复合函数(知识点总结.例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性

【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义

如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u ) ，u =g (x ) ，那么y 关于x 的 函数y =f (g (x )) 叫做函数y =f (u ) （外函数）和u =g (x ) （内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。 例如：函数y =2x

2

+1

是由y =2u 和u =x 2+1 复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数y =f (g (x )) 中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g (x ) 的值域。 ⑶f (g (x )) 与g (f (x )) 表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域

① 已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f (g (x )) 的定义域的方法：

已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f (g (x )) 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即

u ∈(a , b ) ，g (x ) ∈(a , b ) 。通过解不等式a

② 已知f (g (x )) 的定义域为(a ，b ) ，求f (x ) 的定义域的方法： 若已知f (g (x )) 的定义域为(a ，b ) ，求即x ∈(a ，b ) 。先利用a

3．求有关复合函数的解析式 ①已知②已知

f (x ) 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，

x

f (x ) 求复合函数f [g (x )]的解析式，直接把f (x ) 中的x 换成g (x ) 即可。 f [g (x )]求f (x ) 的常用方法有：配凑法和换元法。

f [g (x )]中把关于变量x 的表达式先凑成g (x ) 整体的表达式，再直接把g (x ) 换

配凑法：就是在成x 而得

f (x ) 。

1

换元法：就是先设g (x ) =t ，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入中消去x 得到

4. 求复合函数的单调性

5. 复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

f [g (x )]

f (t ) ，最后把f (t ) 中的t 直接换成x 即得f (x ) 。

一、复合函数定义域解析式

例1 设函数f (x ) =2x +3, g (x ) =3x -5，求f (g (x )), g (f (x )) ．

例2 已知f (2x +1) =x 2-2x ，求f (22+1)

例3 ①已知 f (x ) =x 2+1, 求f (x -1) ；

②已知 f (x -1) =(x +1) 2+1，求f (x ) ．

例4 ⑴若函数f (x ) 的定义域是[0，1]，求f (1-2x ) 的定义域；

⑵若f (2x -1) 的定义域是[-1，1]，求函数f (x ) 的定义域； ⑶已知f (x +3) 定义域是[-4, 5)，求f (2x -3) 定义域．

2

1

，求f (x ) ； x

11

②已知f (x -) =x 2+2，求f (x +1) ．

x x

例5 ①已知f (x -1) =x +

例6 ①已知f (x ) 是一次函数，满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ；

1

②已知3f (x ) +2f () =4x ，求f (x ) ．

x

二、复合函数单调性及其值域 ①初等函数复合求单调区间与值域

⎛1⎫

例1 已知函数y = ⎪

⎝3⎭

变式练习1

x 2+2x +5

，求其单调区间及值域。

1. 求函数f (x ) =0. 51+2x -x 的单调区间及值域

2. 求函数y =4

例2 求f (x ) =5-4x -x 2的单调区间及值域

3

x -12

2

+3⋅2x +5的单调区间和值域.

变式练习2 求函数f(x)=2

1

例3 求y =(log1x ) 2-log 1x +5在区间[2,4]上的最大值和最小值

222

1-x 2

的单调区间及值域

变式练习3

1. 求函数f (x ) =log 2(5-4x -x 2) 的单调区间及值域

2. 求函数y =log 2

x x

·log 2(x ∈[1, 8])的最大值和最小值. 24

②含参数的复合函数单调性与值域问题

例4 已知函数f (x ) =log a (3x 2+5x -2) （a >0且a ≠1）试讨论其单调性。

例5 求函数y =log a (2-ax -a 2x ) 的值域。

4

变式练习4

1. 讨论函数y =log a (a x -1) 的单调性其中a >0，且a ≠1．

③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围

例6 设函数f (x ) =lg(ax 2+2x +1) ，若f (x ) 的值域为R ，求实数 的取值范围．

例7 已知y =log a (2-ax ) 在区间[0, 1]上时减函数，求a 的取值范围.

1

例8 若函数y =log a (x 2-ax +3) 在区间(-∞, a ]上为减函数，求实数a 的取值范围.

2

变式练习5 已知函数y =2-x

2

+ax -1

在区间(-∞, 3)上是增函数, 求a 的范围.

解:令u =-x 2+ax -1, 则原函数是由u =-x 2+ax -1与y =2u 复合而成. 原函数在区间(-∞, 3)上是增函数, 而外层函数y =2u 始终是增函数, 则易知内层函数u =-x 2+ax -1在区间(-∞, 3)上也是增

5

a ⎤a ⎤a ⎛⎛

函数. 而实质上原函数的最大单调增区间是 -∞, ⎥, 由(-∞, 3)⊆ -∞, ⎥得≥3, 即a ≥6.

2⎦2⎦2⎝⎝

【过关检测】

1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

2x -5x +4; （2）g (x ) =(1) x +4(1) x +5 （1）f (x ) =

42

⎛1⎫

2. 求下列函数的单调递增区间： （1）y = ⎪

⎝2⎭

6+x -2x 2

;(2) y =2

x 2-x -6

.

3. 已知函数f (x ) =log a x (a >0, a ≠1) ，如果对于任意x ∈[3, +∞) x 都有f (x ) ≥1成立，试求a 的取值范围.

4. 已知函数f (x ) =log a (x 2-ax -a ) f （x ）=log2(x-ax-a) 在区间(-∞, 1-3]上是单调递减函数. 求实数a

2

的取值范围.

5求函数y =

1log 0. 5(x -2x -3)

2

的单调区间

【考试链接】

-x -y

1. （2008山东临沂模拟理，5分）若a >1，且a -log a x

A ．x >y >0 B ．x =y >0 C ．y >x >0 D ．无法确定

6

2. 函数y =e |lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）

3．（2008江苏南通模拟，5分）设f (x ) =o l g

3

3

a

（a >0且a ≠1），若f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ) =1（x i ∈R +， x

3

，则f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ) 的值等于________。 i =1, 2, , n ）

24．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log（的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 2kx +4kx +3） 5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：

x

①函数y =a （a >0且a ≠1）与函数y =log a a x （a >0且a ≠1）的定义域相同；

②函数y =x 和y =3的值域相同；

3x

11(1+2x ) 2

③函数y =+x 与y =都是奇函数；

22-1x ∙2x

④函数y =(x -1) 2与y =2x -1在区间[0, +∞) 上都是增函数。

其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）

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