高二文科数学

高二数学文科周练（10）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1．集合A = {x 2≤x

A ．∅

B ．{x x

C ．{x x ≥5}

D ．{x 2≤x

2．已知函数y =f (x +1) 的定义域是[-2,3]，则y =f (2x -1) 的定义域是

A ．[-1,4]

5

B ．[0，] C ．[-5,5]

2

D ．[-3,7]

3．下列说法错误的是 ．．

A ．如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题. B ．命题p ：∃x ∈R , x 2-2x +4

2

x

2y 2x , 则双曲线的离心率为 4．已知双曲线2-2=1的一条渐近线是y =a b

3

A ．

3

2

2

B ．

2

C ．2 D ．3

5．设a , b , c ≥0, a +b +c =3，则ab +bc +ca 的最大值为

A ．0

B ．1 C ．3

D ．

3

6．方程e x -x -2=0的根所在的区间为(k , k +1)(k ∈Z ) ，则k 的值为

A ．-1或0

3

B ．-2或1 C ．-1或1 D ．-2或2

7．曲线y =x -2x 在点(1,-1) 处的切线方程是

A ．x -y -2=0 B ．x -y +2=0 C ．x +y +2=0 D ．x +y -2=0

8．已知a , b , c 为三角形的三边，设M =

与Q 的大小关系是

A ．M

a b c a +b +, N =, Q =, 则M ，N 1+a 1+b 1+c 1+a +b

B ．M

x 2y 2

+=1的焦距是 9．曲线2

m +12m 2-4

A

．B ．4

C ．8

D ．与m 有关

10. 设不等的两个正数a , b 满足a 3-b 3=a 2-b 2, 则a +b 的取值范围是

A ．(1,

4

) 3

B ．［1,

4

］ 3

C ．(0,

4

) D ．(1,+∞) 3

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11．抛物线y =-4x 2的准线方程是．

12．命题“∀x ∈R , ax -2ax +3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .

2

⎧x 2-4, x ≤213．已知函数f (x ) =⎨，若f (x 0) =8, 则x 0=．

2x , x >2⎩

x 2y 2

+=1所截得的线段的中点，则l 的方程是14．若点(4,2) 是直线l 被椭圆

369

15．若a >b >0，m >0，n >0，则

a b b +m a +n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a +m b +n

16．数列{a n }是公差为d 的等差数列，函数f (x ) =(x -a 1)(x -a 2)(x -a 3)(x -a 4), 则

f '(a 1) +f '(a 2) +f '(a 3) +f '(a 4) =．

17．对于定义在R 上的函数f (x ) ，有下述命题：

①若f (x ) 是奇函数，则f (x -1) 的图象关于点A (1,0)对称； ②若函数f (x -1) 的图象关于直线x ＝1对称，则f (x ) 为偶函数； ③若对x ∈R ，有f (x -1) ＝-f (x ) ，则2是f (x ) 的周期； ④函数y ＝f (x -1) 与y ＝f (1-x ) 的图象关于直线x ＝-1对称．

其中正确命题的序号是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，满分65分。将答案写在答题卡指定区域内，写出必要的文字说明、演算或证明步骤. 18．（本小题满分12分）

如下图所示：图1是定义在R 上的二次函数f (x ) 的部分图象，图2是函数

g (x ) =log a (x +b ) 的部分图象．

(1)分别求出函数f (x ) 和g (x ) 的解析式； (2)如果函数y ＝g (f (x )) 在区间[1，m ) 上单调递减， 求m 的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知动点P

与平面上两定点A (B 连线的斜率的积为定值-(1)试求动点P 的轨迹方程C ；

(2)设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M ．N

两点，当|MN |=

20. （本小题满分13分）

已知函数f (x ) =x 3+ax 2+2bx +c 在R 上可导．

(1) 若f (x ) 在区间[-1,2]上为减函数，且b ＝3a ，求a 的取值范围； b －2

(2) 若f (x ) 的极大值点在(0,1)内，极小值点在(1,2)内，求

a －1

12

．

3

l 的方程．

1

312

21. （本小题满分14分）

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x ) ，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：小时，可以不是整数) ． (1)写出g (x ) ，h (x ) 解析式；

(2)比较g (x ) 与h (x ) 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x ) 的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

22. （本小题满分14分）

x 2y 2

已知椭圆2+2=1

a b

(a >b >0)的离心率为14，M 为右顶点，过右焦

2

点F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，直线AM 、BM 与x =4分别交于P 、Q 两点，（P 、Q 两点不重合）． (1) 求椭圆的标准方程；

(2) 当直线AB 与x 轴垂直时，求证：FP FQ =0；

(3) 当直线AB 的斜率为2时，（2）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，

说明理由．

一、 CBDAC BADCA 二、11. y =

1

12. (-∞,0) [3, +∞)

13. -4 14. x +2y -8=0 16

b b +m a +n a 15.

a a +m b +n b

函数f (x ) 的图象过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x ) ＝－2x 2＋4x . „„„„„3分 由图2得，函数g (x ) ＝log a (x ＋b ) 的图象过点(0,0)和(1,1)，

⎧⎧⎪log a b ＝0，⎪a ＝2，⎨故有解得⎨ ⎪log a (1＋b )＝1，⎪⎩⎩b ＝1，

三、18. (1)由图1得，二次函数f (x ) 的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x ) ＝a (x －1) 2＋2，又

所以g (x ) ＝log 2(x ＋1) ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 (2)y ＝g (f (x )) ＝log 2(－2x 2＋4x ＋1) ， 因为函数y ＝log 2(－2x 2＋4x ＋1) 的定义域为

⎛2－626. „„„„„8分

⎝22⎡2＋6. „„„„„10分

所以函数y ＝log 2(－2x 2＋4x ＋1) 的单调递减区间为⎢1，2⎭⎣

又因为y ＝log 2(－2x 2＋4x ＋1) 在区间[1，m ) 上单调递减， 2＋所以1

2

⎛26⎤. „„„„„„„„„„„„„„„„12分

故m 的取值范围为 1，⎥2⎦⎝

19．（1）设点P (

x , y ) 1

=-， „„„„„„„„„3

分

2x 2

+y 2=

1，由于x ≠ 整理得2

x 2

+y 2=1(x ≠ „„„„„„„„„„6分 所以求得的曲线C 的方程为2

⎧x 22

+y =1，消去y 得(1+2k 2) x 2+4kx =0， „„„„„8分 ⎪（2）由⎨2

⎪y =kx +1⎩

-4k

(x 1, x 2分别为M ，N 的横坐标） 2

1+2k

4k 422

|=2, „„„„„10分 由|MN |=+k |x 1-x 2|=+k |

31+2k 2

解得x 1=0, x 2=x 1=0, x 2=得k =±1，

所以直线l 的方程x -y +1=0或x +y -1=0． „„„„„„„12分 20. (1) ∵当a ≠0时，f ′(x ) ＝x 2+ax +2b ＝x 2+ax +6a ，又f (x ) 在[－1,2]上为减函数， ∴f ′(x ) ≤0对x ∈[－1,2]恒成立， „„„„„„„„„„„„„„„2分 即x 2+ax +6a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立，

∴f ′(－1) ≤0且f ′(2)≤0， „„„„„„„„„„„„„„„4分

1⎧

a ≤-⎪⎧1-a +6a ≤01⎪5⇒⎨⇒a ≤-. „„„„„„„„„„„„„6分 即⎨

2⎩4+2a +6a ≤0⎪a ≤-1

⎪⎩2

11

(2) ∵f (x ) 3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(x ) ＝x 2＋ax ＋2b ，

32f ′(0)＝2b >0，⎧⎪

由题意得⎨f ′(1)＝1＋a ＋2b

⎪⎩f ′(2)＝4＋2a ＋2b >0，„„8分

b －2

即为点P (1,2)与可行域内(不包含边界) 任意一点的连线的斜率．

a －1∴k PC

b －21b －2

k P A ，即

4a －1a －1

„„10分

21. (1)由题意知，需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，216－x 人．

4 0003 000

∴g (x ) ＝h (x ) ＝ „„„„„„„„„„„„„„„2分

6x (216－x )·32 0001 000

即g (x ) ，h (x ) (0

3x 216－x

(432－5x )2 0001 0001 000·

(2)g (x ) －h (x ) ＝ „„„„„„„„„6分

3x 216－x 3x (216－x )∵00.

当00，g (x ) －h (x )>0，即g (x )>h (x ) ；

当87≤x

⎧3x 0

∴f (x ) ＝⎨1 000

⎩216－x 87≤x

*

*

2 000

„„„„„„„„„„„„9分

(3)完成总任务所用时间最少，即求f (x ) 的最小值． 当0

∴f (x ) ≥f (86)＝

3×86129

∴f (x ) min ＝f (86)，此时216－x ＝130， „„„„„„„„„„„„„„„„„11分 当87≤x

∴f (x ) ≥f (87)＝＝

216－87129

∴f (x ) min ＝f (87)，此时216－x ＝129， „„„„„„„„„„„„„„„„13分 1 000

∴f (x ) min ＝f (86)＝f (87)，

129

∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86,130或87,129. „„„„„„„„14分 22. （1）由题意有2a =4, a =2

e =

c 1

=, c =1, b 2=3 F (1, 0) „„„„„„„„„„2分 a 2

x 2y 2

+=1 „„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴椭圆的标准方程为 43

（2）直线AB 与x 轴垂直，则直线AB 的方程是x =1

则A （1，

33

）B （1，-）, M (2, 0) „„„„„„„„„„„„„6分 22

AM 、BM 与x=4分别交于P 、Q 两点，A,M,P 三点共线，AM ，MP 共线

可求P (4, -3) ，∴=(3, -3) ， 同理：Q (4, 3) ， FQ =(3, 3)

∴FP ⋅FQ =0 命题成立。 „„„„„„„„„„„„„„„8分 （3）若直线AB 的斜率为2，∴直线AB 的方程为y =2(x -1), 又设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 3, y 3), Q (x 4, y 4)

⎧y =2(x -1) ⎪2

联立⎨x 2 消y 得 19x -32x +4=0 y 2

+=1⎪3⎩4

324

, x 1x 2= 1919

-36

∴y 1y 2=4(x 1-1)(x 2-1) = „„„„„„„„„„„„„10分

19

∴x 1+x 2=

又∵A 、M 、P 三点共线，∴y 3=

2y 12y 2

同理y 4= x 1-2x 2-2

∴FP =(3,

2y 22y 1

) ，FQ =(3, ) „„„„„„„„„„„„„„„„12分

x 2-2x 1-2

4y 1y 2

=0

x 1x 2-2(x 1+x 2) +4

∴FP ⋅FQ =9+

综上所述：FP ⋅FQ =0 „„„„„„„„„„„„„„„„„„14分