反比例函数概念与性质(预习)
新知学习
一、反比例函数的概念
1.
(
)可以写成
(
)的形式,注意自变量x 的指数为
,在解决有关自
变量指数问题时应特别注意系数2.
(
这一限制条件;
)也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ,从而得
到反比例函数的解析式; 3.反比例函数
的自变量
,故函数图象与x 轴、y 轴无交点.
二、反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数点对称).
的图象时,应注意自变量x
的取值不能为0,且x 应对称取点(关于原
三、反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式:3.图象:
(1)图象的形状:双曲线.
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.
越小,图象的弯曲度越大.
(
)
2.自变量的取值范围:
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当 当
时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随x 的增大而减小; 时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随x 的增大而增大.
,
)在双曲线的另一支上.
,
)在D
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则( 图象关于直线
双曲线的另一支上. 4.k 的几何意义
如图1,设点P (a ,b )是双曲线
上任意一点,作PA⊥x轴于A 点,PB⊥y轴于B 点,则矩
对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)和(
形PBOA 的面积是
(三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是
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)
.如图2,由双曲线的对称性可
.
知,P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C ,则有三角形PQC 的面积为
图1
图2
5.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不 能一概而论.
(2)直线当
与双曲线
的关系:
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原
时,两图象没有交点;当
点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.
四、反比例函数解析式的确定
求反比例函数的解析式的方法主要有三种:
①待定系数法;②反比例函数k 的几何意义;③实际问题
基础演练
一、反比例函数的定义:
2-4k m 2+2
【例1】 下列关于x 的函数中:①y =;②y =;③y =;④y =中,一定是反比例函数的有( )
3x x x x
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例2】 已知y=(m+2m)x
【练一练】如果函数y =kx 2k
2
2
m 2+m -1
是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式。
+k -2
是反比例函数,那么k=________,此函数的解析式是;
预习课程˙反比例函数概念与性质 【例3】 已知三角形的面积是定值S ,则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________,这时h 是a
的__________;
【例4】 如果y 与x 成反比例,z 与y 成正比例,则z 与x 成____ ___;
二、反比例函数的图像和性质
k 2k ≠0
【例5】 (2008江汉)对于反比例函数y =() ,下列说法不正确的是( )
x
A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点(k ,k )在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y 随x 的增大而增大
【例6】 在反比例函数
y =
k -5
x 图象的每一支曲线上,y 都随x 的增大而减小,则k 的取值范围是 ( )
A .k >5 B.k >0 C.k <5 D. k<0
【例7】 (四川绵阳)若A (a 1,b 1),B (a 2,b 2)是反比例函数y =-
b 1与b 2的大小关系是( )
A .b 1<b 2 B.b 1 = b2 C.b 1>b 2 D.大小不确定
【例8】 在反比例函数y =-
2
图象上的两个点,且a 1<a 2,则x
1
的图像上有三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 。若x 1>x 2>0>x 3则x
下列各式正确的是( )
A .y 3>y 1>y 2 B.y 3>y 2>y 1 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2
【例9】 (2012兰州)在反比例函数
值是( )
A 负数 B非正数 C正数 D不能确定
3+2m
【例10】 (2012南通)已知点A(-1,y 1) 、B(2,y 2) 都在双曲线y y 1>y 2,则m 的取值范
x
围是( )
3 3
A .m <0 B.m >0 C.m >-.m <-22
【练一练】如图,反比例函数y =
的图象上有两点(-1,y 1) ,
,则y 1-y 2的
k
的图象经过点A(-1,-2).则当x >1时,函数值y 的取值范围是( ) x
A.y >1 B.0<y <1 C. y>2 D.0< y<
2
y =
【例11】 已知点p(1,a)在反比例函数
在第 象限。
k
(k ≠0) 2x 的图像上,(其中a= m+2m+3为实数) 则这个函数图像
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【例12】 (2008湛江) 已知三角形的面积一定,则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致
是( )
A . B. C. D .
2k
y =kx 【例13】 如果函数
2
+k -2
的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?
三、反比例函数系数k 的几何意义。
【例14】 (2012铜仁)如图,正方形ABOC 的边长为2,反比例函数y =
k
的图象过点A ,则k 的值是( )
x
A .2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
【例15】 如图, 直线l 和双曲线y =
k
(k >0) 交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合), 过点A 、x
B 、P 分别向x 轴作垂线, 垂足分别是C 、D 、E, 连接OA 、OB 、OP, 设△AOC面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则( )
A. S1<S 2<S 3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2
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【练一练】如图13-8-6所示,A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)是函数y =1的图象在第一象
x
限分支上的三个点,且x 1<x 2<x 3,过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线,得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ,它们的面积分别为S 1、S 2、S 3,则下列结论中正确的是( ) A .S 1
四、反比例函数解析式的确定
【例16】 (2012娄底)已知反比例函数的图象经过点(﹣1,2),则它的解析式是( )
A .y=﹣
B . y=﹣ C. y= D. y=
y =5,y =-1;y 2与(x -2) 成正比例,【例17】 已知y =y 1-y 2, y 1与x 成反比例,并且当x =3时,当x =1时,
求y 与x 之间的函数关系式.
1
x (x 【例18】 (2009丽水市)如图,点P 在反比例函数> 0) 的图象上,且横坐标为2. 若将点P 先向
右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得的像为点P '. 则在第一象限内,经过点P '的反比例
y =
函数图象的解析式是( )
5566y =-(x >0) y =(x >0) y =-(x >0) y
=(x >0)
x x x x A . B. C. D.
y =
【例19】 (2009年天津市)已知图中的曲线是反比例函数
m -5
x (m 为常数)图象的一支.
(Ⅰ)这反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m 的取值范围是什么?
(Ⅱ)若该函数的图象与正比例函数y =2x 的图象在第一象内限的交点为A ,过A 点作x 轴的垂线,垂足为B ,当△OAB 的面积为4时,求点A 的坐标及反比例函数的解析式.
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五、反比例函数与一次函数的结合
k
【例20】 (宁安)函数y= 与y=kx+b在同一坐标系的图象大致是图中的( )
x
【例21】 (2008年芜湖市)在平面直角坐标系xoy 中,直线y =x 向上平移1个单位长度得到直线l .直
k
的图象的一个交点为A (a ,2) ,则k 的值等于. x
3n -m 1
的图像相交于点(,2)【例22】 如果一次函数y =mx +n (m ≠0)与反比例函数y =,那么该直x 2
线l 与反比例函数y =
线与双曲线的另一个交点为_____________.
【例23】 如图,在Rt ∆AOB 中,点A 是直线y =x +m 与双曲线y =
则m 的值是
_____.
m
在第一象限的交点,且S ∆AOB =2,x
【例24】 (2007四川资阳)如图6,已知A(-4,2) 、B(n,-4) 是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图
象的两个交点.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围
.
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【练一练】(2007四川成都)如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数
y =
m
x 的图象交于
A (-2,1) ,B (1,n ) 两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求△AOB 的面积.
-4) 是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数【例25】 (2009年兰州)如图14,已知A (-4,n ) ,B (2,
y =
m
x 的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积; (3)求方程
kx +b -
m =0x 的解(请直接写出答案);
(4)求不等式
kx +b -
m
.
课后作业
【题1】 下列函数中,y 是x 反比例函数的是( )
(A ) y =2x +1(B )y =
21
y = (C )(D )2y =x 2
5x x
B .第二、三象限 D .第三、四象限
,,则这个函数的图象位于( ) 【题2】 已知反比例函数的图象经过点P (-21)
A .第一、三象限 C .第二、四象限
2k -1
【题3】 若双曲线y=x 的图象经过第二、四象限,则k 的取值范围是( )
A.k >
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111
B. k< C. k= D. 不存在 222
m +2
【题4】 若函数y =的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大,则m 的取值范围是( )
x
A .m >-2 B .m 2 D .m
【题5】 如图,函数y 1=x -1和函数y 2=
范围是( )
A .x 2 C .-1
x >2
2
的图象相交于点M(2,m) ,N(-1,n) ,若y 1>y 2,则x 的取值x
【题6】 在同一直角坐标系中,函数y =kx +k 与
y =
k
x (k ≠0)的图象大致是图中的( )
A
B
C
D
【题7】 如图,反比例函数y =
m
的图象与一次函数y =kx -b 的图象交于点M ,N ,已点M 的坐标为(1,x
m
3),点N 的纵坐标为-1,根据图象信息可得关于x 的方程=kx -b 的解为( )
x
A. -3,1 B.-3,3 C.-1,1 D.3,
-1
【题8】 (2007浙江宁波)如图,是一次函数y=kx+b与反比例函数y=
的解为( )
A xl=1,x2=2 B xl=-2,x2=-1 C xl=1,x2=-2 D xl=2,x2=-1
22
的图像,则关于x 的方程kx+b=x x
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2
【题9】 如图,正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y =(x >0)的图像上,顶点A 1、B 1分别在x 轴
x
2
和y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2,顶点P 3在反比例函数y x >0)的图象上,
x 顶点A 3在x 轴的正半轴上,则点P 3的坐标为
y =
【题10】 (2008年荆州市)如图,一次函数
1
x -22的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ,P 为AB 上一点且
y =
k 3
(k >0) S ∆OQC =x 2,则k 的的图象于Q ,
PC 为△AOB 的中位线,PC 的延长线交反比例函数
值和Q 点的坐标分别为
_________________________.
y =
【题11】 已知函数
m -1x
m
是y 关于x 的反比例函数,求m 的值.
y =
【题12】 (2008常州市) 过反比例函数
的图象上, 则m=______.
k
(k >0) x 的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段, 如果垂线段
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与x 、y 轴所围成的矩形面积是6, 那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数
y =
【题13】 (2009年长沙)反比例函数
两点.
(1)比较b 1与b 2的大小; (2)求m 的取值范围.
2m -1
x 的图象如图所示,A (-1,b 1) ,B (-2,b 2) 是该图象上的
【题14】 (2009宁夏) 已知正比例函数
y =k 1x (k 1≠0) 与反比例函数
y =
k 2
(k 2≠0) x 的图象交于A 、B 两
1) . 点,点A 的坐标为(2,
(1)求正比例函数、反比例函数的表达式; (2)求点B 的坐标.
【题15】 (2009肇庆)如图 7,已知一次函数
y 1=x +m (m 为常数)的图象与反比例函数
y 2=
k
x (k 为
常数, k ≠0)的图象相交于点 A(1,3).
(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标; (2)观察图象,写出使函数值
y 1≥y 2的自变量x 的取值范围.