16. 2013年全国高中数学联赛贵州预赛

预赛试题集锦（2014）

2013年全国高中数学联赛贵州省预赛

高中竞赛

一．填空题（每小题8分，共80分）

1. 已知集合A ={x log 2012x ＜log 2013x }，B =x x 2-ax +a ＜x ，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是

_______．

{}

2. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC =8，AB =6，则AO ⋅BC =_______． 3.

△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则

A A 1⋅co A B C

+B B +C C 1⋅co 1⋅=_______． s i n A +s i n B +s i C n

4. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______．

5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15=25，则nS n 的最小值为_______．

，n 中与n 互质的数的个数，6. 定义函数ϕ(n ) 表示1，2，称此函数为欧拉函数，则ϕ(2013)=_______．

11

7. 已知△ABC 是边长为2013的正三角形，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，且BD =BC ，CE =CA ，

33

AD BE =P ，M 是线段DC 的中点，则PM =_______．

8.

设函数f (x ) =的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =_______．

f (1)

x +b x +(c 0a ，) b ∀∈R x ，(f ) x 恒0成立，则9. 已知f (x ) =a 2的最小值是≥＜2＜

f (0) -f -(1)

_______．

2

⎧⎛1⎫

⎪ x -⎪+1，x ＞0，

10. 已知函数f (x ) =x 3-3x 2+1，g (x ) =⎨⎝则方程g [f (x )]-a =0（a 为实常数）2⎭

⎪2

⎩-(x +3) +1，x ≤0，

的实根最多有_______个． 二．解答题（共70分）

11. （15分）已知数列{a n }中：a 1=1，且a n +1⋅a n =a n -2a n +1．

（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：a 1+a 2+ +a n ＜2．

a 2， ，a n 是n 个正数，(2+a 1)(2+a 2) (2+a n ) ≥3n ． 12. （15分）已知a 1，满足a 1⋅a 2⋅⋅⋅a n =1．求证：13. （20分）如图，已知抛物线C :y 2=4x ，过点A (1，2) 作抛物线C 的弦AP ，AQ ．

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1

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（1）若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点坐标；

（2）假设直线PQ 过点T (5，-2) ，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在请说明理由．

111

++ +=1． k 1k 2k n

k 2， ，k n 和n ，使得k 1+k 2+⋅⋅⋅+k n =5n -4，且14. （20分）求正整数k 1，

2

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解答

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1、a 0提示：集合A={x |0x 1}，且满足A B ，则知B={x|a

AO ⋅BC=AO⋅(AC-AB)

=AO ⋅AC -AO ⋅AB

=|AC|⋅|AO|cos(AO , AC ) -|AB |⋅|AO |cos(AO ⋅AB )

1 1 =|AC |⋅|AC |-|AB |⋅|AB |

22

2 2

=﹙(|AC |-|AB |) ）

=14

1A A

3、 2提示：AA 1⋅cos =2sin(B +)cos() =sin(A +B ) +sin B =sin C +sin B

222

AA 1⋅cos

A B c

+BB 1⋅cos +CC 1⋅cos =2(sinA +sin B +sinC) 故原式=2 222

4、8:27提示：设球半径为R ，其内接圆锥的底半径为r ，高为h ，作横截面，则=h（2R-h ）．

1π

=πr 2h =

h 2(2R -h ) 33

ππ4R 3

=h 2(4R -2h ) ≤） 663=

84π⋅R 3 273

所以，所求比为8：27﹒

5、-49提示： 由

110

= 0， 得S 15=25得=-3 ，d= 所以S n =n 2- n ，则

33

110

n S n =n 3-n 2

33令f （n ）=0得n=0或n =

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3

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所以f （n ）在[1,6]上递增，[7,

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) 上递减﹒而f （6）=-48，f （7）=-49，故最小值为-49

6、1200 提示：2013=311=1200

由欧拉函数性质知﹙2013﹚=2013﹙1-﹚﹙1-﹚

7、671提示：易证ABD ≌ACE ，所以 APE=BAD+ABP=CBD+ABP=60，

又ECD=60，所以P 、D 、 C 、 E 四点共圆，所以DPC=DEC

连接DE ，由ECD=60及CE=CD ，得DE ⊥CE

所以CP ⊥DP ，即DPC 是直角三角形 因为M 是斜边DC 的中点，，所以

1

PM==CD=

BC=⨯2013=671

38、提示：

f （x ）

．所以g （x ）为奇函数，由奇函数的性质知g (x )max +g (x )min =0, 所以

g （x ）M+m=2

b 2

9、3提示：由对任意x R ，f （x ）0恒成立，得=-4ac 0．又a 0，所以c ≥﹒所以

4a

f (1)a +b +c a +b +c

==

f (0)-f (-1) c -(a -b +c ) b -a b 2b b 2a +b +1++2

= ≥

b b -a -1a

1239s +s +

b f (1)24=s +9+3=3（t =4令t=, 则a f (0)-f (-1) s 44s 21

1+t +t 2

f (1)(t >2) =再令s=t-1，则

f (0)-f (-1) t -1

）．

4

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≥2333=2⋅+=3 242

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得此时=且s ，即s=3

10、6提示：方程g[f﹙x ﹚]-a=0的实根个数转化为函数 y= g[f﹙x ﹚]与函数y=a 的交点个数问题 （1）当

（0，1）时，函数y=a 与y=g（x ）有两个交点=-4和=-2，而此时方程f （x ）=-2和f

（x ）=-4的实根分别有3个和1个，共4个；

（2）当a=1时，函数y=a 与y=g（x ）有两个交点=-3和=，而此时f （x ）=-3和f （x ）=的实根分别有2个和3个，共5个；

（3）当a ﹙1，﹚时，函数y=a与y=g（x ）有两个交点

﹙0，﹚和﹙，1﹚，而此时方程f

（x ）=和f （x ）=的实根分别有3个和3个，共六个；

（4）当a [，+﹚时，函数y=a与y=g（x ）有一个交点根有一个

综上，方程g[ f（x ）]-a=0（a 为正常数）的实根最多有6个． 11（1）由a n +1⋅a n =a n +2a n +1﹒得

﹙(

所以数列｛

｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列﹒

1

+1=2⨯2n -1=2n a n

12

=+1所以 a n +1a n

（1，+），而此时方程f （x ）=的实

111

+1) =2(+1) =2(+1) a n +1a n a n

，即a n =

1

n

2-1

-1

成立，所以

（2）当n 1时，

111n -1

1⎛1⎫⎛1⎫a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n

2⎝2⎭⎝2⎭

2

n -1

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5

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⎛1⎫1- ⎪2

⎝2⎭=2⎡1-⎛1⎫⎤

⎢ ⎪⎥

1⎢⎥⎣⎝2⎭⎦1-2

2

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12

、因为2+a i =1+1+a i ≥≥i =1,2, ⋅⋅⋅, n ) 所以(2+a 1)(2+a 2)⋅⋅⋅(2+a n ) =﹙1+1+

) （1+1+

）．．．﹙1+1+

﹚

≥3 = 13

（1） 设PQ 的直线方程为x=my+n，点P 、Q 的坐标分别为P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)．

⎧x =my +n

由⎨2得y 2-4my -4n =0 ⎩y =4x

由

0得

+n0，y 1+y 2=4m , y 1y 2=-4n

由AP ⊥AQ 得|AP |⋅|AQ |=0，所以

(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=0

y 12y 22

, x 2=又x 1=，则 44

（-2）（-2）[（+2）（+2）+16]=0 +2）（y 2+2）+16=0

所以（-2）（-2）=0或（

所以n=-2m+1或2m+5．因为∆>0，所以n=2m+5，即直线PQ 的方程为x-5=m（y+2），所以直线PQ 过定点T （5，-2）．

所以n=2m+5，直线PQ 的方程为x=my+2n+5．

6

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设点P 、Q 的坐标分别为P （

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）、Q （）

⎧x =my+n

由⎨2

y =4x ⎩

得y 2-4my -8m -20=0

所以y 1+y 2=4m , y 1y 2=-8m -20 ⎛x +x 2

, 因为PQ 的中点为 1

2⎝

y 1+y 2

2

22

⎫⎛y 1+y 2

, ⎪即

8⎭⎝

y 1+y 2⎫

⎪，又 2⎭

(y 1+y 2)

2

-2y 1y 2

8

=2m 2+2m +5

所以PQ 的中点为（2由已知得

+2m+5，2m ）

2m -2

=-m , 即m 3+m 2+3m -1=0 2

2m +2m +5-1

设g （m ）=m 3+m 2+3m -1, 则g '(m ) =3m 3+2m +3>0

所以g （m ）在（0，1）内有一个零点，即函数g （m ）在R 上只有一个零点 所以方程m 3+m 2+3m -1=0在R 上只有一个零点

故满足条件的等腰三角形有且只有一个﹒ 14、由

0（i =1，2，．．．，n ），则

⎛111⎫2

++⋅⋅⋅+ ⎪(k 1+k 2+⋅⋅⋅+k n )≥n ①

k n ⎭⎝k 1k 2

所以，5n +4≥n 2，解得1n 4．

由式①等号成立条件知，当n =1或n =4．时，所有的（i =1，2，﹒﹒，）均相等﹒

（1） 当n=1时，=1，即k=1

（2） 当n=4时，k 1+k 2+k 3+k 4=16，且

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1111

+++=1 k 1k 2k 3k 4

解得k 1=k 2=k 3=k 4=4

（3） 当n=2时，

k k 1111

+=6, 且+=1，此二式相乘得2+1=4 k 1k 2k 1k 2k 1k 2

则为无理数，矛盾，无解 （4） 当n=3时，k 1+k 2+k 3=11且

不妨设=11，则1=

111

++=1 k 1k 2k 3

1113

++≤解得k 1≤3 k 1k 2k 3k 1

若

时，则+=，k 1≤k 2≤k 3k 2+k 3=9，得k 2=3，k 3=6

=3时，则由k 1≤k 2≤k 3，=11，

若

k 2=3, k 3=3, 与k 1+k 2+k 3=11， 矛盾

综上，当n=1时，k=1；

当n=4时，

k 1=k 2=k 3=k 4=4

当n =3时，(k 1, k 2, k 3)=(2,3,6)及其循环解

8

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