距离空间中上半连续函数的定义及等价条件

第5卷　第3期衡水师专学报Vol.5,No.3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2003年9月JournalofHengshuiNormalCollegeSep.2003

距离空间中上半连续函数的定义及等价条件

孙兰敏,陈　萍

(衡水师范专科学校数学系,河北衡水053000)

摘　要:根据距离空间中函数在某点的上极限、上半连续的等价条件.

关键词:距离空间;上极限;;中图分类号::1008-6900(2003)03-0039-021　预备知识

定义1[1](P4):设X是任一非空集,对于X中任意两点x,y有一实数d(x,y)与之对应,且满足:

(1)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0Ζx=y.(2)d(x,y)=d(y,x).

(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).则称d(x,y)为X中的一个距离.

定义了距离d的非空集X称为距离空间,用(X,d)表示,定义2[2](P5):x是距离空间(X,d)中的点列,x0为X中一点,如果当n→∞时,d(xn,x0)→0,则称当n→∞时xn按距离d以x0为极限.

定理1

[2](P5)

的单调递减函数.

令limf(x)=δlimMδ(x0),

x→x

→0→0

令f(x)=δlimmδ(x0)

x→x

称limf(x)为f(x)在x0处的上极限,f(x)

x→x

x→x

为f(x)在x0处的下极限.

显然有f(x)≤f(x0)≤limf(x).

x→x

x→x

结论1:设f(x)是定义在距离空间X上的实函数,x0∈X,则存在xn∈X,使xn→x0

且limf(xn)=limf(x).

n→∞

x→x

:x是距离空间X中的收敛点

证明:设M(x0)=limf(x)

x→x

列,则　(1)x的极限是唯一的.

(2)如果x0x的极限,x的任

若M(x)=∞,则对Πδ>0,supf(x)=+∞,

x∈Xd(x,x)

一子列必收敛且以x0为极限.

定义3:设X是距离空间,A0,在A中都存在异于x0的点xδ使

d(x0,xδ)

设f(x)是定义在X上的函数,x0为X中的一点.令Mδ(x0)=supf(x),

x∈X

d(x,x)

所以,对任意的自然数n,存在xn∈X,d(x,xn)n,limf(xn)=+∞,

n→∞n→∞

limf(xn)=M(x0)=limf(x).

x→x

若M(

x0)N(x0)

所以,n>N,

在B(x0,)=x:x∈X,d(x,x0)

n

n

mδ(x0)=

x∈X

d(x,x)

inff(x).

则Mδ(x0)是δ的单调递增函数,mδ(x0)是δ以找到点列xn∈X,使

收稿日期:2002-06-16

作者简介:孙兰敏(1963-),女,河北深州市人,衡水师专数学系副教授.

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(x0)-Mn

n

(x0),≤f(xn)≤Mn

n→∞

n→∞

x→x

又因为f(x0)≤limf(x),

x→x

(x0)=limf(x).令n→∞,则有limf(xn)=limMn

所以,f(x0)=limf(x),

x→x

故:结论1成立.

同理可证下面的结论2.

结论2:设f(x)是定义在距离空间上的实函数,x0∈X,则存在xn∈X,使xn→x0且limf(xn)=f(x)

n→∞

x→x

f(x)在x0上半连续.(1)](3).

设f(x

)在x0上半连续,

则f(x)在x0点满足f(x0)=limf(x),

x→x

3　半连续函数的定义及等价条件

定义4:设f(x)是定义在距离空间X上的实函

对ΠA>f(x0),

由f(x0)=limf(x)=M(x0)δ(x0)知存在x→x

数,x0∈X,x0是X中的聚点.

如果limf(x)=f(x0),则称f(x)在x0上半连续x→x

如果f(x)=f(x0),x).

x→x

3结论3:(x0,则-f(x)在x0点上半连续.

结论4:设f(x)是定义在距离空间X上的实函数,则以下条件是等价的.

(1)f(x)在x0点上半连续.(2)对任意的xn∈X、xn→x0都有limf(xn)≤f(x0).

n→∞

(3)f(x0)A,存在δ>0使得xx:x∈X,d(x,x0)若f(x)在x0点上半连续,则limf(x)=f(x0),

x→x

>Mδ(

设f(x)满足条件(3),即对任意A>f(x0),存在δ>0,

当xx∈X,d(x,x0)令A→f(x0),则M(x0)≤f(x0).又M(x0)≥f(x0),所以,M(x0)=f(x0).即limf(x)=f(x0).

x→x

显然,对任意xn∈X,xn→x0,有limf(xn)≤

n→∞

x→x

limf(x),

所以limf(xn)≤f(x0).

n→∞

由以上证明可知结论4成立.

同理可证,对于下半连续函数有下面结论成立:结论5:设f(x)是定义在距离空间X上的实函数,则以下条件是等价的:

(1)f(x)在x0处下半连续.

(2)对任意的xn∈X,xn→x0都有f(xn)≥f(x0).

n→∞

(2)](1).

由结论1知,存在yn∈X,yn→x0使得　limf(yn)=limf(x).

n→∞

x→x

(3)f(x0)A,存在δ>0,使当xx:x∈X,d(x,x0)A.

参考文献:

[1]　夏道行,吴卓人,严绍宗,等.实变函数论与泛函分析,

下册[M].北京:高等教育出版社,1984.[2]　刘炳初.泛函分析[M].北京:科学出版社,1998.

另一方面由已知条件(2)知,

f(x0)≥limf(yn)=limf(yn)=limf(x).

n→∞

n→∞

x→x

TheDefinitionofUpperContinuityofFunctionintheDistanceSpaceanditsEquivalenceCondition

SUNLan-min,CHENPing

(MathematicsDepartment,HengshuiNormalCollege,Hengshui,Hebei053000China)

Abstract:Accordingtothedefinitionofupperlimitandlowerlimitoffunctiononacertainspotinthedistancespace,andthedefinitionofup2percontinuityandlowercontinuityoffunctiononacertainspot,thearticleprovestheequivalenceconditionoftheuppercontinuityoffunctiononacertainspot.

Keywords:distancespace;upperlimit;lowerlimit;uppercontinuity;lowercontinuity

(责任编辑:郭素霞　　　中文校对:白丽荣　　　英文校对:李玉玲)