x , y =-x +2, y =x

5656B . y =x , y =-x +2, y =D . y =-x , y =x -2, y =-2x 2x

2．已知点（x 1，－1），（x 2，－

825

），（x 3，－25），在函数y=-的图象上，则下列关系式正确的是（）

x 4

A ．x 1

C ．x 1＞x 3＞x 2 D ．x 1

3．老师在同一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数y =－x 的图象，请同学们观察有什么特点，并说出来．同学甲：

与直线y =－x 有两个交点；同学乙：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5，请你根据同学甲和同学乙的说法写出反比例函数的解析式

4．如图1－5－l3所示，已知一次函数 y= kx＋b （k ≠（1）的图象与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，且与反比例函数 y=

0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为 D ．若OA=OB= OD ＝1．（1）求点 A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

m

（m ≠x

5．如图1－5－14所示，△AOC 的面积为6，且CB ：BA=3：1，求过点A 的双曲线的表达式．

6．如图1－5－15所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点．如果A 点的坐标

为（2，0），点 C 、D 分别在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD．试求一次函数和反比例函数的解析式．

考点3：用反比例函数解决实际问题

一、考点讲解：

1、反比例函数的应用注意事项：

⑴ 反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识，解决实际问题时，要注意将实际问题转化成数学问题； ⑵ 针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ⑶ 列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围． 二、经典例题剖析：

【例题3－1】为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后y 与x 成反比例（如图1－5－16所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题：

⑴药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为_______，自变量x 的取值范围是_________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为___________． ⑵研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1．6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室；

⑶研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病毒，那么此次消毒有效吗？为什么？

【例题3－2】某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如图1－5－17所示：

（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？

三、针对性训练：

1．小华的爸爸早晨骑自行车带小华到镇子上去赶集，他们的速度是8千米／时，用了2小时赶到． ⑴ 小华家到镇子的距离是多少？

⑵ 如果回来时，让小华坐汽车，汽车的速度为v 千米/时(v＞8) ，那么回家的时间t(小时）将如何变化？ ⑶ 写出t 与V 之间的关系式；

⑷ 如果准备0．5小时赶回家，那么，汽车的速度至少为多少？

2．“丽园”开发公司计划生产一批产品，需要粗加工后，才能投放市场，甲工厂每天可加 160件，8天可以完成生产任务． ⑴ 请问这批新产品的数量是多少？

⑵ 如果由乙工厂来加工，每天可加工M 件，那么，请写出乙工厂所需天数n 与M 之间的关系式． ⑶ 如果准备5天将所有产品加工完，那么乙工厂每天至少加工多少件？

k

3．如图l －5－20所示，已知点（1，3）在函数y= k ＞0）的图象上，矩形ABCD 的边 BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函

x

k

数y= ( k＞0）的图象经过A 、E 两点，点E 的横座标为m.

x （1）求 k 的值；

（2）求点C 的横坐标（用 m 表示） （3）当∠ABD=45°时，求m 的值．

k

4、（探究题）如图1－5－28所示，点P 是反比例函数y= 上的一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为E ．当P 在其图象上移动时，△POE

x 的面积将如何变化？为什么？对于其他反比例函数，是否也具有相同的规律？ 练习

1、已知反比例函数 y=

a-2

的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是（ ） x

A 、a ≤2 B 、a ≥2 C 、a ＜2 D 、a ＞2

1

2、如图l －5－22，A 、C 是函数y= 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记

x Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2 ，则（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1 =S2

D 、S 1和S 2的大小关系不能确定

k

3、关于y= (k为常数) 下列说法正确的是（ ）

x

A ．一定是反比例函数 B ．k ≠0时，是反比例函数

C ．k ≠0时，自变量x 可为一切实数 D ．k ≠0时, y的取值范围是一切实数 4、已知y 与（2x+1）成反比例，且当x=1时，y=2；那么，当x=0时，y=________ 5、若y =

m x m -2

2

是反比例函数，则m=___.

k 1

6、已知反比例函数y= 的图象经过点（4，），若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2，m) ，求平移后

x 2的一次函数图象与x 轴的交点坐标.

7、某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：

⑴请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； ⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到0．01万元）

8、某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至 0．55～0．75元之间，经测得，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与(x －0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8． （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％［收益一用电量×（实际电价一成本价）】

9、如图，一次函数

y=-

x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB•为边在第一象限内作等边△ABC ． 3

1），请用含a 的式子表示四边形ABPO 的面积，•并求出当△ABP 的面积2

（1）求△ABC 的面积．

（2）如果在第二象限内有一点P （a ，与△ABC 的面积相等时a 的值．