导数中含参数单调性及取值范围

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点; 利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题; 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点; 将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 一．

含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方

2ax +a -1

x +1

2

2

法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0, 解得增区间, 令导数小于0, 解得减区间. ）

例1（2012西2）已知函数f (x ) =，其中a ∈R ．

（Ⅰ）当a =1时，求曲线y =f (x ) 在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f (x ) 的单调区间．

（

a =1

f (x ) =

2x x +1

2

，

Ⅰ）解：当时，

f '(x ) =-2

(x +1)(x -1) (x +1)

2

2

． ………………2分

由

f '(0)=2

， 得曲线

y =f (x )

在原点处的切线方程是

2x -y =0

．…………3分

（Ⅱ）解：

f '(x ) =-2

(x +a ) (a x -1)

x +1

2

． ………………4分

① 当

a =0

时，

f '(x ) =

2x x +1

2

．所以f (x ) 在(0,+∞) 单调递增，在(-∞, 0) 单调递减． ………………5分

1a )

．

(x +a )(x -

当

a ≠0，f '(x ) =-2a

x +1

，

2

② 当

a >0时，令f '(x ) =0，得x 1=-a

x

2=

1，

f (x ) 与f '(x ) 的情况如下：

故

f (x ) 的单调减区间是(-∞, -a ) ，(

1a

, +∞) ；单调增区间是(-a ,

1a

) ． ………7分

③ 当

a

所以

f (x ) 的单调增区间是(-∞,

1a

) ；单调减区间是(-

1a

, -a ) ，(-a , +∞) ． ………………9分

a =0时不合题意． ………………10分

11

当a >0时，由（Ⅱ）得，f (x ) 在(0,) 单调递增，在(, +∞) 单调递减，所以f (x )

a a

12

f () =a >0．

a

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 设

在

(0,+∞)

上存在最大值

x 0为f (x ) 的零点，易知x 0=

1-a 2a

2

，且

x 0

1

．从而

a

x >x 0时，f (x ) >0

；

x

若

f (x ) 在[0,+∞) 上存在最小值，必有f (0)≤0，解得-1≤a ≤1．

所以

a >0时，若f (x ) 在[0,+∞)

时，由（Ⅱ）得，

上存在最大值和最小值，

a

的取值范围是

(0,1]．…………12分

单调递增，所以

当

a

在

(0,-a )

单调递减，在

(-a , +∞) f (x )

在

(0,+∞)

上存在最小值

f (-a ) =-1．

若

f (x ) 在[0,+∞) 上存在最大值，必有f (0)≥0，解得a ≥1，或a ≤-1．

所以

a

上存在最大值和最小值，

a

的取值范围是

(-∞, -1]．

综上，

a 的取值范围是(-∞, -1] (0,1]． ………………14分

例2 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x ) 的单调区间. 【解析】由已知得函数

（1）当

f (x ) 的定义域为(-1, +∞) ，且f ' (x ) =

ax -1x +1

(a ≥-1),

-1≤a ≤0时，f ' (x ) 0时，由f ' (x ) =0, 解得x =1.

a

（2）当

f (x ) 、f (x ) 随

'

x 的变化情况如下表

x ∈(-1,

'

从上表可知 当

1

1'

) 时，f (x )

a a

1a

, +∞) 上单调递增.

当

x ∈(

1a

, +∞) 时，f (x ) >0, 函数f (x ) 在(

综上所述：当

1

-1≤a ≤0时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减. 当a >0时，函数f (x ) 在(-1, ) 上单调递减，函数f (x )

a

在(

1a

, +∞) 上单调递

增.

已知函数f (x ) =x +

2

2a x

3

+1, 其中a >0.

（I ）若曲线y =f (x ) 在(1,f (1))处的切线与直线y =1平行，求a 的值； （II ）求函数f (x ) 在区间[1,2]上的最小值.

解：

f '(x ) =2x -

2a x

2

3

=

2(x -a )

x

2

33

，

x ≠0

. .........................................2分

（I ）由题意可得

3

f '(1)=2(1-a ) =0

，解得

a =1， ........................................3分

此时

f (1)=4，在点(1,f (1))

处的切线为

y =4，与直线y =1平行

故所求

a 值为1. ........................................4分

， ........................................ 5分

（II ）由

f '(x ) =0可得x =a ，a >0

在

①当

00(1,2]上恒成立 ， 所以y =f (x ) 在[1,2]上递增， .......6分

3

所以

f (x ) 在[1,2]上的最小值为f (1)=2a +2

时，

. ........................................7分

②当

1

....................................10分

由上表可得

y =f (x ) 在[1,2]上的最小值为f (a ) =3a +1 . ......................................11分

f '(x )

2

③当

a ≥2

时，

所以

y =f (x ) 在[1,2]上递减 . ......................................12分 f (x ) 在[1,2]上的最小值为f (2)=a +5

0

2

3

所以 . .....................................13分

综上讨论，可知：当在

3

[1,2]上的最小值为f (1)=2a +2； 当1

时，

y =f (x )

在

[1,2]上

的最小值为

f (a ) =3a +1；当a ≥2

时，

y =f (x )

在

3

[1,2]上的最小值为f (2)=a +5.

练习 1 已知函数f (x ) =a ln x -（Ⅰ）求f (x ) 的单调区间；

12

x +

2

12

(a ∈R 且a ≠0) . (2012海淀一模）

（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1, +∞)，都有f (x ) ≤0？若存在 ，求a 的

取值范围；若不存在，请说明理由. 2（2012顺义2文）（. 本小题共14分）

已知函数f (x ) =(a -1) x 2+2ln x , g (x ) =2ax , 其中a >1 （Ⅰ）求曲线y =f (x ) 在(1,f (1))处的切线方程; （Ⅱ）设函数h (x ) =f (x ) -g (x ) ，求h (x ) 的单调区间. 3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数f (x ) =(ax 2-1)⋅e x , a ∈R .

（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =1时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当a ≤0时，求函数f (x ) 的单调区间.

二参数范围

有单调性时分离常数法

例（东2）已知函数f (x ) =-

12

2

x +2x -a e x

.

（Ⅰ）若a =1，求f (x ) 在x =1处的切线方程； （Ⅱ）若f (x ) 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.

解：1) 由a

=1，f (x ) =-

12x

，

2

x +2x -e

f (1)=

32

-e ， ………1分

所以

f '(x ) =-x +2-e x

. …………3分

又

f '(1)=1-e ，

y -(

3 所以所求切线方程为

2

-e) =(1-e)(x -1) 即2(1-e) x -2y +1=0

. …………5分

（Ⅱ）由已知

f (x ) =-12

x 2

+2x -a e

x

，得

f '(x ) =-x +2-a e x

.

因为函数

f (x ) 在R

上是增函数，

所以

f '(x ) ≥0恒成立，即不等式 -x +2-a e x

≥0恒成立. ………………9分

整理得a ≤

-x +2e

x

. 令g (x ) =

-x +2e

x

, g '(x ) =

x -3e

x

.

………………11分

x , g '(x ), g (x ) 的变化情况如下表：

由此得

a ≤g (3) =-e ，即a 的取值范

-3

-3

围是

(-∞, -e

⎤⎦

. ………………13分

练习1（2012怀柔2）设a ∈R ，函数f (x ) =ax 3-3x 2． （Ⅰ）若x =2是函数y =f (x ) 的极值点，求实数a 的值；

（Ⅱ）若函数g (x ) =e x f (x ) 在[0, 2]上是单调减函数，求实数a 的取值范围．

解：（Ⅰ）

2

f '(x ) =3ax -6x =3x (ax -2) ．

是函数

因为

x =2a =1

y =f (x )

的极值点，所以

f '(2)=0

，即

6(2a -2) =0

的极值点．

，

所以．经检验，当

a =1

x

时，

x =2

3

是函数

y =f (x )

2

即

a =1

．----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）由题设，

g (x ) =e (ax -3x +3ax -6x )

3

2

2

，

' 2

，又

e >0

x

，

所以，

∀x ∈(0,2]ax -3x +3ax -6x ≤0

，

这等价于，不等式

令

x +3x x +3x 3x +6

h (x ) =2x ∈(0,2]

x +3x

（

），

a ≤

3x +6x

3

2

2

=

3x +6

2

对

x ∈(0,2]

恒成立．

则

h (x ) =-

h (x ) h (x )

在区间

'

3(x +4x +6) (x +3x )

上是减函数，

2

22

=-

3[(x +2) +2](x +3x )

2

2

2

，---------------------------10分

所以

（0, 2]

所以的最小值为

h (2)=

6

．----------------------------------------------------12分

56

(-∞, ]

5

．-----------------------------------13分

所以

a ≤

6

．即实数

5

a

的取值范围为

2（2012石景山1）已知函数f (x ) =x +2a ln x ．

（Ⅰ）若函数f (x ) 的图象在(2,f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数f (x ) 的单调区间； （Ⅲ）若函数g (x ) =

2x

+f (x ) 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．

2

分类讨论求参数

例2（2012昌平1）已知函数. f (x ) =ln x +（I ）当a =0时， 求f (x ) 的最小值；

1x

+ax （a 为实数）

（II ）若f (x ) 在[2, +∞) 上是单调函数，求a 的取值范围

解：(Ⅰ) 由题意可知：x 当

a =0时f '(x ) =

>0 ……1分 x -1x

2

…….2分

当01时，f '(x )>0

……..4分

故

f (x ) min =f (1) =1. …….5分

1x

1x

2

(Ⅱ) 由

f '(x ) =-+a =

ax +x -1

x

x -1x

2

2

2

① 由题意可知a =0

时，

f '(x ) =

, 在[2, +∞) 时，f '(x ) >0

符合要求 …….7分

② 当a

故此时

f (x ) 在[2, +∞) 上只能是单调递减

4a +2-1

4

≤0

解得a

f '(2) ≤0 即

当

≤-

14

…….9分

a >0a >0

时，

f (x ) 在[2, +∞) 上只能是单调递增 f '(2) ≥0 即

4a +2-1

4

≥0, 得a ≥-

14

故 …….11分

综上a

∈(-∞, -

14

]⋃[0, +∞) …….13分

根据性质求范围

）

2

（零点例（2012昌平2）已知函数f (x ) =4ln x +ax -6x +b （a ，b 为常数）， 且x =2为f (x ) 的一个极值点． (Ⅰ) 求a 的值；

(Ⅱ) 求函数f (x ) 的单调区间；

(Ⅲ) 若函数y =f (x ) 有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．

解： (Ⅰ) 函数f (x ) 的定义域为（0，+∞）……1分∵ f ′ (x ) =

4x

+2ax -6

……2分

∴

f '(2) =2+4a -6=0，则a = 1．………4分

f (x ) =4ln x +x -6x +b

2

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知

∴ f ′ (x ) =

4x

+2x -6=

2x -6x +4

x

2

=

2(x -2)(x -1)

x

………6分

由f ′ (x ) > 0可得x >2或x

单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知函数f (x ) 在(0，1) 单调递增，在(1，2) 单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x =1或x =2时，f ′ (x ) = 0． ………10分 ∴ f (x ) 的极大值为

f (1) =4ln 1+1-6+b =b -5 ………11分

……12分

f (x ) 的极小值为

f (2) =4ln 2+4-12+b =4ln 2-8+b

⎧f (1) =b -5>0由题意可知⎨ 则 5

f (2) =4ln 2-8+b

………14分

最值 例（2012海2）已知函数f (x ) =（Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间；

（Ⅱ）当a =1时，若对任意x 1, x 2∈[-3, +∞) ，有f (x 1) -f (x 2) ≤m 成立，求实数m 的最小值. 解：f '(x ) =

-(x -a )(x +3a ) (x +3a )

2

2

2

x +a x +3a

2

2

（a ≠0，a ∈R ）.

.

令

f '(x ) =0，解得x =a 或x =-3a

. ……………………………………2分

（Ⅰ）当a

>0时，f '(x ) ，f (x ) 随着x 的变化如下表

+∞

函数

f (x )

的单调递增区间是

(-3a a , ，) 函数f (x )

的单调递减区间是

(-∞, -3a ，) (a , +∞)

.

……………………………………4分

当

a

)

函数

f (x )

的单调递增区间是

(a -, a 3

，函数

f (x )

的单调递减区间是

(-∞a , (-3a , +∞) . ……………………………………6分

（Ⅱ）当a

=1时，由（Ⅰ）得f (x ) 是(-3,1) 上的增函数，是(1,+∞) 上的减函数.

又当x >1时，f (x ) =x +1 ……………………………………8分

x 2

+3

>0

. 所以

f (x ) 在[-3, +∞) 上的最小值为f (-3) =-

1，最大值为

6

f (1)=

1 ……10分

2

2所以 对任意x 1, x 2∈[-3, +∞) ，f (x 1) -f (x 2) ≤f (1)-f (-3) =3

.

所以 对任意x 1, x 2∈[-3, +∞) ，使f (x 1) -f (x 2) ≤m

恒成立的实数m 的最小值为

2. ……13分

3

不等式例3（2012房山1）设函数f (x ) =-

122

3

x 3+2ax -3a x +a (a ∈R ) .

（Ⅰ）当a =1时，求曲线y =f (x ) 在点(3, f (3) )处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x ) 的单调区间和极值；

（Ⅲ）若对于任意的x ∈(3a , a ) ，都有f (x )

1

x 3

-ax 2

3

+1 (a ∈R ) ．

（Ⅰ）若曲线y =f (x ) 在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x ) 在区间(a ，a 2-3) 上存在极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x ) 在(0，2) 上恰有一个零点．

（单调性）已知函数f (x ）=

13

3x +mx

2

-3m 2

x +1(m >0) .

（Ⅰ）若m =1，求曲线y =f (x ) 在点(2, f (2)) 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f (x ) 在区间(2m -1, m +1) 上单调递增，求实数m 的取值范围．

) ，

解：（Ⅰ）当

m =1时，f (x ）=

2

13

x +x -3x +1，f (2）=

32

83

+4-6+1=

53

.

f ' (x ）=x +2x -3，f ' (2）=4+4-3=5． ………3分

y -

53

=5(x -2) 即15x -3y -25=0

2

． ……5分

所以所求切线方程为

（Ⅱ）

f ' (x ）=x +2mx -3m

2

.

令

f ' (x ）=0，得x =-3m 或x =m

. ………7分

由于

m >0，f '(x ) ，f (x ) 的变化情况如下表：

所以函数

f (x ) 的单调递增区间是(-∞, -3m ) 和(m , +∞) . …………9分

要使

f (x ) 在区间(2m -1, m +1) 上单调递增，

或

应有

m +1≤-3m

≤

2m -1≥m

，

或m ≥1． …………11分 4

又 m >0 且m +1>2m -1， …………12分 解得

m -

1

所以

1≤m

即实数

m

的取值范围

{m 1≤m

三．基本性质

（2012朝2）设函数f (x ) =a ln x +

2a x

2

(a ≠0) .

（Ⅰ）已知曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线l 的斜率为2-3a ，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数f (x ) 的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有f (x ) ≥3-x ． 单调区间（2012门头沟2）已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx -1在x =1处有极值-1． （I ）求实数a ，b 的值；

（II ）求函数g (x ) =ax +ln x 的单调区间．

（2012东1）已知x =1是函数f (x ) =(ax -2)e x 的一个极值点． （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）当x 1，x 2∈[0, 2]时，证明：f (x 1) -f (x 2) ≤e

实用

(2012西城一模）如图，抛物线y =-x 2+9与x 轴交于两点A , B ，点C , D 在抛物线上（点，CD ∥A B ．记|CD |=2x ，梯形A B C D 面积为S ． C 在第一象限）

（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若

|C D ||AB |

≤k ，其中k 为常数，且0

（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为1分 点

y C =-x +9

2

． ………………

B

的横坐标

x B

满足方程

-x B +9=0

2

，解得

x B =3

，舍去

x B =-3． ……………2分

所以S

=

12

(|C D |+|A B |)⋅y C =

12

(2x +2⨯3)(-x +9) =(x +3)(-x +9)

22

． ………4分

由点C 在第一象限，得0所以S 关于

x 的函数式为 S =(x +3)(-x 2+9) ，0

⎧0

（Ⅱ）解：由 ⎨x 及0

⎪≤k , ⎩3

记

． ………………6分

f (x ) =(x +3)(-x +9), 0

2

，

则

2

f '(x ) =-3x -6x +9=-3(x -1)(x +3)

． ………………8分

令

f '(x ) =0，得x =1． ………………9分

，即

① 若1

1

时，f '(x ) 与f (x ) 的变化情况如下：

所以，当x =1时，f (x ) 取得最大值，且最大值为f (1)=32． ………………11分

，即0② 若1≥3k

3时，f '(x ) >0恒成立，

2所以，f (x ) 的最大值为f (3k ) =27(1+k )(1-k ) ． ………………13分

综上，

13≤k