微观经济学中的数学方法

西南财经大学

Southwestern University of Finance and Economics

微观经济学中的数学方法

论文题目： 拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用 学生姓名

拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用

摘要：拉格朗日乘数法在经济研究中应用越来越广泛，推动了经济学的快速发展。本文介绍拉格朗日乘数法，并结合实例，对拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用进行探讨与研究。

关键词：拉格朗日乘数法；经济；最优化

一、 引言

在考虑函数的极值问题时，有时会对函数的自变量附加一些限定的条件。例如，求圆f (x , y ) =x 2+y 2错误！未找到引用源。在双曲线xy =3之间最大值，就是f (x , y ) 在限制条件g (x , y ) =xy =3下的最大值，这就是条件极值[1]。对于等式约束条件下的求解极值，结合等式约束下取得最优解的条件，我们一般采用构造拉格朗日函数[2]，使等式约束条件下的求解极值变成无约束求解极值[3]，这样就有利于我们的目标能顺利的进行。于是，就引入了拉格朗日数乘法，用这种方法来求条件极值点。

拉格朗日数乘法是数学分析中的一种基本的数学方法，拉格朗日数乘法对解决条件极值问题有很重要的现实意义。由于科学技术的发展，计算机的普及，拉格朗日数乘数法的应用越来越广泛[4]，特别是在经济学最优化应用当中，如效用最大化、成本最小化等，都需要运用拉格朗日乘数法。

二、拉格朗日乘数法

定义：求目标函数z =f (x , y )在附加条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点，假设拉格朗日函数， L (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ), 其中λ拉格朗日乘子，得到最优化条条：

⎧∂L (x , y ) ⎪∂x =f x (x , y ) +λϕx (x , y ) =0

⎪⎪∂L (x , y ) =f y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0 ⎨⎪∂y

⎪∂L (x , y ) =ϕ(x , y ) =0⎪⎩∂λ

整理方程组，得到(x *, y *)就是函数f (x , y )件ϕ(x , y )=0下的可能极值点。

将拉格朗日函数拓展到一般形式。我们可以构造拉格朗日函数 [1]

[2] 同济大学数学系. 高等数学 下册[M]. 第六版. 北京:高等教育出版社, 2007. 赵春森, 李佩敬. 利用广义拉格朗日方法进行有效的历史拟合和最优化生产[J]. 国外油田工程, 2008, 24(6):9-15.

[3] 杨廷鸿, 林琼, 但琦, 付诗禄. 条件极值与矩阵特征值的结合[J]. 高等数学研究, 2012, 15(4): 31-35.

[4] 吴造林. 拉格朗日乘子法在信息论中的应用[J]. 科技情报开发与经济, 2008, 18(23):108-109.

L (x , λ)=f (x )-∑λi g i (x ) ,

i =1m

x =(x 1, x 2, ⋯, x n ),

λ=(λ1, λ2, ⋯, λm ).

则极值点就在方程组（2.1）

⎧∂y ∂y m ∂y =0⎪=-∑λi (2.1) ∂x ∂x ∂x ⎨i =1⎪g =0, k =1,2, …, n ; l =1,2, …, m ⎩l

的所有解(x , λ)对应的点x 中[5]。

三、拉格朗日乘数法在经济学中的应用

（一） 最佳消费束

假设(p 1, p 2) 来表示某两类货物的价格，m 来表示消费者愿意付出的货币数额，(x 1, x 2) 来表示消费者的消费束，则消费者的预算约束可以为

p 1x 1+p 2x 2≤m .

效用函数u (x 1, x 2) 是为每个可能的消费束指派一个数字的方法。无差异曲线

**与预算线的切点(x 1即消费者的最优, x 2) 为消费者最愿意并且负担的起的消费束，

选择[6][6]。

通过运用拉格朗日数乘法来求解这些问题：

假设拉格朗日函数

L =u (x 1, x 2)-λ(p 1x 1+p 2x 2-m ) ,

其中λ是拉格朗日乘子。得到最优化条件： [5]

[6] 陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析 下册[M]. 第二版. 北京:高等教育出版社, 2008 哈尔·R. 范里安. 微观经济学：现代观点[M]. 第八版. 上海:格致出版社, 上海三联书店, 上海人民出版社, 2011.

⎧∂L ∂u (x 1, x 2) -λp 1=0⎪∂x =∂x 1⎪1

⎪∂L ∂u (x 1, x 2)s . t . ⎨=-λp 2=0. ∂x 2⎪∂x 2

⎪∂L ⎪=x 1p 1+x 2p 2-m =0⎩∂λ

**通过联立方程组，得最优选择(x 1, x 2) .

例：设某人对某两种产品的需求量分别是x 1和x 2，若该人的偏好满足柯布-

道格拉斯效用函数。假定这两种产品的价格分别为p 1和p 2，试问：当消费者消费预算为m 时，消费者选择什么样的组合才能达到最优效用，求解柯布-道格拉斯效用函数在预算约束的条件下消费者的最佳效用，即消费者从他们的预算集选择最偏好的消费束。柯布-道格拉斯效用函数

d u (x 1, x 2) =x 1c x 2 （5.1） （其中c 和d 都是描述消费者偏好的正数，c +d =1）是一种普遍使用的效用函数。

解：对方程（5.1）左右两边取对数，得

ln u (x 1, x 2) =c ln x 1+d ln x 2. （5.2）

假设拉格朗日函数

L =c ln x 1+d ln x 2-λ(p 1x 1+p 2x 2-m ) , （5.3）

然后对方程（5.3）进行求x 1, x 2, λ的偏导，并令偏导为零，得到以下条件：

⎧∂L c ⎪∂x =x -λp 1=0

1⎪1

⎪∂L d =-λp 2=0 ⎨∂x x 2⎪2

⎪∂L ⎪=x 1p 1+x 2p 2-m =0⎩∂λ

分別对式一和式二整理得：

c =λx 1p 1 （5.4）

d =λx 2p 2， （5.5）

将方程（5.4）和方程（5.5）代入式三，得

λ=c +d

m ， （5.6）

整理后，得

*x 1=c m

c +d p 1,

d m

c +d p 2, *x 2=

**所以，(x 1, x 2) 就是消费者的最佳消费束。

（二）最优价格

在计算机工具不断发展、计算范围不断扩大的今天，用拉格朗日数乘法处理生产、经营上的问题已越来越广泛，深受企业管理者的高度重视。

例：经济学中最优价格的模型[7][7]

设成都一间制药厂生产某一拍照感冒药的成本价格是p ，市场对感冒药的需求量是x 假设该厂的生产处于平衡状态，即感冒药的供给量等于市场的需求量。根据市场预测，需求量x 与销售价格p 之间的关系是：

x =Me -ap , 其中，M >0，a >0 (5.7)

这里M 是市场的最大需求量，a 是价格系数（方程(5.7)可以得知，销售价格越高，需求量也就会越少）。另外，该厂某部门对各个生产环节的分析，对每件衣服的生产成本c 有以下估计：

c =c 0-k ln x , 其中k ，c 0>0, x >1 (5.8)

其中c 0是只生产一件衣服时的成本，k 是规模系数（方程(5.8)可以得知，

产量越大也就是销售量越大，会导致每件衣服的成本越低）。

根据上述条件，应如何确定每件衣服的销售价格p ，才能使得该厂取得最大利润。

解：下面先建立一个一般的数学模型。设该制药厂取得的利润是u ，每包感[7] 许爽爽, 马芳. 拉格朗日乘数法在经济学中的应用[J]. 大众科技, 2010(11):75-90.

冒药的销售价格是p ，每件衣服的生产成本是c ，销售量是x ，那么该制药厂的利润为

u = (p -c ) x (5.9)

⎧x =Me -ap

于是上述问题化为求利润函数u 下的极值问= (p -c ) x 在约束条件⎨c =c -k ln x 0⎩

题。所以可以根据上述求解条件极值问题引入拉格朗日函数进行求解. 不妨设拉格朗日函数

L (x , p , c ) =(p -c ) x +λ(x -Me -ap ) +μ(c -c 0+k ln x ) . (5.10)

就得到最优化条件

μ⎧∂L =p -c +λ+k =0()⎪∂x x ⎪⎪∂L =x +λa Me -ap =0⎪∂p ⎪⎪∂L μ=0 ⎨=-x + ∂c ⎪⎪x -Me -ap =0⎪⎪c -c 0+k l n x =0

⎪⎪⎩

将上述最优化条件中的式四代入式五得

c =c 0-k (lnM -ap ) (5.11)

1由方程(5.7)及最优化条件中的式二得到，λa =1, 即 λ=-. (5.12) a

x 由上述最优化条件中的式三知x = 即=1. (5.13) μ，μ

将方程(5.9)、方程(5.10) 、方程(5.11)代入上述最优化条件中的式一，得

p -c 0+k (ln M -ap )-1+k =0, (5.14) a

由此得

1c 0-k ln M +-k p *=1-ak .

因为由该问题可知每件衣服的最优价格必定存在，所以这个 p *就是该感冒

k , 价格系数 药的最优价格，只要确定了规模系数 a , 衣服的最优价格就解决了，

进而也取得了最大利润。

该制药厂的管理者通过相关数据资料的研究分析，对该厂的发展和生产起到关键作用。根据市场需求及该厂本身的具体情况, 利用利润在约束条件销售量和成本下最大化[7]建立相应的数学模型, 通过拉格朗日数乘法加以分析, 为该厂决策者提供合理决策的理论依据。

四、总结

本次对基于拉格朗日数乘数法在经济最优化中的应用论文的编写，更加深入的学习拉格朗日数乘法，尤其是在生产成本的最优价格通过拉格朗日数乘法的选择、消费者的效用在预算约束下通过拉格朗日数乘法获得最佳效用组合的学习，对拉格朗日数乘法在经济学的应用有了一定初步的认识和了解。

参考文献

[1]同济大学数学系. 高等数学 下册[M]. 第六版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[2]赵春森, 李佩敬. 利用广义拉格朗日方法进行有效的历史拟合和最优化生产[J]. 国外油田工程, 2008, 24(6):9-15.

[3]杨廷鸿, 林琼, 但琦, 付诗禄. 条件极值与矩阵特征值的结合[J]. 高等数学研究, 2012, 15(4): 31-35.

[4]吴造林. 拉格朗日乘子法在信息论中的应用[J]. 科技情报开发与经济, 2008, 18(23):108-109.

[5]陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析 下册[M]. 第二版. 北京:高等教育出版社, 2008.

[6]哈尔·R. 范里安. 微观经济学：现代观点[M]. 第八版. 上海:格致出版社, 上海三联书店, 上海人民出版社, 2011.

[7]许爽爽, 马芳. 拉格朗日乘数法在经济学中的应用[J]. 大众科技, 2010(11):75-90.