利用 TI 图形计算器绘制美丽的极坐标曲线

利用 TI 图形计算器绘制美丽的极坐标曲线

规定有单位长度的射线 Ox，O 为极点，Ox 为极轴，这样就建立了极坐标系. 又把平 面上一点 P 到极点 O 的距离称为极径 ρ，OP 与 Ox 轴的夹角 θ 称为极角，于是得到点 P 的极坐标为 P (r, q )  . 在这些概念的基础上，可得到常见曲线的极坐标方程，如下：

（1）过极点倾斜角为a 的直线： q=a(r Î R )  或写成q= a 及q=a+ p ；

（2）过 A (a a , )  垂直于极轴的直线： r×cos q= a cos  a ；

（3）以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a > 0) : r = a ；

（4）若 O (0,0) ， A (2a ,0)  ，以OA 为直径的圆(a >0) :r= 2a cos  q .

然而，极坐标系下的曲线远不只是这些，还有更为美丽漂亮的极坐标曲线，下面我

TM 们借助 TI­Nspire CX CAS 图形计算器，对几类常见的极坐标曲线进行绘制与赏析.

一、玫瑰线

玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方 程来描述，方程为： r (q) = a g cos  k q 或 r (q) = a g sin  k q ，其中 k 是整数，常量 a 代表玫瑰线 花瓣的长度. 当 k是奇数时，曲线有 k 个花瓣；当 k是偶数时，曲线有 2k 个花瓣.

我们作出几例玫瑰线如下：

⑴三叶玫瑰线 r q() =6g sin 3q, qÎ [0,2p ] ⑵四叶玫瑰线 r q() =6g sin 2q, qÎ

[0,2p ] ⑶k 叶玫瑰 r (q) =6g sin  k q , qÎ [0,2p ] , k 奇 ⑷2k 叶玫瑰 r (q) =6g sin  k q , qÎ [0,2p ] , k 偶 操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 显示或隐藏输入栏，按¹ 选择常数p ；按 b1A 可插入游标，用x 键拖动其位置， 按/b1 能对游标进行设置.

进一步作出 r (q) = a g

cos  n q 的各种情形如下：

二、圆盘线

玫瑰线的极坐标方程 r (q) = a g cos  k q 或 r (q) = a g sin  k q 中，如果 k为非整数，将产生圆 盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数.

我们作出几例圆盘线如下：

q ⑴ r (q) =6g sin , qÎ [0,4p ] 2 q ⑵ r (q) =6g sin , qÎ

[0,24p ] n

12 q , qÎ [0,10p ] ⑷ r q() =6g sin  pq, qÎ [0,30p ] , 5

操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 ⑶ r (q) =6g sin 显示或隐藏输入栏，按¹ 选择常数p ；按 b1A 可插入游标，用x 键拖动其位置， 按/b1 能对游标进行设置；按/p 调用分式符号.

n q 进一步作出 r (q ) = cos 及 r q() = 6g sin  pq 的各种情形如下：m

n q ⑴ r (q ) = cos ⑵ r q() = 6g sin pq,  q 在以上各区间 m

三、螺线

螺线即螺旋线，它可以这样定义：在平面极坐标系中，如果极径 ρ 随极角 θ 的增加 而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹叫做螺线. 螺线也可以理解为由两种 运动形成. 设想一个虫子站在匀速旋转的圆盘之上，从圆心沿某个半径向外爬行，它的影 子会在天花板上绘出一条螺线. 螺线在实际生产中有一些应用， 例如有些凸轮的轮廓线和 三爪卡盘的轨线都是等速螺线；对数螺线在刀具的设计，航行导向等方面，也有它重要 的应用. 螺线有许多中，下面研究常见几种.

1. 阿基米德螺线.

阿基米德螺线又称“等速螺线”. 当一点 P沿动射线OP 用速度 v 做等速率直线运动 的同时，这条射线又以等角速度 ω 绕点 O 旋转，点 P 的轨迹称为“阿基米德螺线” ，其 极坐标表示式是：r (θ) ＝aθ，这里 a 为实数. 阿基米德螺线在极坐标中通用方程形式是： r (θ) = a+bθ，改变参数 a将改变螺线形状，b 控制螺线间距离，通常其为常量

.

⑴ r (q) =a g q, qÎ [0,6p ]

2. 渐开螺线. ⑵ r q() =20g q, qÎ [0,20p ]

a 渐开螺线也有许多，例如：双曲螺线，又称倒数螺线，方程形式为 r q () ,  其中 a q

为常数，它是极径与极角成反比的点的轨迹，图像的特征是有一条平行于极轴的渐

近线；连锁螺线，又称平方倒数螺线，方程形式为

r q () 又称对数螺线，方程形式为 r (q ) = e a  g q ,  其中 a 为常数.

我们作出几例渐开螺线如下：  其中 a 为常数；等角螺线，

1 ⑴ 双曲螺线 r q() =, q Î [0.5,30] q ⑵ 连锁螺线

r q()

q Î [0.1,40]

⑶ 等角螺线 r (q) =e 0.4  q , qÎ [0,10p ] ⑷ 等角螺线 r (q) =2q , qÎ [0,10p ]

操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 显示或隐藏输入栏；按b4A 选择适合窗口或按b4 再选择其它窗口模式. 等角 螺线中，e 不是自然科学常数，而是离心率，所以不能按¹键得到，而需要按字母键 E .

四、圆锥曲线

圆锥曲线方程如下：r (θ) = l / (1－e *cosθ) ，其中 l表示半径，e 表示离心率. 如果 e 1，则表示双曲线. 方程形式也可以 为 r(θ) =e *p  / (1－e *cosθ) ，其中 e表示离心率，p 表示焦点到准线的距离.

试看如下图：

操作提示：用x 键选择游标，指针变{，按/b1 对游标设置，步长设为 0.2.

五、其它曲线

漂亮的极坐标曲线还有许多， 我们多尝试， 必然会有层出不穷的发现.

赏析几例如下： ⑴ 钉螺线 r (q) =qg sin 25 q , q Î [0,80] 23 ⑵ 莲花线 r (q) =sin q+

sin 3 5 q , qÎ [0,4p ] 2

⑶ 单页贝壳线 r q() =qg sin q, qÎ [0,20p ] ⑷ 双页贝壳线 r (q) =qg sin q, qÎ[-

15p,15p ] ⑸ 心形线 r q() =2(1+sin q), qÎ [0,2p ] ⑹ r q() =6sin(qg cos q), qÎ [0,10p ]

⑺ 蔓叶线 r q() =tan qg sin q, qÎ [0,2p ] ⑻ 蚌线 r q() =1 +

2, qÎ [0,2p ] cos  q

⑼ 蜗线 r q() =3+2cos q), qÎ [0,2p ] ⑽ 钳线 r q() =2+

3cos q), qÎ [0,2p ]

⑾ 四叶草线 r q() =sin qg cos q, qÎ [0,2p ] ⑿ 费马螺线 r q() =q, qÎ [0,10p ] 1

2

操作提示：用x 键选择图像，指针变 ø，按/b6 可修改曲线方程.

小结语：

高中数学学习阶段，对极坐标的学习要求比较低，仅限于掌握极坐标与直角坐标的 互化，掌握简单曲线（直线、圆）的极坐标方程. 笔者在此用 TI 图形计算器，绘制了各 种漂亮的极坐标曲线，体现了数学之美，也激发同学们升入大学进一步深入学习与研究. （作者：高建彪 邮箱:[email protected]，QQ:76456245  2011年 5 月28 日完稿于中山市东升高中） *****如果您发现了更为漂亮的极坐标曲线，敬请将其方程形式发至邮箱，谢谢您的支持.******