天津市春季高考数学考前串讲提纲

天津市春季高考考

前串讲提纲

本人系春季高考考入天津大学的本科生，现在就职于天津大学。每年天津有很多春季高考的学生在复习时很迷茫，所以我专门建立了一个QQ ：1158305847（服务考生）帮助大家答疑春考事项，数量达到一定数量时会成立一个QQ 群。完全公益行为，非考生请勿加我。

2011年1月24日于天津大学

天津市春考数学考前讲座提纲

春季高考虽为“选拔”考试，但其试题难度却为“水平”考试程度。绝大部分试题都是考察基本概念、基本公式、基本运算及基本解题方法，所以考生对基础知识的复习应高度重视。

考试内容共分四部分：1、代数部分约占50% ；2、 三角部分约占20% ； 3、立体部分约占10% ；4、解析部分约占20%。

试卷共25个题150分，其中选择题15个75分，填空题6个24分，以上各题以基本概念、基本公式、基本运算及基本解题方法为主，即便有一两题灵活，仍未脱离“基本”的范畴；解答题4个51分。近几年重点考察函数、三角、立体、解析，解答题虽为大题，但也均为基础知识的（综合）运用，难度不是很大。

由于前两年试题比较简单，成绩较高，预计今年试题可能会难一些，但试卷总体来说仍以容易题和中等难度题为主。

通过对近几年考试试题分析及命题研究组分析，提出以下意见，供同学们在复习中参考、重点强化。

（一）代数部分：

重点是集合的交并补运算，各种不等式的解法，指数与对数的定义、运算，函数定义域、函数值、函数性质（单调性、奇偶性），对五种代数函数（一次、二次、反比例、指数、对数函数）应掌握它们的解析式、图象和性质，重点是二次函数，两向量平行或垂直的条件，等差、等比数列定义、通项公式、前n 项和公式，复数，排列、组合的计算，简单概率的求法等

1、设全集U ={-2, 0, 2, 5}，U

A ={0, 5}，B ={-2, 5}，则U (A ⋂B ) =

（A ）{-1} （Ｂ）{-1, 2} （Ｃ）{-1, 0} （Ｄ）{0,2, 3} 解 由 U

}A ={-2, 2}，于是A ⋂B ={-2}，故所求为{0, 2, 5} A ={0, 5，得

2、设全集U ={0, 1, 2, 3, 4, 5}, M ={0，3}，N ={0,3,4},则（U M ）⋃N = A 、﹛1，2，3，5﹜ B 、﹛2，5﹜ C 、﹛4﹜ D 、﹛0，1，2,,3，4, 5﹜ 解U M ={1，2,4，5}

3、设x

Ａ、{x -

233⎫37⎫⎧⎫⎧⎧

≤x ≤2}Ｂ、⎨x -≤x -⎬Ｄ、⎨x x >或x

2

≤x ≤2， 3

解 由已知得 -4≤3x -2≤4，于是 -2≤3x ≤6， 因此 -

又因为 x

2

≤x

4、2x -5x -3>0的解为__________ 解 由已知得 (x -3)(2x +1) >0，两根为x =-5、

2

11

, x =3，解为x 3 22

x -5

≥2的解为__________ x -3

x -5x -5-2(x -3) -x +1x -1

-2≥0， ≥0， ≥0， ≥0， 解 由已知得

x -3x -3x -3x -3

(x -1)(x -3) ≤0，两根为x =1, x =3，故所求为1≤x

注意：部分学生将此题答案写为1≤x ≤3，错在哪？ 6、若() =82，则x = .

1

2

12

x

解 (2) =2⋅2， 27、设log 3

-1x 3-x

11

=2 ∴-x =3，故 x =-3

22

3

1

2

x =2，则x =D Ａ、±9 Ｂ、9 Ｃ、±81 Ｄ、81

2

解 由已知得

3=

8

、若2=

x

=9, 于是选D

1

lg 25+lg 2+x =211x 2x x x

解 2=lg 5+lg 2+2⨯lg10，2=lg5+lg 2+1，2=lg(5⨯2) +1，2=1+1

22

9、计算：log 318-log 32+lg 4+lg 25+(-27)

-1

3

=____

1-121833

=3 +lg(4⨯25) +[(-3) ]=log 39+lg100+(-3) -1=2+2+解 原式= log 3

-332

10、已知2

log 3x

=4, 则x =____ 解 2log 3x =4=22，∴log 3x =2, x =32

11、函数y =x -2+

1

+ln(5-x ) 的定义域是[2，3) (3，5)。 x -3

⎧x -2≥0⎪

解 ⎨x -3≠0⎪5-x ＞0⎩⎧x ≥2⎪

⎨x ≠3⎪x ＜5⎩

⎧x -2>0⎧x >212

、函数y = 2

10-x >0x

13、函数f (x +1)=x 2-x -2，则f (1)=A A 、-2 B 、-1 C 、1 D 、2 解 令x+1=1，则x=0，代入已给函数表达式得f (1) =02-0-2=-2

注：此题若改为求f (t ) ，则令x +1=t ，于是x =t -1，代入f (x +1)=x 2-x -2中 14、下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是x

A 、y =cos x B 、y =() C 、y =x 2+3x +2 D 、y =log 0. 5x

12

15、下列函数中，在其定义域内为奇函数，且在(0,+∞) 内为减函数的是 （Ａ）y =sin x （Ｂ）y =-x 2 （Ｃ）y =log 1x （Ｄ）y =-x 3

3

16、若函数f (x ) =x 2+2(a -1) x +2在区间(-∞, 4) 内是减函数，则实数a 的取值范围为_______

解 由二次函数性质知，f (x ) 在区间(-∞, -所以 a ≤-3

17、已知二次函数f (x ) 的图像的顶点为(-2, 3) ，在y 轴上的截距为-1，求f (x ) 的解析式

解 因为顶点为(-2, 3) ，所以设f (x ) =a (x +2) +3。

因为在y 轴上的截距为-1，所以过点(0,-1) ，于是-1=a (0+2) +3，因此a =-1 故f (x ) =-(x +2) +3。

18、 若log 1x

2

22

2

2

2(a -1) 2(a -1)

) 内是减函数，于是4≤- 22

A. （0，1） B.（1，+∞) C.（0，2） D.（1，2）

1

2-x 2

又因为为对数，所以真数大于零，于是 x >0 并且 2-x >0

分析 因为底为

⎧x >2-x ⎪

解 解不等式⎨x >0 得1

⎪2-x >0⎩

19、已知点A(4，－3) 、B(-2,2)，则AB =____ ，BA =____

=

A =A B -解 =（-2-4，2-（-3））=（-6，5），B =（6，-5）AB =

=

20、已知=(3, -1), =(-1, k ) ，（1）若a ∥b ，则k =_____;（2）若a ⊥b ，则k =_____. 3-11

= 解 （1）若a ∥b ，则，于是k = -1k 3

（2）若a ⊥b ，则3⨯(-1) +(-1) ⨯k =0，于是k =-3

21、已知a =(3, -1), b =(-1, k ) ，若+⊥，则k =______

解a +2b =(3,-1) +2(-1, k ) =(1,2k -1) ，则1⨯3+(2k -1) ⨯(-1) =0，故 k =2.

22、在等差数列{a n }中

① 已知 a n +1=a n -3，且a 1=2， 则a n =______，S n =______ 解 由a n +1=a n -3，得a n +1-a n =-3 ，即d =-3 故

a n =2+(n -1)(-3) =-3n +5, S n =n ⨯2+

n (n -1)

⨯2=n 2+n 2

② 已知d =2, S n =35, a n =11 ，则n = __________

n (n -1) ⎧na +⨯2=35⎪

解 由已知，得⎨1，解此方程组，得n =5或n =7 2

⎪⎩a 1+(n -1)2=11

注意 a 1等于多少？有几个值呢？

③已知 a 3+a 7=10 ，则S 9=__________

解 a 3+a 7=a 1+a 9=2a 5=10，S 9=4（a 1+a 9) +a 5=45 23、在等比数列{a n }中

1

, 则 a 5=______，S 5=______ 2

12

解 因为a 3=a 1q 2，即8=a 1⨯() ， 所以a 1=32

2

①已知 a 3=8, q =

15

32[1-() ]14a 1(1-q ) 4故 a 5=a 1q =32⨯() =2， S 5===62

121-q 1-2

5

②已知a 1=3，a n =96，S n =189，则 n =______，q =______ 解 因为 S n =

a 1-a n q 3-96q

，即=189，于是 q =2

1-q 1-q

n -1

因为 a n =a 1q n -1，即3⨯2

=96，于是 n =6

24、设复数z 1=2+i ，z 2=3-2i ，且z =z 1+z 2，则z =____ 解 因为 z =z 1+z 2=5-i ， 所以 z

=

=25、复数z =(2-i )(i -3) 的虚部是B A ．-5 B . 5 C . -5i D . 5i 解 因为 z =2i -6-i +3i=-5+5i ，所以 虚部为 5

26、100件产品中有2件次品，从中抽2件进行检验，抽到的至少有一件次品的抽法是

197种。

112

解 C 2C 98+C 2=197

2

27、计划在某画廊展出8幅不同的书画作品，其中书法作品2幅，绘画作品6幅，将它们排成一行陈列，若要求书法作品必须放在一起，那么不同的陈列方式共有 种.

7解 先将2幅书法作品作为一个元素，与6幅绘画作品排成一行，有P 7种排法，而对于每272一种排法，书法作品之间位置可以互助交换，有P 2种排法，故共有P 7P 2=10080种排法

28、从8件一等品和2件二等品中任抽3件检查，则恰有1件二等品的概率为 。

解 基本事件总数

32

n =c 10=120，恰有1件二等品基本事件数m =c 12c 8=56，

则p (A ) =

567

= 12015

29、甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率为0.8，乙解决这个问题的概率0.7，则

①二人都解决问题的概率为 ②恰有一人解决问题的概率为 ③至少有一人解决问题的概率为

解 设A=甲解决问题，B=乙解决问题投中，且A,B 独立，P(A)=0.8, P(B)=0.7 ① AB=二人都解决问题, 于是P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56

+② A B A =B 恰有一人解决问题，则 P (A B +A B ) =P (AB ) +P (AB )

=P(A )P(B )+P(A )P(B )=0.8×（1—0.7）+（1—0.8）×0.7=0.38

③ A+B=至少有一人解决问题, 于是P(A+B)=1—P(A B )=1—P(A )P(B )=1—0.2×0.3=0.94

练 某气象预报站天气预报的准确率为0. 95，则它5次预报中恰有4次准确的概率为 C

44

Ａ、0. 95 Ｂ、0. 95⨯0. 05 Ｃ、 C 5⨯0. 95⨯0. 054 ⨯0. 954⨯0. 05 Ｄ、C 5

4

4

30、 已知二次函数f (x ) =x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (1-t ) =f (1+t ) ，且f (0) =3. ① 求常数b , c 的值. ② 求f (x ) 在区间[0, 4]上的最大值和最小值.

解：由f (1-t ) =f (1+t ) ，得(1-t ) 2+b (1-t ) +c =(1+t ) 2+b (1+t ) +c ，则 2t =-bt . 因为 t 为任意实数，所以 b =-2.

由 f (0) =3，得 c =3. 于是 f (x ) =x 2-2x +3=(x -1) 2+2. 因此 f (x ) 的图形（即抛物线）开口向上，顶点为(1, 2) .

故由f (x ) 的图形知：f (x ) 在区间[0, 4]上的最小值为f (1) =2，最大值为f (4) =11. （二）三角部分：

三角函数中要熟记基本公式，特殊角的三角函数值，记住正弦函数的图像及性质，正弦定

理和余弦定理等，还有如-1≤sin x ≤1 ，

sin x +cos x

1、若sin α=

1π

，α为第二象限角，则tan α=_____，sin 2α=____,cos(α-) =_____. 53

222

解 因为cos α=1-sin α=1-(=

1524，α为第二象限角, 则

cos α= 25

于是

tan α=

sin α=, sin 2α=2sin αcos α

=, cos αcos(α-

π3

) =cos αcos

π

3

+sin αsin

π

3

=11+= 25cos α+sin α

=_____,

2sin α-cos α112

=解 由1+tan 2α=sec 2α，得sec 2α=1+22=5，故cos α=，

sec 2α5

2、设tan α=2

且cos α>0，则cos α=____，tan 2α=____,

因为 cos α

>0，则cos α=

+1t αa n

=2αt a -n

+12

=1

1⨯-221

tan 2α=

2tan α2⨯24c o αs +s i αn

==-=；

1-tan 2α1-2232s i αn -c o αs

3、设cos(

π

111-θ) =，则sin(π+θ) = Ａ

± Ｂ

Ｃ Ｄ - 255555

2πππ

C D 336

2

4、y =2cos 3x 的最小正周期是 A 2π B

2

解 因为cos2α=2cos 2α-1，所以cos α=

cos 2α+1

， 2

2

于是 y =2c o s 3x =2c o s x 6+

212ππ

ω=6，所以T ==c o s x 6+，因为1=

63

5、下列各式中，正确的是 42

A . sin π>sin π B . c o πs >c o s 3n

55

6、求y =sin x -3cos x 的值域和周期 解

y =

(sin x 1

21x ) =2(sinx ⨯-cos x 2ππ

-cos x sin ) =2sin(x +) 333

故y 的最大值为2，最小值为 -2，所以值域为[-2,2]，

=2(sinx cos

因为 ω=1，所以周期为T =

π

2π

ω

=

2π

=2π 1

7、求y =2cos 2x +5sin x -4的最大值和最小值

2

解 y =2(1-s i n x ) +5s i n x -4=-2sin 2x +5sin x -2

55559

=-2(sin2x -sin x ) -2=-2[(sinx -) 2-() 2]-2=-2(sinx -) 2+

24448

因为-1≤sin x ≤1 ，所以当sin x =1时，y 最大=1； 当sin x =-1时，y 最小=-9 8、已知在∆ABC 中，

A =30︒，a = b =30，则B=______

解由

a b 30==, 所以

,

于是sin B =sin B sin A sin B

因为b >a ，所以B >A ，于是 B =45︒或135︒

9、已知在△ABC 中， a =4，b =6，C =60︒，求 c 的值.

解 因为 c =a +b -2ab cos C =4+6-2⋅4⋅6cos 60︒=16+36-48⋅所以 c =27

（三）、解析几何

重点掌握：1. 两点间距离公式和中点坐标公式；2. 求直线斜率k 的几种方法（（1）已知倾角；（2）已知直线过两点；（3）与另一条直线平行或垂直等）；3. 直线方程的几种形式4. 点到直线距离公式5. 、圆的方程，直线和圆位置关系的判断6. 椭圆、双曲线的定义、标准方程、性质等，区分椭圆与双曲线的异同点，会确定焦点的位置，会求离心率。7. 抛物线的定义及性质，会求焦点、准线方程。

1、已知直线l 过点A (1, -3), B (, -3) ，则它的倾角α=_____

2

2

2

2

2

1

=28 2

解

k AB =

π2π=tan α=-3， 又因0≤a

33

2、过（2，-3）点且与直线4x -2y +1=0垂直的直线方程是_______A 解 已知直线的斜率为k 1=2，所求直线的斜率为k 2=-

1 2

故所求直线方程是y -(-3) =-(x -2) ，即x +2y +4=0

练 已知点A (-3,1), B (5,-5), 则线段AB 的垂直平分线的方程为 4x -3y -10=0 3、以点A (-5, 4) 为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是 A 、(x +5) 2+(y -4) 2=16 B、(x -5) 2+(y +4) 2=16 C 、(x +5) 2+(y -4) 2=25 D、(x -5) 2+(y +4) 2=25

解 由圆心坐标（-5，4）排除B 、D ，再由与x 轴相切，r =4 排除C ，选A

22

4、直线x －y －1=0与圆x + y－4x=0的位置关系是__C __。

A. 相离 B.相切 C.相交且直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 解 圆的方程x + y－4x=0，配方后得(x -2) 2+y 2=4 ，于是圆心（2，0

）到直线距离

2

2

12

d =

； 因为0

r =1 于是k =

24

7

因此切线为y -4=

24

(x -2) 即24x-7y+4=0 7

2

，则椭圆的标准方程为 3

因为过圆外一点做圆的切线有两条， 所以另一条一定是x =2 6、已知椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长为6，离心率为

x 2x 2y 2y 2

A 、 + = 1 B、 + = 1

936205

x 2x 2x 2y 2x 2y 2y 2y 2

C 、 + = 1或 + = 1 D、 + = 1或 + = 1

[1**********]9

解 因为2a =6, 所以 a =3, 又因为e =因此b 2=a 2-c 2=9-4=5,

c 2222

，即=，所以c =a =⨯3=2

a 3333

x 2y 2y 2x 2

若焦点在x 轴，则椭圆方程为 + = 1；若焦点在y 轴，则为 + = 1,选D

9595

7、已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点是(5,0)

，且过点，求此双曲线的方程和渐近线方程

解 因为 c =5，所以 a 2+b 2=25（1）

x 2y 232

-2=1（2）因过点，焦点在x 轴，故设双曲线方程为 2-2=1，

a b b

解（1）与（2）组成的方程组，得a =4, b =3。

3b x 2y 2

故双曲线的方程为2-2=1，渐近线方程为y =±x 即 y =±x

4a 43

2

（0）8、抛物线y =2x 的焦点坐标是 ，准线方程为y =-

1

818

111y ，于是焦点在y 轴正半轴上且2p =，因此p =

422

1p p 1

（0）（0）故焦点是即，准线方程为y =-，即y =-

2288

解 抛物线的标准方程是x =

2

2

练 准线是x =2的抛物线方程是y =-8x

x 2y 2

+=1的两个焦点， 9、已知F 1、F 2是椭圆

169P 是椭圆上任一点，，则∆F 1PF 2面积的最大值是c

A 、3 B 、7 C 、3 7 D 、

37

2

1

⋅2C ⋅b =7

2

222

解 a =16, b =9∴c =7 ∆F 1PF 2的面积最大值 S ∆F 1PF 2=

11

10、双曲线的中心在坐标原点，右焦点F 2(5, 0) 到渐近线的距离都为4，F 1是左焦点. （1）求双曲线的方程.

（2）设圆过该双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，求圆心与双曲线中心的距离.

x 2y 222

解：（1）设双曲线方程为 2-2=1. 因为 c =5， 所以 a +b =25 ①

a b

渐近线方程为 y =

b b

x 或y =-x ，即bx -ay =0或bx +ay =0. a a

取渐近线为 bx +ay =0，因为点F 2(5, 0) 到渐近线距离为4,

于是 16a =9b ②

2

2

=4

x 2y 2

-=1. 解①、②组成的方程组，得a =9，b =16. 故所求双曲线方程为

916

2

2

（2）设圆过右焦点F 2(5, 0) 和右顶点(3, 0) ，则圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上，故圆心的横坐标为

5+3

=4. 2

42y 2

.

-=1, 于是

y =把x =4代入双曲线方程，得

916

故圆心到双曲线中心距离为d =

16

=. 3

若圆心经过左焦点和左顶点，由对称性知距离不变.

（四）立体几何：

1、设直线a ∥平面α，直线b 在α内，则

A . a ∥b B . a 与b 相交 C . a 与b 异面 D. a 与b 平行或异面

2、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，两个面的对角线A 1C 1和B 1C 所在直线所成的角为60︒ 3、设球的体积为36πcm 3，则它的表面积为 解 因为 V =

12

43

πr =36π，所以r =3，故S =4πr 2 =36π（cm 2 ） 3

4

90︒ 解 如图圆锥的侧面积是S 侧=πr l ，底面积为S 底

=πr 2且πr l =因此sin

πr ，于是l =r

2

α

2

=

r α=→=45︒→α=90︒ l 22

5、如图，AB ⊥平面a 于B ，直线l 在平面a 内，C 、D 为l 上两点，∠BCD =90︒，

∠CDB =45︒，AB =80m ，CD =60m .

（1）求证：l ⊥AC .

（2）求点A 到直线l 的距离.

解 （1）连接AC 。

因为AB ⊥平面a 于B ，所以BC 是斜线AB 在平面a 内的射影。

因为∠BCD =90︒，即l ⊥BC 所以根据三垂线定理知l ⊥AC 。

（2）斜线段AC 的长就是点A 到直线l 的距离. 在直角∆BCD 中，因为∠BCD =90︒，

∠CDB =45︒，CD =60m ，所以BC =60m 。

AB ⊥平面a ，BC 在a 内，所以AB ⊥BC ，

在直角∆ABC 内，AC =

==100m

即点A 到直线l 的距离为100 m .

13