考研 线性代数 最新模拟题三
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1．设向量组α1=（1，0，1，0）T ，α2=（2，-1，2，1）T ，α3=（1，-1，1，1）T ， α4=（2，-1，1，1）T ，
α5 =（1，-2，1，2）T ，则该向量组的极大线性无关组是（ ）
A 、α1，α2，α3 B 、α1，α2，α4 C 、α1，α2，α5 D 、α1，α2，α3，α5
T
2．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX =b 的3个解向量，且秩（A ）=3，α1=（1，2，3，4），α2+α3
=（0，1，2，3）T ，C 表示任意常数，则线性方程组AX =b 的通解X =（ ） A 、（1，2，3，4）T +C （1，1，1，1）T B 、（1，2，3，4）T +C （0，1，2，3）T C 、（1，2，3，4）T +C （2，3，4，5）T D 、（1，2，3，4）T +C （3，4，5，6）T 3．设A 与B 都是n 阶方阵，则必有（ ） A 、|A +B |=|A |+|B | B 、AB =BA
C 、|AB |=|BA | D 、（A +B ）-1=A -1+B -1 4．设A 、B 为n 阶方阵，A 相似于B ，则有（ ）
A 、（λI -A ）=(λI -B) B 、A 和B 有相同的特征向量
C 、A 和B 相似于同一个对角矩阵 D 、对任意常数t ，（tI -A ）与（tI -B ）相似 5．向量组a 1,a 2, …,a S (S≥2) 线性相关的充分必要条件是A ．a1,a 2,…,aS 中至少有一个零向量； B ．a1,a 2,…,aS 中至少有两个向量成比例；
C ．a1,a 2,…,aS 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D ．a1,a 2,…,aS 中每一个向量都可由其余向量线性表示。
6．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次方程组，则下述结论中正确的是 。
A ．若AX=0仅有零解，则AX=b有唯一解； B ．若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多解； C ．若AX=b 有无穷多解，则AX=0仅有零解； D ．若AX=b 有无穷多解，则AX=0有非零解。
7.A 为n 阶方阵，且A 2-2A-4I=0，则（A+I）-1= 。 A.A-3I B. A+3I C. A+I D.A-I
8. 若I+A可逆，I-A不可逆，那么，关于A 的特征值能做出怎样的断语？
A.-1是A 的特征值 B.±1都不是A 的特征值 C. ±1都是A 的特征值 D.1是A 的特征值，-1不是
二、 填空题(每小题3分，共24分)
1．设A ，B ，C 均为n 阶方阵，且ABC=I。则B T （CA ）T 。 2.设λ=3是
⎛1⎞
A ≠0的矩阵A 的一个特征值，则⎜A 2⎟
⎝3⎠
−1
有一个特征值等于 。
，A T B ，A *B *中一定可逆的3．设A ，B 是两个n 阶可逆矩阵，下列矩阵A +B ，A -B ，AB ，AB -1，KA （K ≠0）
有 。
⎡12−11⎤
4．设A =⎢⎥，r (A )=2，则a = 。 20a 0⎥⎢
⎥⎢0−45−2⎦⎣
5. 设A 为四阶方阵，A =−
1*
, A 为A 的伴随矩阵，则∣3A*∣2
6．设α1=[1，2，0，3]T ，α2=[2，7，1，1]T ，α3=[3，0，-2，t ]T ，则t = 时，{α1，α2，α3}线性相关。
⎡154⎤-1
7．已知A =⎢⎥，则（A *） 024⎢⎥
⎢⎣131⎥⎦
8．若四阶方阵A 的λ是0，1，2，3，则r(A)= 。
三、计算题(共52分)
1． 求下列行列式的值（8%）。
4−111−2 3
−234242
2．解矩阵方程
2
5 12
⎡010⎤⎡1−1⎤
，B =。 已知AX +B =X ，且A =⎢⎥⎢20⎥，求X （10%）−111⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎣−10−1⎦⎣5−3⎥⎦
3．求下列齐次线性方程组的全部解(10%)。
⎧x 1−2x 2+x 3−x 4+x 5=0
⎪2x +x −x +2x −3x =0 ⎪12345⎨
⎪3x 1−2x 2−x 3+x 4−2x 5=0⎪⎩2x 1−5x 2+x 3−2x 4+2x 5=0
4．解下列非齐次线性方程组（10%）。
⎧ x 1 + 3x 3 + x 4=2⎪⎪⎨
x 1- 3x 2 + x 4
=−1
+ 7x ⎪2x 1+ x 23+2x 4=5⎪⎩4x 1+2x 2+14x 3 =6
5．设A =⎡⎢324⎤⎢202⎥ ⎢⎣423⎥
⎥⎦
（1）求A 的特征值和特征向量；
（2）A 能否对角化？若能，求出可逆矩阵P ，使得P -1AP =Λ（14%）。